In mathematics, the category Ab has the abelian groups as objects and group homomorphisms as morphisms. This is the prototype of an abelian category: indeed, every small abelian category can be embedded in Ab. The monomorphisms in Ab are the injective group homomorphisms, the epimorphisms are the surjective group homomorphisms, and the isomorphisms are the bijective group homomorphisms. The zero object of Ab is the trivial group {0} which consists only of its neutral element. (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y)

Property Value
dbo:abstract
  • In mathematics, the category Ab has the abelian groups as objects and group homomorphisms as morphisms. This is the prototype of an abelian category: indeed, every small abelian category can be embedded in Ab. The monomorphisms in Ab are the injective group homomorphisms, the epimorphisms are the surjective group homomorphisms, and the isomorphisms are the bijective group homomorphisms. The zero object of Ab is the trivial group {0} which consists only of its neutral element. Note that Ab is a full subcategory of Grp, the category of all groups. The main difference between Ab and Grp is that the sum of two homomorphisms f and g between abelian groups is again a group homomorphism: (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) The third equality requires the group to be abelian. This addition of morphism turns Ab into a preadditive category, and because the direct sum of finitely many abelian groups yields a biproduct, we indeed have an additive category. In Ab, the notion of kernel in the category theory sense coincides with kernel in the algebraic sense, i.e.: the kernel of the morphism f : A → B is the subgroup K of A defined by K = {x in A : f(x) = 0}, together with the inclusion homomorphism i : K → A. The same is true for cokernels: the cokernel of f is the quotient group C = B/f(A) together with the natural projection p : B → C. (Note a further crucial difference between Ab and Grp: in Grp it can happen that f(A) is not a normal subgroup of B, and that therefore the quotient group B/f(A) cannot be formed.) With these concrete descriptions of kernels and cokernels, it is quite easy to check that Ab is indeed an abelian category. The product in Ab is given by the product of groups, formed by taking the cartesian product of the underlying sets and performing the group operation componentwise. Because Ab has kernels, one can then show that Ab is a complete category. The coproduct in Ab is given by the direct sum; since Ab has cokernels, it follows that Ab is also cocomplete. Taking direct limits in Ab is an exact functor, which turns Ab into an abelian category. We have a forgetful functor Ab → Set which assigns to each abelian group the underlying set, and to each group homomorphism the underlying function. This functor is faithful, and therefore Ab is a concrete category. The forgetful functor has a left adjoint (which associates to a given set the free abelian group with that set as basis) but does not have a right adjoint. An object in Ab is injective if and only if it is divisible; it is projective if and only if it is a free abelian group. The category has a projective generator (Z) and an injective cogenerator (Q/Z). This implies that Ab is an example of a Grothendieck category. Given two abelian groups A and B, their tensor product A⊗B is defined; it is again an abelian group. With this notion of product, Ab is a symmetric monoidal category. Ab is not cartesian closed (and therefore also not a topos) since it lacks exponential objects. (en)
  • En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens. (fr)
  • En matemáticas la categoría Ab. es la que tiene como objetos a los grupos abelianos y los homomorfismo de grupos como morfismos de la categoría. Los monomorfismos en Ab son los homomorfismos inyectivos de grupos abelianos, los epimorfismos son los homomorfismos suprayectivos y los isomorfismos son los homomorfismos biyectivos. El objeto cero de la categoría es el grupo trivial {0} que consiste solo del elemento neutro. Ab es una subcategoría plena de Grp (categoría de grupos). Una gran diferencia entre Ab y Grp es que la suma de dos homomorfismos f y g de grupos abelianos es de nuevo un homomorfismo de grupos: (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) La tercera parte de la igualdad requiere que el grupo sea abeliano. Esta adición de morfismos convierte a Ab en una categoría preaditiva y como la suma directa de grupos abelianos es un coproducto entonces Ab es una categoría aditiva. En Ab la noción categórica de núcleo coincide con la noción algebraica de núcleo i.e.: el núcleo categórico del morfismo f : A → B es el subgrupo k de A definido por K = {x in A : f(x) = 0}, con la inclusión i : K → A. De forma análoga el conúcleo de f es el grupo cociente C = B/f(A) junto con la proyección natural p : B → C. (Dese cuenta de la gran diferencia entre Ab y Grp: en Grp puede suceder que f(A) no es un subgrupo normal de B y por lo tanto el conjunto cocienteB/f(A) no es un grupo.) Con esta completa descripción de núcleos y conúcleos es fácil ver que Ab es en realidad una categoría abeliana. El producto en Ab de una familia de objetos está dado por el producto directo de grupos formado al tomar el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes y dotarlo de una multiplicación componente a componente. Debido a que Ab tiene núcleos se puede probar que Ab es una categoría completa. El coproducto como ya se mencionó en Ab está dado por la suma directa, como Ab tiene conúcleos tenemos que Ab es también cocompleta.. También se tiene un funtor que olvida U:Ab → Set que asigna a cada grupo abeliano su conjunto subyacente y a cada homomorfismo de grupos la función subyacente. Este funtor es pleno y por lo tanto Ab es una categoría concreta. El funtor que olvida tiene como adjunto izquierdo a el funtor F:Set → Ab que a cada conjunto X le asigna el grupo abeliano libre con base en el conjunto X pero el funtor U no tiene adjunto derecho. Un objeto en Ab es inyectivo si y solo si es divisible, es proyectivo si y solo si es un grupo abeliano libre. La categoría tiene un generador proyectivo (Z) y un cogenerador inyectivo (Q/Z). esto implica que Ab es una categoría de Grothendieck. Dados dos grupos abelianos A, B su producto tensorial A⊗B es de nuevo un grupo abeliano con esta noción de producto Ab es una categoría monoidal. Ab no es una categoría cartesianamente cerrada y por lo tanto no es un topos ya que carece de objeto exponencial. (es)
  • In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de categorie van abelse groepen, Ab, de categorie met de abelse groepen als objecten en de groepshomomorfismen als morfismen. Deze categorie is het prototype van een abelse categorie. De monomorfismen in Ab zijn de injectieve groepshomomorfismen, de epimorfismen zijn de surjectieve groepshomomorfismen en de isomorfismen zijn de bijectieve groepshomomorfismen. Het nulobject van Ab is de triviale groep {0}, die alleen uit haar identiteitselement bestaat. Merk op dat Ab een volledige deelcategorie van Grp, de categorie van alle groepen is. Het belangrijkste verschil tussen Ab en Grp is dat de som van twee homomorfismen f en g tussen abelse groepen opnieuw een groepshomomorfisme is: (nl)
  • Em matemática, a categoria Ab tem os grupos abelianos como objetos e homomorfismos de grupos como morfismos. Este é o protótipo de uma categoria abeliana. Os monomorfismos em Ab são os homomorfismos de grupos injetivos, os epimorfismos são os homomorfismos de grupos sobrejectivos, e os isomorfismos são os homomorfismos de grupos bijetivos. O objeto inicial de Ab é o grupo trivial {0} o qual consiste somente de seus elementos neutros. Note-se que Ab é uma categoria plena de Grp, a categoria de todos os grupos. A principal diferença entre Ab e Grp é que a soma de dois homomorfismos f e g entre grupos abelianos é novamente um homomorfismo de grupo: (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) A terceira igualdade requer que o grupo seja abeliano. Esta adição de morfismo torna Ab em uma categoria preaditiva, e porque a soma direta de muitos finitamente grupos resulta um biproduto, nós na verdade temos uma categoria aditiva. Em Ab, a noção de núcleo no sentido da teoria da categoria coincide com núcleo no sentido algébrico, i.e.: o núcleo do morfismo f : A → B é o subgrupo K de A definido por K = {x em A : f(x) = 0}, juntamente com a inclusão do homomorfismo i : K → A. O mesmo é verdadeiro para conúcleos: o conúcleo de f é o grupo quociente C = B/f(A) juntamente com a projeção natural p : B → C. (Note-se uma adicional diferença crucial entre Ab e Grp: em Grp pode acontecer que f(A) não é um subgrupo normal de B, e que portanto o grupo quociente B/f(A) não pode ser formado.) Com estas concretas descrições de núcleos e conúcleos, é bastante fácil verificar que Ab é realmente uma categoria abeliana. (pt)
  • Категория абелевых групп (обозначается Ab) — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Является прототипом абелевой категории., в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в Ab. Ab является полной подкатегорией Grp (категории всех групп). Главное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов абелевых групп — снова гомоморфизм: (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) Третье равенство требует коммутативности сложения. Сложение морфизмов делает Ab предаддитивной категорией, и поскольку конечная прямая сумма абелевых групп является бипроизведением, следует, что Ab — аддитивная категория. В Ab понятие ядра в категорном смысле совпадает с понятием ядра в алгебраическом смысле, то же самое верно для коядра. (Ключевое различие между Ab и Grp здесь состоит в том, что в Grp f(A) может не быть нормальной подгруппой, поэтому факторгруппа B/f(A) не всегда может быть определена.) Имея конкретные описания ядра и коядра, легко проверить, что Ab — в действительности абелева категория. Объект Ab является инъективным тогда и только тогда, когда группа полная; он проективен тогда и только тогда, когда группа свободная. По двум абелевым группам A и B можно определить их тензорное произведение A⊗B; оно вновь является абелевой группой, что делает Ab моноидальной категорией. Ab не является декартово замкнутой, потому что в ней не всегда определены экспоненциалы. (ru)
dbo:wikiPageID
  • 454748 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 667770057 (xsd:integer)
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens. (fr)
  • In mathematics, the category Ab has the abelian groups as objects and group homomorphisms as morphisms. This is the prototype of an abelian category: indeed, every small abelian category can be embedded in Ab. The monomorphisms in Ab are the injective group homomorphisms, the epimorphisms are the surjective group homomorphisms, and the isomorphisms are the bijective group homomorphisms. The zero object of Ab is the trivial group {0} which consists only of its neutral element. (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) (en)
  • En matemáticas la categoría Ab. es la que tiene como objetos a los grupos abelianos y los homomorfismo de grupos como morfismos de la categoría. Los monomorfismos en Ab son los homomorfismos inyectivos de grupos abelianos, los epimorfismos son los homomorfismos suprayectivos y los isomorfismos son los homomorfismos biyectivos. El objeto cero de la categoría es el grupo trivial {0} que consiste solo del elemento neutro. (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) (es)
  • In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de categorie van abelse groepen, Ab, de categorie met de abelse groepen als objecten en de groepshomomorfismen als morfismen. Deze categorie is het prototype van een abelse categorie. De monomorfismen in Ab zijn de injectieve groepshomomorfismen, de epimorfismen zijn de surjectieve groepshomomorfismen en de isomorfismen zijn de bijectieve groepshomomorfismen. Het nulobject van Ab is de triviale groep {0}, die alleen uit haar identiteitselement bestaat. (nl)
  • Em matemática, a categoria Ab tem os grupos abelianos como objetos e homomorfismos de grupos como morfismos. Este é o protótipo de uma categoria abeliana. Os monomorfismos em Ab são os homomorfismos de grupos injetivos, os epimorfismos são os homomorfismos de grupos sobrejectivos, e os isomorfismos são os homomorfismos de grupos bijetivos. O objeto inicial de Ab é o grupo trivial {0} o qual consiste somente de seus elementos neutros. (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) (pt)
  • Категория абелевых групп (обозначается Ab) — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Является прототипом абелевой категории., в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в Ab. Ab является полной подкатегорией Grp (категории всех групп). Главное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов абелевых групп — снова гомоморфизм: (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) (ru)
rdfs:label
  • Category of abelian groups (en)
  • Categoría de grupos abelianos (es)
  • Catégorie des groupes abéliens (fr)
  • Categorie van abelse groepen (nl)
  • Categoria de grupos abelianos (pt)
  • Категория абелевых групп (ru)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is foaf:primaryTopic of