For a periodic function xT(t), with period T, the convolution with another function, h(t), is also periodic, and can be expressed in terms of integration over a finite interval as follows: \begin{align} x_T(t) * h(t)\quad &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\ &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau, \end{align}

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  • For a periodic function xT(t), with period T, the convolution with another function, h(t), is also periodic, and can be expressed in terms of integration over a finite interval as follows: \begin{align} x_T(t) * h(t)\quad &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\ &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau, \end{align}
  • Periodisk eller cyklisk faltning är en variant av faltning för funktioner som är eller betraktas som periodiska. Den tidskontinuerliga formen för en funktion av längden <math>T</math> är: <math>y(t) = x*h(t) \,</math> <math> = \int_{t_0}^{t} x(t_0+t-u) h(u) du + \int_{t}^{t_0+T} x(+t-u) h(u) du, \quad t_0 \le t \le (t_0+T)</math> Den tidsdiskreta formen för en funktion av längden <math>N</math> är: <math>y[n] = x*h[n] \,</math> <math> = \sum_{m=M}^{n} x[M+n-m] h[m] + \sum_{m=n+1}^{M+N-1} x[(M+N)+n-m] h[m], \quad M \le n < (M+N)</math>
  • 兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函數。x(t) 的週期延伸可以寫成 x_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t + kT). 兩個函數 x(t) 與 h(t) 的圓周摺積 <math>x(t) \otimes h(t) 可用兩種互相等價的方式來定義 \begin{align} y(t) &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \quad = \quad x_T(t) \star h(t), \end{align} 其中 <math>\star 表示原本的（線性）摺積。 類似的，對於離散信號（數列），可以定義週期 N 的圓周摺積 <math>x[n] \otimes h[n] 為 \begin{align} x_N[n] \star h[n] &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \cdot x_N[n-m] \\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \cdot \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n -m -kN]. \, \end{align} 離散信號的圓周摺積可以經由圓周摺積定理使用快速傅立葉轉換（FFT）而有效率的計算。因此，若原本的（線性）摺積能轉換成圓周摺積來計算，會遠比直接計算更快速。考慮到長度 <math>L 和長度 <math>M 的有限長度離散信號，做摺積之後會成為長度 <math>L+M-1 的信號，因此只要把兩離散信號補上適當數目的零（zero-padding）成為 N 點信號，其中 <math>N\ge L+M-1\, ，則它們的圓周摺積就與摺積相等。即可接著用 N 點 FFT 作計算。 用以上方法計算摺積時，若兩個信號長度相差很多，則較短者須補上相當多的零，太不經濟。而且在某些情況下，例如較短的 h[n] 是一個 FIR 濾波器而較長的 x[n] 是未知長度的輸入（像語音）時，直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號，太不方便。這時可以把 x[n] 分割成許多適當長度的區塊（稱為 block convolution），然後一段一段的處理。經過濾波後的段落再仔細的連接起來，藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份。這兩種做法分別稱為重疊-儲存之摺積法和重疊-相加之摺積法。
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  • For a periodic function xT(t), with period T, the convolution with another function, h(t), is also periodic, and can be expressed in terms of integration over a finite interval as follows: \begin{align} x_T(t) * h(t)\quad &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\ &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau, \end{align}
  • Periodisk eller cyklisk faltning är en variant av faltning för funktioner som är eller betraktas som periodiska.
  • 兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函數。x(t) 的週期延伸可以寫成 x_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t + kT).
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  • Circular convolution
  • Periodisk faltning
  • 圓周摺積
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