| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, commutativity is the property that changing the order of something does not change the end result. It is a fundamental property of many binary operations, and many mathematical proofs depend on it. The commutativity of simple operations, such as multiplication and addition of numbers, was for many years implicitly assumed and the property was not named until the 19th century when mathematicians began to formalize the theory of mathematics. Common uses The commutative property (or commutative law) is a property associated with binary operations and functions. Similarly, if the commutative property holds for a pair of elements under a certain binary operation then it is said that the two elements commute under that operation. In group and set theory, many algebraic structures are called commutative when certain operands satisfy the commutative property. In higher branches of math, such as analysis and linear algebra the commutativity of well known operations (such as addition and multiplication on real and complex numbers) is often used (or implicitly assumed) in proofs. Mathematical definitions The term "commutative" is used in several related senses. 1. A binary operation ∗ on a set S is said to be commutative if: \forall x,y \in S: x * y y * x \, - An operation that does not satisfy the above property is called noncommutative. 2. One says that x commutes with y under ∗ if: x * y y * x \, 3. A binary function f:A×A → B is said to be commutative if: \forall x,y \in A: f (x, y) f(y, x) \, History and etymology Records of the implicit use of the commutative property go back to ancient times. The Egyptians used the commutative property of multiplication to simplify computing products. Euclid is known to have assumed the commutative property of multiplication in his book Elements. Formal uses of the commutative property arose in the late 18th and early 19th century when mathematicians began to work on a theory of functions. Today the commutative property is a well known and basic property used in most branches of mathematics. Simple versions of the commutative property are usually taught in beginning mathematics courses. The first use of the actual term commutative was in a memoir by François Servois in 1814, which used the word commutatives when describing functions that have what is now called the commutative property. The word is a combination of the French word commuter meaning "to substitute or switch" and the suffix -ative meaning "tending to" so the word literally means "tending to substitute or switch. " The term then appeared in English in Philosophical Transactions of the Royal Society in 1844. Related properties Associativity The associative property is closely related to the commutative property. The associative property states that the order in which operations are performed does not affect the final result as long as the order of terms is not changed. In contrast, the commutative property states that the order of the terms does not affect the final result. Symmetry Symmetry can be directly linked to commutativity. When a commutative operator is written as a binary function then the resulting function is symmetric across the line y x. As an example, if we let a function f represent addition (a commutative operation) so that f(x,y) x + y then f is a symmetric function which can be seen in the image on the right. Examples Commutative operations in everyday life Putting your shoes on resembles a commutative operation since it doesn't matter if you put the left or right shoe on first, the end result (having both shoes on), is the same. When making change we take advantage of the commutativity of addition. It doesn't matter what order we put the change in, it always adds to the same total. Commutative operations in math Two well-known examples of commutative binary operations are: The addition of real numbers, which is commutative since \forall (y,z) \in \mathbb{R}: y + z z + y For example 4 + 5 5 + 4, since both expressions equal 9. The multiplication of real numbers, which is commutative since \forall y,z\in \mathbb{R}: y z z y For example, 3 × 5 5 × 3, since both expressions equal 15. Further examples of commutative binary operations include addition and multiplication of complex numbers, addition of vectors, and intersection and union of sets. Noncommutative operations in everyday life Navigating a city laid out on a grid plan can be noncommutative: taking a right, a left, and a right will take you to a different place than taking a right, a right, and a left. Washing and drying your clothes resembles a noncommutative operation, if you dry first and then wash, you get a significantly different result than if you wash first and then dry. The Rubik's Cube is noncommutative. For example, twisting the front face clockwise, the top face clockwise and the front face counterclockwise (FUF') does not yield the same result as twisting the front face clockwise, then counterclockwise and finally twisting the top clockwise (FF'U). The twists do not commute. This is studied in group theory. Noncommutative operations in mathematics Some noncommutative binary operations are: Subtraction is noncommutative since <math>0-1\neq 1-0 Division is noncommutative since <math>1/2\neq 2/1 Matrix multiplication is noncommutative since \begin{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix} Mathematical structures and commutativity An abelian group is a group whose group operation is commutative. A commutative ring is a ring whose multiplication is commutative. (Addition in a ring is by definition always commutative. ) In a field both addition and multiplication are commutative. See also Anticommutativity Binary operation Commutant Commutative diagram Commutative (neurophysiology) Commutator Distributivity Particle statistics (for commutativity in physics) Notes References Books . Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book. . Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book. . Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout. Articles http://www. ethnomath. org/resources/lumpkin1997. pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript. Article describing the mathematical ability of ancient civilizations. Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4 Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus. Online resources Krowne, Aaron, {{{title}}} at PlanetMath. , Accessed 8 August 2007. Definition of commutativity and examples of commutative operations Weisstein, Eric W. , "urlnameCommute" from MathWorld. , Accessed 8 August 2007. Explanation of the term commute Yark. {{{title}}} at PlanetMath. , Accessed 8 August 2007 Examples proving some noncommutative operations O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007 Article giving the history of the real numbers Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008 Page covering the earliest uses of mathematical terms O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007 Biography of Francois Servois, who first used the term
- Das Kommutativgesetz, auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik; wenn sie gilt, so können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ. Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und Distributivgesetz grundlegende Regeln der Mathematik.
- En matemàtiques, la propietat commutativa es refereix a la possibilitat de canviar l'ordre d'alguna cosa sense que canviï el resultat. És una propietat fonamental en moltes branques de la matemàtica i moltes demostracions matemàtiques en depenen. La propietat commutativa va ser assumida de manera implícita per a les operacions simples sense que tingués un nom específic ni un enunciat fins el segle XIX. El cos dels nombres reals té aquesta propietat respecte de la suma i del producte, així com els seus subconjunts més coneguts: nombres naturals nombres enters nombres racionals nombres irracionals Els grups l'operació binària dels quals és commutativa s'anomenen grups abelians.
- Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace říkající, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů.
- Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
- Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation suoritusjärjestyksellä ei ole väliä. Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon <math>X</math> joukko ja <math>a</math> ja <math>b</math> sen alkioita. Operaatio <math>\otimes : X \times X \mapsto X</math> on kommutatiivinen, jos kaikilla <math>a</math> ja <math>b</math> toteutuu <math>a \otimes b = b \otimes a</math>.
- En mathématiques, particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne <math>\star</math> sur un ensemble S est commutative si, pour tous x et y dans S, <math> x \star y = y \star x</math>. Les exemples les plus courants de lois commutatives sont l'addition et la multiplication des entiers naturels; par exemple : 2 × 3 = 3 × 2 D'autres exemples de lois commutatives incluent l'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, et l'intersection et la réunion des ensembles. D'importantes lois non commutatives sont la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition de fonctions et la multiplication des quaternions. Un groupe abélien est un groupe dont la loi est commutative. Un anneau est appelé anneau commutatif si sa multiplication est commutative puisque la loi d'addition dans tout anneau est commutative. Il en est de même pour un corps. Il est remarquable que la loi de multiplication sur un corps fini est toujours commutative. C'est ce qu'on appelle le théorème de Wedderburn. Soit <math>S</math> un ensemble muni d'une loi de composition interne <math>\star</math>. Deux éléments <math>x,y</math> de <math>S</math> sont dits permutables si par définition: <math>x\star y=y\star x</math>. On dit parfois que <math>x</math> et <math>y</math> commutent. Remarque : Il peut exister dans un ensemble des éléments permutables, sans que la loi soit commutative. C'est le cas, par exemple, de l'ensemble des matrices carrées d'ordre <math>n</math> muni de la multiplication qui n'est pas commutative. Mais la matrice identité et n'importe quelle autre matrice sont permutables. <math>\star</math> est commutative si et seulement si pour tout couple <math>(x,y)</math> d'éléments de <math>S</math>, <math>x</math> et <math>y</math> sont permutables.
- A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.
- In matematica, un'operazione binaria * definita su un insieme S è commutativa se x * y = y * x \qquad\mbox{per ogni }x,y\in S. per ogni coppia di elementi x e y in S . Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa. Due elementi x e y commutano se x * y = y *x . Quindi l'operazione * è commutativa se e solo se due elementi di S commutano sempre.
- 集合 S に二項演算 · が定義されているとき S の任意の二元 a, b について <math>a\cdot b = b\cdot a</math> が成立するならば、この演算は交換法則を満たすという。このとき、演算は可換であるともいう。 たとえば自然数に関する足し算やかけ算は交換法則を満たしている。 4 + 5 = 5 + 4 (両辺とも値は9である) 2 × 3 = 3 × 2 (両辺とも値は6である) しかし引き算や割り算はそうではない。 <math> 4 - 5 \neq 5 - 4</math> <math> 6 \div 3 \neq 3 \div 6</math> その他に交換法則を満たすものとしては主に次のようなものがある。 有理数、実数、複素数の加算や乗算 行列、数ベクトルの加算 集合の積集合や和集合 また、交換法則を満たさない主要な演算としては次のようなものがある。 行列の乗算、3次元数ベクトルのベクトル外積 写像の合成 四元数の乗算 ただしベクトルの外積のように絶対値および絶対値に相当する数を考えたときに交換法則は成り立つものも多い。
- Het wiskundige begrip commutativiteit betekent intuïtief dat de volgorde van twee objecten gewijzigd mag worden zonder dat gevolgen heeft voor het eindresultaat. Het is een fundamentele eigenschap in veel takken van de wiskunde. Veel bewijzen gaan van deze eigenschap uit. Lange tijd werd de commutativiteit van eenvoudige operaties impliciet aangenomen en had de eigenschap geen naam, totdat de wiskundigen in de negentiende eeuw zijn begonnen de wiskunde formeel vast te leggen.
- Den kommutative lov sier i matematikken at om du endrer rekkefølgen på noe, endres ikke resultatet. I addisjon gjelder a+b = b+a, og i multiplikasjon gjelder a*b = b*a.
- Przemienność – jedna z własności działań dwuargumentowych. Działanie <math>\diamondsuit</math> w zbiorze <math>S</math> nazywamy przemiennym, jeśli <math>\forall_{x, y \in S} \; x \;\diamondsuit\; y = y \;\diamondsuit\; x</math>. Przykłady działań przemiennych: dodawanie liczb rzeczywistych, mnożenie liczb zespolonych, dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej. Dla odmiany odejmowanie liczb nie jest przemienne: <math>3 - 4 \ne 4 - 3</math>.
- Em matemática, comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. Ou popularmente, onde a ordem dos fatores não afeta o resultado. Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como a subtração e divisão.
- O funcţie de două variabile (sau o operaţie binară) se numeşte comutativă dacă inversînd variabilele se obţine acelaşi rezultat. De exemplu adunarea numerelor reale este o operaţie comutativă, pentru că <math>a + b = b + a</math>.
- Файл:Commutative Word Origin. PNG Первое известное использование термина коммутативность. Файл:Commutative Addition. svg Пример, показывающий коммутативность сложения (3 + 2 = 2 + 3) Коммутативная операция — это бинарная операция <math>\circ</math>, обладающая коммутативностью (от позднелатинского слова commutativus — «меняющийся»), то есть переместительностью: <math>x\circ y=y\circ x</math> для любых элементов <math>x,\;y</math>. В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.
- Kommutativitet är ett begrepp inom matematiken, speciellt inom abstrakt algebra, som egenskap hos en binär operator. Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är kommutativ om och endast om det för alla <math>x</math> och <math>y</math> i <math>S</math> gäller att <math>x \star y = y \star x</math>. Operatorn är alltså kommutativ om det inte spelar något roll i vilken ordning man utför operationen. De mest kända exemplen på kommutativa operatorer är addition och multiplikation av naturliga tal, till exempel: 4 + 5 = 5 + 4 (eftersom båda uttrycken ger 9) 2 · 3 = 3 · 2 (eftersom båda uttrycken ger 6) Exempel på icke kommutativa operationer är subtraktion: 5 - 4=1 ≠ 4 - 5=-1 (subtraktion är dock antikommutativ, se nedan) potens: 2 = 32 ≠ 5 =25 Ytterligare exempel på kommutativa binära operatorer inkluderar addition och multiplikation av reella tal och komplexa tal, addition av vektorer, samt snitt och unioner av mängder. Viktiga operatorer som generellt är ickekommutativa är multiplikation av matriser, sammansättning av funktioner och kvaternionmultiplikation.
- Бінарна операція × на множині S є комутативною, якщо x × y = y × x для всіх x і y ∈ S. В іншому випадку × є некомутативною. Якщо x × y = y × x для окремої пари елементів x і y, тоді кажуть, що x і y комутують. Найвідомішими прикладами комутативних бінарних операцій є операції додавання "+" і множення "×" дійсних чисел, наприклад: 4 + 5 = 5 + 4 (оскільки обидва вирази дорівнюють 9) 2 × 3 = 3 × 2 (оскільки обидва вирази дорівнюють 6) Серед некомутативних бінарних операцій: віднімання (a−b), ділення (a/b), піднесення до степеня (a), композиція функцій (f), тетрація (a↑↑b). Інші приклади комутативних бінарних операцій: додавання і множення комплексних чисел; додавання векторів; перетин, об'єднання та симетрична різниця множин. Важливими некомутативними операціями є множення матриць та векторне множення. Група, операція якої є комутативною, називається абелевою групою. Кільце є комутативним кільцем, якщо його операція множення є комутативною; додавання є комутативним в будь-якому кільці (за означенням кільця).
- 交換律是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後。 一般用法 交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。 在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。 數學定義 「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中： 1. 在集合 S 的一二元運算 * 被稱之為「可交換」的，若： x ∗ y y ∗ x ∀ x,y ∈ S 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。 2. 若稱 x 在 * 下和 y 「可交換」，即表示： x ∗ y y ∗ x 3. 一二元函數 f:A×A → B被稱之為「可交換」的，若： f(x,y) f(y,x) ∀ x,y ∈ A. 歷史 對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。 第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。 相關性質 結合律 結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算域的順序不會影響其最終結果的性質。 對稱 對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 y x 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 f 來表示加法（一可交換運算），所以 f(x,y) x + y ，也因此 f 會是個如右圖所見的對稱函數。 例子 日常生活中的可交換運算 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。 數學中的可交換運算 兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為： 實數的加法 y + z z + y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} 例如， 4 + 5 5 + 4 ，兩個表示式都等於 9 。 實數的乘法 y z z y \quad \forall y,z\in \mathbb{R} 例如， 3 × 5 5 × 3 ，兩者都等於 15 。 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。 日常生活中的不可交換運算 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。 數學中的不可交換運算 一些不可交換二元運算有： 減法： <math>0-1\neq 1-0 不過可將其減法符號轉換成負數，即可使用交換律。 除法： <math>1\div2\neq 2\div1 可將除法轉換成乘分數以使用交換律。 矩陣乘法： \begin{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix} 數學結構與交換律 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。） 域的加法與乘法都是可交換的。 中心是一個群最大的可交換子集。 註記 參考資料 書籍 错误：请在使用{{cite book}}时指定title（标题）和参数。 Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book. 错误：请在使用{{cite book}}时指定title（标题）和参数。 Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book. 错误：请在使用{{cite book}}时指定title（标题）和参数。 Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout. 文章 http://www. ethnomath. org/resources/lumpkin1997. pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript. Article describing the mathematical ability of ancient civilizations. Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4 Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus. 線上資源 Krowne, Aaron, {{{title}}} at PlanetMath. , Accessed 8 August 2007. Definition of commutativity and examples of commutative operations Eric W. Weisstein, {{{title}}}, MathWorld. , Accessed 8 August 2007. Explanation of the term commute Yark. {{{title}}} at PlanetMath. , Accessed 8 August 2007 Examples proving some noncommutative operations O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007 Article giving the history of the real numbers Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 8 August 2007 Page covering the earliest uses of mathematical terms O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007 Biography of Francois Servois, who first used the term 另見 反交換律 二元運算 交換子集合 交換子 分配律
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, commutativity is the property that changing the order of something does not change the end result. It is a fundamental property of many binary operations, and many mathematical proofs depend on it. The commutativity of simple operations, such as multiplication and addition of numbers, was for many years implicitly assumed and the property was not named until the 19th century when mathematicians began to formalize the theory of mathematics.
- Das Kommutativgesetz, auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik; wenn sie gilt, so können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ. Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und Distributivgesetz grundlegende Regeln der Mathematik.
- En matemàtiques, la propietat commutativa es refereix a la possibilitat de canviar l'ordre d'alguna cosa sense que canviï el resultat. És una propietat fonamental en moltes branques de la matemàtica i moltes demostracions matemàtiques en depenen. La propietat commutativa va ser assumida de manera implícita per a les operacions simples sense que tingués un nom específic ni un enunciat fins el segle XIX.
- Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace říkající, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů.
- Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
- Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation suoritusjärjestyksellä ei ole väliä. Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon <math>X</math> joukko ja <math>a</math> ja <math>b</math> sen alkioita.
- En mathématiques, particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne <math>\star</math> sur un ensemble S est commutative si, pour tous x et y dans S, <math> x \star y = y \star x</math>.
- A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.
- In matematica, un'operazione binaria * definita su un insieme S è commutativa se x * y = y * x \qquad\mbox{per ogni }x,y\in S. per ogni coppia di elementi x e y in S . Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa. Due elementi x e y commutano se x * y = y *x . Quindi l'operazione * è commutativa se e solo se due elementi di S commutano sempre.
- Het wiskundige begrip commutativiteit betekent intuïtief dat de volgorde van twee objecten gewijzigd mag worden zonder dat gevolgen heeft voor het eindresultaat. Het is een fundamentele eigenschap in veel takken van de wiskunde. Veel bewijzen gaan van deze eigenschap uit. Lange tijd werd de commutativiteit van eenvoudige operaties impliciet aangenomen en had de eigenschap geen naam, totdat de wiskundigen in de negentiende eeuw zijn begonnen de wiskunde formeel vast te leggen.
- Den kommutative lov sier i matematikken at om du endrer rekkefølgen på noe, endres ikke resultatet. I addisjon gjelder a+b = b+a, og i multiplikasjon gjelder a*b = b*a.
- Przemienność – jedna z własności działań dwuargumentowych. Działanie <math>\diamondsuit</math> w zbiorze <math>S</math> nazywamy przemiennym, jeśli <math>\forall_{x, y \in S} \; x \;\diamondsuit\; y = y \;\diamondsuit\; x</math>. Przykłady działań przemiennych: dodawanie liczb rzeczywistych, mnożenie liczb zespolonych, dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej.
- Em matemática, comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. Ou popularmente, onde a ordem dos fatores não afeta o resultado. Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não.
- O funcţie de două variabile (sau o operaţie binară) se numeşte comutativă dacă inversînd variabilele se obţine acelaşi rezultat. De exemplu adunarea numerelor reale este o operaţie comutativă, pentru că <math>a + b = b + a</math>.
- Файл:Commutative Word Origin. PNG Первое известное использование термина коммутативность. Файл:Commutative Addition.
- Kommutativitet är ett begrepp inom matematiken, speciellt inom abstrakt algebra, som egenskap hos en binär operator. Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är kommutativ om och endast om det för alla <math>x</math> och <math>y</math> i <math>S</math> gäller att <math>x \star y = y \star x</math>. Operatorn är alltså kommutativ om det inte spelar något roll i vilken ordning man utför operationen.
- Бінарна операція × на множині S є комутативною, якщо x × y = y × x для всіх x і y ∈ S. В іншому випадку × є некомутативною. Якщо x × y = y × x для окремої пари елементів x і y, тоді кажуть, що x і y комутують.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
