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- Ceva's theorem is a well-known theorem in elementary geometry. Given a triangle ABC, and points D, E, and F that lie on lines BC, CA, and AB respectively, the theorem states that lines AD, BE and CF are concurrent if and only if <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1. </math> There is also an equivalent trigonometric form of Ceva's Theorem, that is, AD,BE,CF concur if and only if <math>\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1. </math> The theorem was proved by Giovanni Ceva in his 1678 work De lineis rectis, but it was also proved much earlier by Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, an eleventh-century king of Zaragoza. Associated with the figures are several terms derived from Ceva's name: cevian (the lines AD, BE, CF are the cevians of O), cevian triangle (the triangle DEF is the cevian triangle of O); cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate. (Ceva is pronounced Chay'va; cevian is pronounced chev'ian.)
- Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Dreieckstransversalen, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. In einem Dreieck ABC seien [AD], [BE] und [CF] drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt O innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt: <math>TV(A,B,F) \cdot TV(B,C,D) \cdot TV(C,A,E) = 1</math> Hierbei ist <math>TV(U,V,W)</math> das (orientierte, also eventuell negative) Teilverhältnis von <math>U,V,W</math>, was für drei auf einer Gerade liegenden Punkte <math>U,V,W</math> mit <math>W \neq V</math> definiert wird durch <math>\overrightarrow{UW} = TV(U,V,W) \cdot \overrightarrow{WV}</math>. Wenn <math>W</math> zwischen <math>U</math> und <math>V</math> liegt, ist das genannte Teilverhältnis gleich <math>\overline{UW}/\overline{WV}</math>, andernfalls gleich <math>-\overline{UW}/\overline{WV}</math>. Die oben angegebene Gleichung lässt sich mithilfe des Satzes von Menelaos beweisen. Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden, dass sich die Geraden AD, BE und CF in einem Punkt schneiden. Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der Dreiecksgeometrie für Beweise aus dem Themenbereich "Ausgezeichnete Punkte im Dreieck" verwendet. Wenn die Gleichung gilt, folgt daraus auch: <math>\overline{AF} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CE} = \overline{AE} \cdot \overline{BF} \cdot \overline{CD}</math> Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Menelaos. Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der Satz von Routh.
- En geometria, el teorema de Ceva estableix que, en un triangle qualsevol, tres rectes que van des de cada vèrtex del triangle al costat oposat o a la seva prolongació són concurrents (es tallen en un punt) si i només si <math>\frac{Ay'}{y'C} \cdot \frac{Cx'}{x'B} \cdot \frac{Bz'}{z'A} = 1</math> on cada parell de lletres representa un segment en el triangle, com es pot veure a la figura de la dreta. També existeix en forma trigonomètrica una manera d'expresar el teorema de Ceva. Ax', By' i Cz' són concurrents si i només si <math>\frac{\sin\angle BAx'}{\sin\angle CAx'} \cdot \frac{\sin\angle CBy'}{\sin\angle ABy'} \cdot \frac{\sin\angle ACz'}{\sin\angle BCz'}=1. </math> El teorema va ésser demostrat per Giovanni Ceva a la seva obra De lineis rectis del 1678, però ja havia estat demostrat molt abans per Yusuf ibn Ahmed al-Mutaman, un emir de Saraqusta del segle XI. Hi ha diferents elements geomètrics que estan associats a aquest teorema i tenen un nom que es deriva del de Ceva, com la ceviana (els segments Ax, By i Cz són les cevianes del triangle, concurrents en el punt P) o bé el triangle cevià (el triangle xyz és el triangle cevià de P).
- Cevan lause on italialaisen matemaatikon Giovanni Cevan keksimä tulos vuodelta 1678. Cevan lause kuuluu seuraavasti: Olkoon kolmion ABC sivuilla AB, BC ja AC olevat pisteet D, E ja F. Tällöin janat AE, CD ja BF leikkaavat samassa pisteessä jos ja vain jos AD/BD * BE/CE * CF/AF=1. Trigonometrinen versio Cevan lauseesta kuuluu seuraavasti: Olkoon D, E ja F pisteitä kolmion sivuilla BC, CA ja AB. Tällöin AD, BE ja CF leikkaavat samassa pisteessä jos ja vain jos <math>\frac{\sin \angle BAD \cdot \sin \angle ACF \cdot \sin \angle CBE}{\sin \angle CAD \cdot \sin \angle BCF \cdot \sin \angle ABE}=1. </math> Cevan lauseen avulla voidaan siis todistaa useita kolmion kärkien kautta kulkevien suorien leikkaavan samassa pisteessä mikäli onnistutaan laskemaan kolmion sivujen jakosuhteet.
- Le Théorème de Ceva est un théorème de géométrie affine plane qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes. Il s'interprète naturellement en géométrie euclidienne et se généralise en géométrie projective. Il doit son nom au mathématicien italien Giovanni Ceva qui en énonce et démontre une version dans le De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio en 1678. Cependant, il était déjà connu, à la fin du XIème siècle, de Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, géomètre et roi de Saragosse. Celui-ci le démontre dans son livre de perfection (Kitab al-Istikmal), célèbre en son temps mais dont le texte n'a été redécouvert que récemment.
- Tétel: Az <math>ABC</math> háromszögben <math>AD</math>, <math>BE</math> és <math>CF</math> egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban (<math>O</math>), ha <math>\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} = 1</math> . Fájl:Ceva's theorem 1. svg Ceva-tétel Bizonyítás: Használjuk Menelaosz tételét az <math>ABE</math> háromszögre : <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BO}{OE} \cdot \frac{EC}{CA} = -1</math>. Majd ugyanezt a <math>BCE</math> háromszögre: <math>\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AE} \cdot \frac{EO}{OB} = -1</math>. Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet: <math>\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} = 1</math> .
- Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Esso fu dimostrato per la prima volta da Giovanni Ceva nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.
- チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、幾何学の定理の1つである。ジョバンニ・チェバによって証明されたため、この名前がついている。
- De stelling van Ceva is een populaire stelling in de elementaire geometrie. Bij een driehoek ABC, met ingeschreven driehoek DEF, verklaart de stelling dat de lijnen AD, BE en CF een gemeenschappelijk snijpunt hebben zijn als <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1. </math> Hierbij moet het teken van <math>\frac{AF}{FB}</math> positief worden genomen als F tussen A en B ligt, en negatief als F buiten het lijnstuk AB ligt. Het theorema werd voor het eerst bewezen door Giovanni Ceva in zijn boek De lineis rectis uit 1678.
- Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.
- O teorema de Ceva é um teorema de geometria elementar que estabelece uma condição necessária e suficiente para que três cevianas sejam concorrentes. Este teorema, provado em 1678 por Giovanni Ceva, na sua obra De lineis rectis, afirma que três cevianas de um triângulo concorrem em um ponto se, e somente se, <math>\mathbf{CD} \cdot \mathbf{FB} \cdot \mathbf{AE} = \mathbf{DB} \cdot \mathbf{FA} \cdot \mathbf{EC}</math>
- Teorema lui Ceva este o propoziţie din geometria triunghiului, cu aplicaţii în geometria proiectivă. A fost descoperită de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a formulat-o şi a demonstrat-o în 1678 în lucrarea De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio. Se pare că această teoremă era cunoscută, cu multe secole înainte (secolul al XI-lea), şi de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud).
- Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Три чевианы <math>AA', BB', CC'</math> треугольника <math>\triangle ABC</math> конкурентны (то есть, проходят через одну точку или параллельны) тогда и только тогда, когда <math>|BA'|\cdot |CB'|\cdot |AC'|=|CA'|\cdot |AB'|\cdot |BC'|</math> Эту теорему можно обобщить на случай когда точки <math>A', B', C'</math> лежат на продолжениях сторон <math> BC, CA, AB</math>. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков», оно определено для двух направленных отрезков <math>XY</math> и <math>ZT</math> на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается <math>{XY}/{ZT}</math> Пусть <math>A', B', C'</math> лежат на прямых <math> BC, CA, AB</math> треугольника <math>\triangle ABC</math>. Прямые <math>AA', BB', CC'</math> конкурентны тогда и только тогда, когда <math>\frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}\cdot \frac{AC'}{C'B}=1</math>
- Ceva Teoremi, Bir ABC üçgeninde D, E ve F sırasıyla BC, CA ve AB doğru parçaları üzerindeki noktalar olmak kaydı ile AD, BE ve CF doğru parçalarının aynı noktada kesişmeleri için gerek ve yeter koşul şöyle yazılabilir: <math>BD. CE. AF=DC. EA. FB</math> Bu durum söz konusu olan doğru parçaları kenarortay, açıortay veya yükseklik olduğunda da geçerlidir.
- Файл:Ceva's theorem 1. svg Теорема Чеви: три прямі конкурентні в точці O Теорема Чеви — відома теорема класичної геометрії. Нехай дано трикутник ABC, і точки D, E, і F, що лежать на прямих BC, CA, and AB відповідно. Теорема стверджує, що лінії AD, BE і CF конкурентні тоді і тільки тоді якщо: <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1. </math> Є також аналогічне тригонометричне формулювання Теореми Чеви, а саме AD, BE, CF конкурентні тоді і тільки тоді: <math>\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1. </math> Теорему довів в 1678 році Джованні Чева в праці De lineis rectis, але її також довів набагато раніше Юсуф Аль-Мутаман ібн Худ, король Сарагоси в XI столітті.
- 塞瓦線段（cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果<math>\triangle ABC</math>的塞瓦線段AD、BE、CF通过同一点O，则 <math>\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1</math> 它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在<math>\triangle ABC</math>的边BC、CA、AB或其延长线上，且满足 <math>\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1</math>， 则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。 它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明。
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- Ceva's theorem is a well-known theorem in elementary geometry. Given a triangle ABC, and points D, E, and F that lie on lines BC, CA, and AB respectively, the theorem states that lines AD, BE and CF are concurrent if and only if <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.
- Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Dreieckstransversalen, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. In einem Dreieck ABC seien [AD], [BE] und [CF] drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt O innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden.
- En geometria, el teorema de Ceva estableix que, en un triangle qualsevol, tres rectes que van des de cada vèrtex del triangle al costat oposat o a la seva prolongació són concurrents (es tallen en un punt) si i només si <math>\frac{Ay'}{y'C} \cdot \frac{Cx'}{x'B} \cdot \frac{Bz'}{z'A} = 1</math> on cada parell de lletres representa un segment en el triangle, com es pot veure a la figura de la dreta.
- Cevan lause on italialaisen matemaatikon Giovanni Cevan keksimä tulos vuodelta 1678. Cevan lause kuuluu seuraavasti: Olkoon kolmion ABC sivuilla AB, BC ja AC olevat pisteet D, E ja F. Tällöin janat AE, CD ja BF leikkaavat samassa pisteessä jos ja vain jos AD/BD * BE/CE * CF/AF=1. Trigonometrinen versio Cevan lauseesta kuuluu seuraavasti: Olkoon D, E ja F pisteitä kolmion sivuilla BC, CA ja AB.
- Le Théorème de Ceva est un théorème de géométrie affine plane qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes. Il s'interprète naturellement en géométrie euclidienne et se généralise en géométrie projective. Il doit son nom au mathématicien italien Giovanni Ceva qui en énonce et démontre une version dans le De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio en 1678.
- Tétel: Az <math>ABC</math> háromszögben <math>AD</math>, <math>BE</math> és <math>CF</math> egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban (<math>O</math>), ha <math>\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} = 1</math> . Fájl:Ceva's theorem 1.
- Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Esso fu dimostrato per la prima volta da Giovanni Ceva nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.
- チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、幾何学の定理の1つである。ジョバンニ・チェバによって証明されたため、この名前がついている。
- De stelling van Ceva is een populaire stelling in de elementaire geometrie. Bij een driehoek ABC, met ingeschreven driehoek DEF, verklaart de stelling dat de lijnen AD, BE en CF een gemeenschappelijk snijpunt hebben zijn als <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1. </math> Hierbij moet het teken van <math>\frac{AF}{FB}</math> positief worden genomen als F tussen A en B ligt, en negatief als F buiten het lijnstuk AB ligt.
- Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.
- O teorema de Ceva é um teorema de geometria elementar que estabelece uma condição necessária e suficiente para que três cevianas sejam concorrentes. Este teorema, provado em 1678 por Giovanni Ceva, na sua obra De lineis rectis, afirma que três cevianas de um triângulo concorrem em um ponto se, e somente se, <math>\mathbf{CD} \cdot \mathbf{FB} \cdot \mathbf{AE} = \mathbf{DB} \cdot \mathbf{FA} \cdot \mathbf{EC}</math>
- Teorema lui Ceva este o propoziţie din geometria triunghiului, cu aplicaţii în geometria proiectivă. A fost descoperită de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a formulat-o şi a demonstrat-o în 1678 în lucrarea De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio. Se pare că această teoremă era cunoscută, cu multe secole înainte (secolul al XI-lea), şi de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud).
- Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.
- Ceva Teoremi, Bir ABC üçgeninde D, E ve F sırasıyla BC, CA ve AB doğru parçaları üzerindeki noktalar olmak kaydı ile AD, BE ve CF doğru parçalarının aynı noktada kesişmeleri için gerek ve yeter koşul şöyle yazılabilir: <math>BD. CE. AF=DC. EA. FB</math> Bu durum söz konusu olan doğru parçaları kenarortay, açıortay veya yükseklik olduğunda da geçerlidir.
- Файл:Ceva's theorem 1. svg Теорема Чеви: три прямі конкурентні в точці O Теорема Чеви — відома теорема класичної геометрії. Нехай дано трикутник ABC, і точки D, E, і F, що лежать на прямих BC, CA, and AB відповідно.
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