The collinearity equations are a set of two equations, used in photogrammetry and remote sensing to relate coordinates in a sensor plane (in two dimensions) to object coordinates (in three dimensions). The equations originate from the central projection of a point of the object through the optical centre of the camera to the image on the sensor plane. Let x,y, and z refer to a coordinate system with the x- and y-axis in the sensor plane. Denote the coordinates of the point P on the object by . As a consequence of the projection method there is the same fixed ratio between and , and and . Hence: into:

Property Value
dbo:abstract
  • Die Kollinearitätsgleichung beruht auf den mathematischen und geometrischen Grundlagen der kollinearen Abbildung. Ein typisches Beispiel für eine kollineare Abbildung ist die Zentralprojektion. Dabei werden Gerade wieder auf Gerade abgebildet, Teilungsverhältnisse bleiben erhalten. Anwendungsgebiete der Kollinearitätsgleichung finden sich auf allen Gebieten der Optik und der optischen Bildaufzeichnung, speziell in der optischen Vermessung, der Photogrammetrie und anderer indirekter Messtechniken (z. B. Fließgeschwindigkeit eines Gewässers, Biegefestigkeit von Materialien). Meist wird von den aufgezeichneten Bildpunkten auf die Koordinaten der beobachteten Objektpunkte rückgerechnet. Bildpunkt, Projektionszentrum und beobachteter Objektpunkt liegen dabei auf einer Geraden. Bei bekannten 3D-Koordinaten der Objektpunkte lassen sich deren Bildkoordinaten berechnen. Das entspricht der fotografischen Abbildung der Objektpunkte bei bekannter Kameraposition. Der Berechnung liegt das Modell einer Lochkamera zugrunde die im Idealfall die technische Umsetzung der Zentralprojektion darstellt. Als mathematische Formulierung der Zentralprojektion dienen die Kollinearitätsgleichungen für die Transformation der einzelnen Koordinaten der Punkte. Dabei wird im Wesentlichen mit einer 3x3-Rotationsmatrix multipliziert: Es sei xyz ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse in der Bildfläche. Der Punkt P wird mittels einer Zentralprojektion auf die Bildfläche abgebildet. Der abzubildende Punkt P hat in diesem System die Koordinaten , das Bild von P die Koordinaten x und y, und das Projektionszentrum die Koordinaten . Bei einer Zentralprojektion gibt es ein festes Verhältnis zwischen und und und und mit c die Entfernung des Projektionszentrums von der Bildfläche. Also: Auflösung von aus der letzten Gleichung und Substitution in den zwei anderen Gleichungen liefert das Ergebnis: Der Punkt P ist gewöhnlich bestimmt durch die Koordinaten X, Y und Z in irgendeinem Koordinatensystem "außerhalb" der Kamera. In diesem System hat das Projektionszentrum die Koordinaten . Dieses System kann transformiert werden im System der Kamera mittels einer Rotation und einer Translation. Die Translation beeinflusst die Differenzen der Koordinate nicht, und die Rotation, öfters angedeutet als Kameratransformation, wird bestimmt durch eine 3×3-Matrix R, und führt über in: und Substitution dieser Expressionen führt zu zwei Gleichungen, die 'Kollinearitätsgleichungen" genannt werden: Mit der Indizierung für die Kameraposition und die Aufnahme, und mit einem Korrekturterm für die Aberration der Linse, ergeben sich folgende Gleichungen: Die Symbole bedeuten dabei: * i – Index zur Nummerierung der verschiedenen Kameras * j – Index zur Nummerierung der verschiedenen Objekt- bzw. Bildpunkte * c – Kammerkonstante, entspricht in etwa der Brennweite des Objektives * r – 3×3 Rotationsmatrix zur Definition der Blickrichtung der Kamera * – Vektor zur Beschreibung der Asymmetrie der Bildpunkte von Matrixsensoren * – Vektor zur Definition des Projektionszentrums * – Vektor zur Definition der 3D-Koordinaten der Objektpunkte * – Vektor zur Definition der Lage des Bildhauptpunkts auf dem Film oder Sensor * und – Funktionen zur Spezifizierung der Verzeichnungskorrekturen (de)
  • De collineariteitsvergelijkingen zijn een tweetal uitdrukkingen die de relatie aangeven tussen de coördinaten van een punt in een driedimensionaal coördinatensysteem en de coördinaten van zijn beeldpunt bij centrale projectie op een beeldvlak, zoals bij een camera. De vergelijkingen zijn een eenvoudig meetkundig gevolg van de projectiemethode. De vergelijkingen worden gebruikt in alle gebieden van de optica en de optische beeldregistratie, zoals de optische metingen bij geodesie en fotogrammetrie. Meestal wordt bij deze metingen teruggerekend van het geregistreerde beeld naar de coördinaten van het waargenomen punt. Idealiter liggen het beeldpunt, het projectiecentrum en het objectpunt op een rechte, zijn collineair. In de praktijk ontstaan door het gebruik van een of meer lenzen afwijkingen van de ideale situatie. Als de driedimensionale coördinaten van een objectpunt bekend zijn, kunnen de coördinaten van het beeldpunt bij bekende camerapositie berekend worden. Laat xyz een coördinatensysteem zijn met de x- en y-as in het beeldvlak. Het punt P wordt door centrale projectie op het beeldvlak afgebeeld. Het af te beelden punt P heeft in dit systeem de coördinaten , het beeld van P de coördinaten x en y , en het projectiecentrum de coördinaten . Bij centrale projectie is er eenzelfde verhouding tussen de overeenkomende driehoekszijden en , en , en en , waarin c de afstand is van het projectiecentrum tot het beeldvlak. Dus: Oplossen van uit de laatste vergelijking en substitutie in de beide andere leidt tot de relaties: Het punt is gewoonlijk bepaald door de coördinaten X, Y en Z; in een of ander coördinatensysteem "buiten" de camera. In dit systeem heeft het projectiecentrum de coördinaten . Dit systeem kan door een transformatie overgevoerd worden in het systeem van de camera door middel van een rotatie en een translatie. Door de translatie veranderen de verschillen van de gelijknamige coördinaten niet, en de rotatie, ook wel cameratransformatie geheten, wordt beschreven door een 3×3-matrix R, die overvoert in: en Substitutie van deze uitdrukkingen geeft twee vergelijkingen, die collineariteitsvergelijkingen" genoemd worden: (nl)
  • The collinearity equations are a set of two equations, used in photogrammetry and remote sensing to relate coordinates in a sensor plane (in two dimensions) to object coordinates (in three dimensions). The equations originate from the central projection of a point of the object through the optical centre of the camera to the image on the sensor plane. Let x,y, and z refer to a coordinate system with the x- and y-axis in the sensor plane. Denote the coordinates of the point P on the object by , the coordinates of the image point of P on the sensor plane by x and y and the coordinates of the projection (optical) centre by . As a consequence of the projection method there is the same fixed ratio between and , and , and the distance of the projection centre to the sensor plane and . Hence: Solving for in the last equation and entering it in the others yields: The point P is normally given in some coordinate system "outside" the camera by the coordinates X, Y and Z, and the projection centre by . These coordinates may be transformed through a rotation and a translation to the system on the camera. The translation doesn't influence the differences of the coordinates, and the rotation, often called camera transform, is given by a 3×3-matrix R, transforming into: and Substitution of these expressions, leads to a set of two equations, known as the collinearity equations: The most obvious use of these equations is for images recorded by a camera. In this case the equation describes transformations from object space (X, Y, Z) to image coordinates (x, y). It forms the basis for the equations used in bundle adjustment. They indicate that the image point (on the sensor plate of the camera), the observed point (on the object) and the projection center of the camera were aligned when the picture was taken. (en)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 23899025 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 581456498 (xsd:integer)
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • Die Kollinearitätsgleichung beruht auf den mathematischen und geometrischen Grundlagen der kollinearen Abbildung. Ein typisches Beispiel für eine kollineare Abbildung ist die Zentralprojektion. Dabei werden Gerade wieder auf Gerade abgebildet, Teilungsverhältnisse bleiben erhalten. Es sei xyz ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse in der Bildfläche. Der Punkt P wird mittels einer Zentralprojektion auf die Bildfläche abgebildet. Der abzubildende Punkt P hat in diesem System die Koordinaten , das Bild von P die Koordinaten x und y, und das Projektionszentrum die Koordinaten zwischen und und und und (de)
  • De collineariteitsvergelijkingen zijn een tweetal uitdrukkingen die de relatie aangeven tussen de coördinaten van een punt in een driedimensionaal coördinatensysteem en de coördinaten van zijn beeldpunt bij centrale projectie op een beeldvlak, zoals bij een camera. De vergelijkingen zijn een eenvoudig meetkundig gevolg van de projectiemethode. Als de driedimensionale coördinaten van een objectpunt bekend zijn, kunnen de coördinaten van het beeldpunt bij bekende camerapositie berekend worden. , het beeld van P de coördinaten x en y , en het projectiecentrum de coördinaten en , en , en en , Dus: en (nl)
  • The collinearity equations are a set of two equations, used in photogrammetry and remote sensing to relate coordinates in a sensor plane (in two dimensions) to object coordinates (in three dimensions). The equations originate from the central projection of a point of the object through the optical centre of the camera to the image on the sensor plane. Let x,y, and z refer to a coordinate system with the x- and y-axis in the sensor plane. Denote the coordinates of the point P on the object by . As a consequence of the projection method there is the same fixed ratio between and , and and . Hence: into: (en)
rdfs:label
  • Kollinearitätsgleichung (de)
  • Collineariteitsvergelijking (nl)
  • Collinearity equation (en)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is foaf:primaryTopic of