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- Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics. Aspects of combinatorics include "counting" the objects satisfying certain criteria, deciding when the criteria can be met, and constructing and analyzing objects meeting the criteria, finding "largest", "smallest", or "optimal" objects, and finding algebraic structures these objects may have. Combinatorics is as much about problem solving as theory building, though it has developed powerful theoretical methods, especially since the later twentieth century. One of the oldest and most accessible parts of combinatorics is graph theory, which also has numerous natural connections to other areas. Combinatorics is used frequently in computer science to obtain estimates on the number of elements of certain sets. A mathematician who studies combinatorics is often referred to as a combinatorialist or combinatorist.
- Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Bestimmung der Zahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen von unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge beschäftigt. In der modernen Kombinatorik werden diese Probleme umformuliert als Abbildungen, sodass sich die Aufgabe der Kombinatorik im wesentlichen darauf beschränken kann, diese Abbildungen zu zählen. Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten auf der Basis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs von Laplace bildet die Kombinatorik eine wichtige Grundlage. Ein verblüffendes Phänomen der Kombinatorik ist, dass sich oftmals wenige Objekte auf vielfältige Weise kombinieren lassen. Beim Zauberwürfel können beispielsweise die 26 Elemente auf rund 43 Trillionen Arten kombiniert werden. Dieses Phänomen wird oft als kombinatorische Explosion bezeichnet und ist auch die Ursache für das so genannte Geburtstagsparadoxon.
- La combinatòria és una branca de les matemàtiques pures que s'ocupa de l'estudi d'objectes discrets (i normalment també finits). Una part de la combinatòria inclou el "comptar" el nombre d'objectes que satisfan un criteri (combinatòria enumerativa), decidir quan aquest criteri es compleix, i construir i analitzar els objectes que compleixen el criteri. Una de les àrees més antiga i més accessible de la combinatòria és la teoria de grafs. Hi ha molts patrons i teoremes relacionats amb l'estructura d'un conjunt combinatori. Aquests normalment se centren en la partició (combinació) o partició ordenada (permutació) d'un conjunt. Un exemple senzill és saber quantes ordenacions es poden fer d'una baralla de 52 cartes. La resposta és 52!, que aproximadament dóna 8.0658 × 1067.
- Kombinatorika (kombinatorická matematika) je část matematiky zabývající se kolekcemi prvků množin s definovanou vnitřní strukturou. Otázky, které kombinatorika řeší, se obvykle týkají počtu nějakých objektů (nebo skupin objektů) s definovanou strukturou, speciálně (pokud počet může být nulový) existencí objektu s definovanou strukturou.
- La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoria extremal). Uno de los más destacados combinatorialistas de los últimos tiempos ha sido Gian-Carlo Rota, cuyas contribuciones han ayudado a formalizar el tema desde la década de 1960. El prolífico matemático Paul Erdős trabajó principalmente en problemas extremales. El estudio de cómo contar objetos es a veces considerado por separado como el campo de la enumeración. La combinatoria analiza todo tipo de posibilidades al momento de considerar la cantidad de opciones posibles en un conjunto finito de objetos. Tiene en cuenta la repetición posible de los mismos, y la no repetición, al igual que los intercambios de posiciones de los elementos con respecto a su ubicación y orden específicos. Estos tipos de operaciones se denominan Variaciones, combinaciones y permutaciones. A su vez, las combinaciones se pueden representar mediante números combinatorios, y nos muestran la cantidad de posibilidades al momento de tomar una cantidad "k" de elementos, de un total de "n" existentes en un conjunto determinado. Un ejemplo de pregunta combinatoria es la siguiente: ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de 52 cartas? Ese número es 52! (o sea, "cincuenta y dos factorial"). Es el producto de todos los números naturales desde 1 al 52. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este número, alrededor de 8,07 × 10. Es algo más de 8 seguido de 67 ceros. Comparando ese número con otros números enormes, es mayor que el cuadrado del número de Avogadro, 6,023 × 10, "el número de átomos, moléculas, etc. , que hay en un mol" y es del mismo orden magnitud, 10, que la cantidad de átomos en la Vía Láctea.
- Kombinatoriikka on matematiikan osa-alue, joka tutkii tietyt ominaisuudet toteuttavien joukkojen lukumääriä. Enumeratiivinen kombinatoriikka laskee saadun joukon alkioiden lukumäärän. Matroiditeoria tutkii joukkojen konstruoimista ja analysointia. Ekstremaalinen kombinatoriikka pyrkii löytämään jollakin tapaa optimaalisen kokoelman objekteja. Algebrallinen kombinatoriikka tutkii, mitä algebrallisia rakenteita joukon alkioille voidaan muodostaa. Kombinatoriikka on yhtä paljon ongelman ratkaisemista kuin teorian rakentamista. Erityisesti 1900-luvulla kombinatoriikkaan on kehitetty paljon teoreettisia tuloksia, jotka helpottavat kombinatoristen ongelmien laskemista huomattavasti. Esimerkkinä kombinatorisesta kysymyksestä on seuraava: Monellako tavalla 52 kortin pakka voidaan järjestää? Osoittautuu, että erilaisia järjestyksiä on 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 kappaletta. Toisentyyppinen kombinatoriikan tehtävä on seuraava: Olkoon annettu n henkilöä. Onko mahdollista järjestää henkilöt eri joukkoihin siten, että jokainen henkilö on ainakin yhdessä joukossa, jokainen kahden henkilön pari on täsmälleen yhdessä joukossa, jokaisella kahdella joukolla on täsmälleen yksi yhteinen henkilö ja mikään joukko ei sisällä kaikkia henkilöitä, kaikkia paitsi yhtä henkilöä tai täsmälleen yhtä henkilöä. Vastaus riippuu n:stä.
- En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.
- A kombinatorika jelentése kapcsolástan, mely a matematika azon területe, amely egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik. Az elemi kombinatorika tárgyai a(z) (ismétléses és ismétlés nélküli) permutációk, kombinációk és variációk.
- Con il termine combinatoria si intende il settore della matematica che studia insiemi finiti di oggetti semplici (interi, stringhe, nodi e collegamenti, punti e linee, configurazioni discrete, insiemi finiti, ... ) che soddisfano proprietà ben definite e tendenzialmente semplici. Esempi di collezioni di oggetti studiate nell'ambito della combinatoria sono: le permutazioni di n oggetti, le combinazioni con ripetizione di 5 dei primi 7 interi, i grafi poliedrali, i quadrati magici e i quadrati latini, La combinatoria si propone di studiare sul piano matematico le situazioni pratiche ed i relativi problemi i cui aspetti essenziali si possono esprimere con modelli discreti. Alcuni esempi di queste situazioni sono: le disposizioni delle persone intorno ad un tavolo circolare, le estrazioni di palline di colori diversi da un'urna, le disposizioni dei pezzi del gioco degli scacchi su una scacchiera, Un aspetto di primaria importanza in questi studi riguarda l'enumerazione delle configurazioni: per alcuni esempi di questa problematica si vedano ad esempio fattoriale, coefficiente binomiale, numeri di Catalan e numeri di Fibonacci. Un altro aspetto fondamentale della combinatoria è quello algoritmico: innanzi tutto la conoscenza delle caratteristiche combinatorie di un tipo di configurazioni è essenziale per individuare i meccanismi che consentano di manipolarle; inoltre ogni algoritmo può essere oggetto di indagini combinatorie, come quelle di natura enumerativa richieste per valutare la sua efficienza.
- 組合せ数学（くみあわせすうがく、combinatorics）とは、特定の条件を満たす（普通は有限の）対象からなる集まりを研究する数学の分野であり、組合せ論（くみあわせろん）ともよばれる。特に問題とされることとして、集まりに入っている対象を数えたり（数え上げ的組合せ論）、いつ条件が満たされるのかを判定し、その条件を満たしている対象を構成したり解析したり（組合せデザインやマトロイド理論）、「最大」「最小」「最適」な対象をみつけたり（極値組合せ論や組合せ最適化）、それらの対象が持ちうる代数的構造をみつけたり（代数的組合せ論）することが挙げられる。
- Combinatoriek of combinatieleer is een tak van de wiskunde. In de combinatoriek bestudeert men eindige verzamelingen van objecten die aan gespecificeerde eigenschappen voldoen. In het bijzonder houdt men zich bezig met het "tellen" van objecten in deze verzamelingen en het bepalen of er zekere "optimale" objecten in een verzameling aanwezig zijn. Aangezien men voornamelijk "telt", wordt het ook wel eens telproblemen genoemd.
- Kombinatorikk er et område innen matematikken som går ut på å telle kombinasjoner av objekter i mengder som deles etter gitte regler. Kombinatorikken inngår i den diskrete matematikken og er nært beslektet med sannsynlighetsteorien i og med at man trenger en metode å finne antall mulige utfall, og antall måter et bestemt utfall kan opptre, for å beregne sannsynligheten for det nevnte utfallet. Typiske kombinatoriske spørsmål kan være om hvor mange mulige måter det er å stokke en kortstokk, hvilket er 52!, som er 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000, eller noe over 80 undesillioner. Et noe mer håndgripelig problem kan være antall mulige lottorekker, som kan beregnes ved binomialkoeffisienten <math> {34 \choose 7} </math> = 5 379 616.
- Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. Kombinatoryka posługuje się terminologią nie występującą w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność. Najważniejszym jej zadaniem jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań.
- A combinatória é um ramo da matemática que estuda coleções finitas de objetos que satisfaçam certos critérios específicos, e se preocupa, em particular, com a "contagem" de objetos nessas coleções (combinatória enumerativa) e com a decisão se certo objeto "ótimo" existe (combinatória extrema) e com estruturas "algébricas" que esses objetos possam ter (combinatória algébrica). O assunto ganhou notoriedade após a publicação de "Análise Combinatória" por Percy Alexander MacMahon em 1915. Um dos destacados combinatorialista dos últimos tempos foi Gian-Carlo Rota, que ajudou a formalizar o assunto a partir da década de 1960. O engenhoso Paul Erdos trabalhou principalmente em problemas extremos. O estudo de como contar os objetos é algumas vezes considerado separadamente como um campo da enumeração. Um exemplo de problema combinatório é o seguinte: Quantas ordenações são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas? O número é igual a 52! (ou seja, "cinquenta e dois fatorial"), que é o produto de todos os números naturais de 1 até 52. Pode parecer surpreendente o quão enorme é esse número, cerca de 8,065817517094 × 10. É algo maior que 8 seguido de 67 zeros. Comparando este número com alguns outros números grandes, ele é maior que o quadrado do Número de Avogadro, 6,022 × 10, quantidade equivalente a um mol".
- Combinatorica este o ramură a matematicii care studiază mulţimi (de obicei finite) de obiecte şi modalităţile de a le "combina". În particular, sunt studiate probleme de numărare (combinatorică enumerativă), de generare şi de analiză (design combinatoric şi teoria matroizilor), de determinare a "celui mai mare", "celui mai mic" sau a "celui mai bun" obiect al mulţimii (combinatorică extremală şi optimizare combinatorică), sau cu determinarea structurilor algebrice ale acelor obiecte (combinatorică algebrică).
- Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества и отношения на них. Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике. Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.
- Kombinatorik är den del av den diskreta matematiken som behandlar problem angående antalet element i mängder. Ett exempel på kombinatoriskt problem är att bestämma antalet möjligheter att välja k element bland n givna. Ett exempel kan vara att räkna ut hur många olika ordningsföljder en 52-korts kortlek läggas i. Lösningen i det fallet är 52! (utläses "fakulteten av 52" eller "52 fakultet"), alltså 52·51·50· ··· ·3·2·1 vilket blir cirka 8·10, eller en åtta följd av 67 nollor. Kombinatoriska problem kan ofta jämställas med problemet att fördela ett antal saker i olika lådor. Beroende på egenskaperna hos sakerna och lådorna, så blir funktionerna för att räkna ut hur många kombinationer det finns olika. I följande tabell så kallar vi antalet saker för n, antalet behållare för m och Stirlingtalet av andra graden för S(m, n). Centrala begrepp inom kombinatoriken är kombination, permutation och Dirichlets lådprincip. Kombinatorikens verktyg är av stor betydelse inom sannolikhetslära och statistik, men den rena kombinatoriken skiljer sig från dessa två genom att den alltid behandlar exakta antal, medan de övriga två behandlar sannolikhetsfördelningar. Med kombinatorikens hjälp kan man, utifrån korrekta grunddata, uttala sig utan osäkerhet om något. Till exempel: Det finns helt säkert minst tio svenskar som är lika långa på mikrometern när (se exempel i Dirichlets lådprincip). Statistiken kan i stället uttrycka till exempel att 75% (Obs! Påhittad siffra) av alla svenskar är mellan 150 och 190 cm långa. Sannolikhetsläran säger till exempel (baserat på ovanstående påstående) att om jag går ut genom dörren är sannolikheten 0.75 (= 75%) att den första person jag möter är mellan 150 och 190 cm lång.
- Kombinatorik, genellikle sonlu soyut nesneleri konu alan pür matematik dalıdır. Dalla ilgilenen matematikçilere kombinatoryalist veya kombinatorist denir. Matematiğin, cebir, olasılık kuramı, ergodik teori ve geometri gibi farklı dallarıyla da ilgili olan kombinatorik ayrıca bilgisayar bilimi ve istatiksel fizik gibi dallarda uygulanmıştır. Kombinatorik dahilindeki konulardan bazıları; belirli kriterleri karşılayan nesnelerin "sayılması", kriterlerin ne zaman karşılanmış olacağına karar vermek, kriterleri karşılayan nesnelerin inşaa edilmesi ve analiz edilmesi, "en büyük", "en küçük" veya "optimal" nesneleri bulmak ve bu nesnelerin sahip olabileceği cebirsel yapıları bulmaktır. Kombinatorik ile ilgili çeşitli kuramlar ve problemler Orta Çağ'da ve hatta antik çağlarda Hindistan ve Çin gibi medeniyetlerde mevcuttur. Her ne kadar özellikle 20. yüzyılın sonlarına doğru birçok güçlü teori ortaya konmuşsa da, kombinatorik problem çözmekle ne kadar ilgiliyse teori oluşturmakla da o kadar ilgilidir. Kombinatoriğin en eski ve erişilebilir konularından birisi de graf teorisidir ki bu teorinin diğer birçok alanla da (doğal olarak) ilişkisi mevcuttur. Basit bir kombinatoryal soruyu örnek vermek gerekirse şu soru zikredilebilir: "52 farklı iskambil kağıdından oluşan bir iskambil destesinin kaç tane olası dizilimi vardır?" Cevap 52! yani 52 faktöriyeldir ki bu da yaklaşık 8.0658 × 10'dir.
- Комбінато́рика (Комбінаторний аналіз) — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що зветься комбінаторною конфігурацією. Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, отпимізація таких алгоритмів, а також розв'язання задач переліку. Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття. Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими розділами математики.
- 有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。
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- Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
- Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Bestimmung der Zahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen von unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge beschäftigt. In der modernen Kombinatorik werden diese Probleme umformuliert als Abbildungen, sodass sich die Aufgabe der Kombinatorik im wesentlichen darauf beschränken kann, diese Abbildungen zu zählen.
- La combinatòria és una branca de les matemàtiques pures que s'ocupa de l'estudi d'objectes discrets (i normalment també finits). Una part de la combinatòria inclou el "comptar" el nombre d'objectes que satisfan un criteri (combinatòria enumerativa), decidir quan aquest criteri es compleix, i construir i analitzar els objectes que compleixen el criteri. Una de les àrees més antiga i més accessible de la combinatòria és la teoria de grafs.
- Kombinatorika (kombinatorická matematika) je část matematiky zabývající se kolekcemi prvků množin s definovanou vnitřní strukturou. Otázky, které kombinatorika řeší, se obvykle týkají počtu nějakých objektů (nebo skupin objektů) s definovanou strukturou, speciálně (pokud počet může být nulový) existencí objektu s definovanou strukturou.
- La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoria extremal).
- Kombinatoriikka on matematiikan osa-alue, joka tutkii tietyt ominaisuudet toteuttavien joukkojen lukumääriä. Enumeratiivinen kombinatoriikka laskee saadun joukon alkioiden lukumäärän. Matroiditeoria tutkii joukkojen konstruoimista ja analysointia. Ekstremaalinen kombinatoriikka pyrkii löytämään jollakin tapaa optimaalisen kokoelman objekteja. Algebrallinen kombinatoriikka tutkii, mitä algebrallisia rakenteita joukon alkioille voidaan muodostaa.
- En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.
- A kombinatorika jelentése kapcsolástan, mely a matematika azon területe, amely egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik. Az elemi kombinatorika tárgyai a(z) (ismétléses és ismétlés nélküli) permutációk, kombinációk és variációk.
- Con il termine combinatoria si intende il settore della matematica che studia insiemi finiti di oggetti semplici (interi, stringhe, nodi e collegamenti, punti e linee, configurazioni discrete, insiemi finiti, ... ) che soddisfano proprietà ben definite e tendenzialmente semplici.
- Combinatoriek of combinatieleer is een tak van de wiskunde. In de combinatoriek bestudeert men eindige verzamelingen van objecten die aan gespecificeerde eigenschappen voldoen. In het bijzonder houdt men zich bezig met het "tellen" van objecten in deze verzamelingen en het bepalen of er zekere "optimale" objecten in een verzameling aanwezig zijn. Aangezien men voornamelijk "telt", wordt het ook wel eens telproblemen genoemd.
- Kombinatorikk er et område innen matematikken som går ut på å telle kombinasjoner av objekter i mengder som deles etter gitte regler. Kombinatorikken inngår i den diskrete matematikken og er nært beslektet med sannsynlighetsteorien i og med at man trenger en metode å finne antall mulige utfall, og antall måter et bestemt utfall kan opptre, for å beregne sannsynligheten for det nevnte utfallet.
- Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. Kombinatoryka posługuje się terminologią nie występującą w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność.
- A combinatória é um ramo da matemática que estuda coleções finitas de objetos que satisfaçam certos critérios específicos, e se preocupa, em particular, com a "contagem" de objetos nessas coleções (combinatória enumerativa) e com a decisão se certo objeto "ótimo" existe (combinatória extrema) e com estruturas "algébricas" que esses objetos possam ter (combinatória algébrica).
- Combinatorica este o ramură a matematicii care studiază mulţimi (de obicei finite) de obiecte şi modalităţile de a le "combina".
- Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества и отношения на них.
- Kombinatorik är den del av den diskreta matematiken som behandlar problem angående antalet element i mängder. Ett exempel på kombinatoriskt problem är att bestämma antalet möjligheter att välja k element bland n givna. Ett exempel kan vara att räkna ut hur många olika ordningsföljder en 52-korts kortlek läggas i.
- Kombinatorik, genellikle sonlu soyut nesneleri konu alan pür matematik dalıdır. Dalla ilgilenen matematikçilere kombinatoryalist veya kombinatorist denir. Matematiğin, cebir, olasılık kuramı, ergodik teori ve geometri gibi farklı dallarıyla da ilgili olan kombinatorik ayrıca bilgisayar bilimi ve istatiksel fizik gibi dallarda uygulanmıştır.
- Комбінато́рика (Комбінаторний аналіз) — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил.
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