Continuous functions are of utmost importance in mathematics and applications. However, not all functions are continuous. If a function is not continuous at a point in its domain, one says that it has a discontinuity there. The set of all points of discontinuity of a function may be a discrete set, a dense set, or even the entire domain of the function. This article describes the classification of discontinuities in the simplest case of functions of a single real variable taking real values.

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  • Continuous functions are of utmost importance in mathematics and applications. However, not all functions are continuous. If a function is not continuous at a point in its domain, one says that it has a discontinuity there. The set of all points of discontinuity of a function may be a discrete set, a dense set, or even the entire domain of the function. This article describes the classification of discontinuities in the simplest case of functions of a single real variable taking real values.
  • Der Begriff der Sprungstetigen Funktion oder Regelfunktion ist ein wichtiger Begriff in der Integrationstheorie.
  • Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real. Considérese una función <math>f(x)</math>, de variable real <math>x</math>, definida para todo valor de <math>x</math> excepto posiblemente para un cierto valor <math>x_0</math>. Es decir, <math>f(x)</math> está definida para <math>x<x_0</math> y para <math>x>x_0</math>. Definamos también: el límite por izquierda en <math>x_0</math>, es decir, el límite al aproximarse al valor <math>x=x_0</math> mediante valores menores a <math>x_0</math>, como: <math>L^{-}=\lim_{x\rarr x_0^{-}} f(x)</math> el límite por derecha en <math>x_0</math>, es decir, el límite al aproximarse al valor <math>x=x_0</math> mediante valores mayores a <math>x_0</math>, como: <math>L^{+}=\lim_{x\rarr x_0^{+}} f(x)</math> En estas condiciones, pueden darse tres posibilidades: Los límites <math>L^{-}</math> y <math>L^{+}</math> existen en <math>x=x_0</math>, son finitos y son iguales. En este caso, se dice que <math>x_0</math> es una discontinuidad evitable (o removible) o una discontinuidad que puede salvarse. Los límites <math>L^{-}</math> y <math>L^{+}</math> existen y son finitos, pero no son iguales. En este caso, se dice que <math>x_0</math> es una discontinuidad por salto. Al menos uno de los límites <math>L^{-}</math> y <math>L^{+}</math> no existe o es infinito. En este caso, se dice que <math>x_0</math> es una discontinuidad esencial.
  • Si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali di variabile reale f un punto appartenente al dominio di definizione di f ma in cui f non è continua. Comunemente, viene considerato punto di discontinuità anche un punto che non appartiene al dominio di f, ma appartiene alla parte interna della chiusura di f (in pratica un punto per cui abbia senso definire un limite destro e un limite sinistro di f). In particolare, presa una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] (tranne al più in x0) e considerando un punto x0 appartenente allo stesso intervallo, la funzione presenterà in quel punto: 1. una discontinuità di prima specie (o punto singolare) se il limite destro e il limite sinistro per x tendente a x0 entrambi esistono, sono finiti e il limite destro è diverso dal limite sinistro (la funzione presenta un salto finito in x0). 2. una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti per x tendente a x0 è infinito (sia positivo che negativo) oppure non esiste. 3. una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) se esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro per x tendente a x0 ma il loro valore è diverso da f(x0) o x0 non è nel dominio della funzione.
  • Een functie is discontinu in een punt indien de functie daar niet continu is. Intuïtief betekent dit dat de functie daar niet in één vloeiende lijn getekend kan worden: er is bijvoorbeeld een gat of een sprong. Een meer wiskundige beschrijving is te vinden in het artikel over continuïteit.
  • Punkt nieciągłości – dla danej funkcji taki punkt dziedziny, w którym nie jest ciągła. Punkt nieciągłości nazywamy odosobnionym punktem nieciągłości, jeśli istnieje sąsiedztwo tego punktu w którym funkcja jest ciągła. Przykład funkcji mającej odosobniony punkt nieciągłości to funkcja signum (znak) - punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest puntem nieciągłości jest funkcja Dirichleta.
  • Diskontinuitet är ett matematiskt begrepp som innebär att en funktions värde ändras i ett infinitesimalt (oändligt litet) intervall. En diskontinuitet innebär att derivatan blir oändlig.
  • 不连续点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
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  • the book by Tom Hayes
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  • Discontinuity
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  • Continuous functions are of utmost importance in mathematics and applications. However, not all functions are continuous. If a function is not continuous at a point in its domain, one says that it has a discontinuity there. The set of all points of discontinuity of a function may be a discrete set, a dense set, or even the entire domain of the function. This article describes the classification of discontinuities in the simplest case of functions of a single real variable taking real values.
  • Der Begriff der Sprungstetigen Funktion oder Regelfunktion ist ein wichtiger Begriff in der Integrationstheorie.
  • Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.
  • Si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali di variabile reale f un punto appartenente al dominio di definizione di f ma in cui f non è continua. Comunemente, viene considerato punto di discontinuità anche un punto che non appartiene al dominio di f, ma appartiene alla parte interna della chiusura di f (in pratica un punto per cui abbia senso definire un limite destro e un limite sinistro di f).
  • Een functie is discontinu in een punt indien de functie daar niet continu is. Intuïtief betekent dit dat de functie daar niet in één vloeiende lijn getekend kan worden: er is bijvoorbeeld een gat of een sprong. Een meer wiskundige beschrijving is te vinden in het artikel over continuïteit.
  • Punkt nieciągłości – dla danej funkcji taki punkt dziedziny, w którym nie jest ciągła. Punkt nieciągłości nazywamy odosobnionym punktem nieciągłości, jeśli istnieje sąsiedztwo tego punktu w którym funkcja jest ciągła. Przykład funkcji mającej odosobniony punkt nieciągłości to funkcja signum (znak) - punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest puntem nieciągłości jest funkcja Dirichleta.
  • Diskontinuitet är ett matematiskt begrepp som innebär att en funktions värde ändras i ett infinitesimalt (oändligt litet) intervall. En diskontinuitet innebär att derivatan blir oändlig.
  • 不连续点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
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  • Classification of discontinuities
  • Sprungstetigkeit
  • Clasificación de discontinuidades
  • Punto di discontinuità
  • Discontinuïteit
  • Punkt nieciągłości
  • Diskontinuitet
  • 不连续点
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