Catalan's conjecture (occasionally now referred to as Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu. To understand the conjecture, notice that 2 and 3 are two powers of natural numbers, whose values 8 and 9 respectively are consecutive. The conjecture states that this is the only case of two consecutive powers.

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  • Catalan's conjecture (occasionally now referred to as Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu. To understand the conjecture, notice that 2 and 3 are two powers of natural numbers, whose values 8 and 9 respectively are consecutive. The conjecture states that this is the only case of two consecutive powers. That is to say, that the only solution in the natural numbers of x − y = 1 for x, a, y, b > 1 is x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. History of the problem dates back at least to Gersonides, who proved a special case of the conjecture in 1343 where x and y were restricted to be 2 or 3. In 1974, Robert Tijdeman applied methods from the theory of transcendental numbers to show that there is an effectively computable constant C so that the exponents of all consecutive powers are less than C. As the results of a number of other mathematicians collectively had established a bound for the base dependent only on the exponents, this resolved Catalan's conjecture for all but a finite number of cases. However, the finite calculation required to complete the proof of the theorem was nonetheless too time-consuming to perform. Catalan's conjecture was proven by Preda Mihăilescu in April 2002, so it is now sometimes called Mihăilescu's theorem. The proof was published in the Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. It makes extensive use of the theory of cyclotomic fields and Galois modules. An exposition of the proof was given by Yuri Bilu in the Séminaire Bourbaki. Pillai's conjecture concerns a general difference of perfect powers. It states that the differences in the sequence of all perfect powers tend to infinity, so that each given difference occurs only finitely many times. It is an open problem (though Chudnowski has claimed to prove it) and is named for S. S. Pillai. Paul Erdős conjectured that there is some positive constant c such that if d is the difference of a perfect power n, then d>n for sufficiently large n.
  • Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen <math>2^3 = 8</math> und <math>3^2 = 9</math> keine weiteren Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt: Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung <math>x^p - y^q = 1</math> mit <math>x,p,y,q > 1</math> lautet <math>x=3</math>, <math>p=2</math>, <math>y=2</math> und <math>q=3</math>. Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.
  • La conjetura de Catalan (también conocida como teorema de Mihăilescu) es un teorema de teoría de números propuesto por el matemático Eugène Charles Catalan en 1884 y demostrado por primera vez por Preda Mihăilescu en abril de 2002. Para entender esta conjetura, nótese que 2³ = 8 y 3² = 9 son dos números que son potencias consecutivas de números naturales. La conjetura de Catalan dice que éste es el único caso de dos potencias consecutivas. Es decir, la conjetura de Catalan afirma que la única solución en el conjunto de los números naturales de x − y = 1 para x,a,y,b > 1 es x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. En particular, nótese que no tiene importancia que los mismos números 2 y 3 estén repetidos en la ecuación 3² − 2³ = 1.
  • Catalanin otaksuma on Eugene Charles Catalanin keksimä Diofantoksen yhtälö, jonka mukaan yhtälön <math>x^n-y^m=1</math> ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on <math>x=3</math>, <math>y=2</math>, <math>n=2</math> ja <math>m=3</math>. Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihailescu syklotomisten kuntien ja Galois'n moduulien teorian avulla.
  • Le théorème de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé par le mathématicien Eugène Charles Catalan. Ce théorème s'énonce de la façon suivante : les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 2 et 3) (une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme par exemple 6). En d'autres termes, le théorème de Catalan énonce que la seule solution en nombres naturels de l'équation x − y = 1 pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. Ce résultat fut démontré par Preda Mihăilescu en avril 2002. La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois. La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.
  • A Catalan-sejtés a számelmélet egyszerűen megfogalmazható sejtése, amelyet belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A sejtés szerint a 8= 2 és 9 = 3 az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra. Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az x ‒ y = 1 egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén: 3 ‒ 2 = 1 Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. C. L. Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az mostmár sejtésből tétellé vált.
  • In teoria dei numeri, il teorema di Mihăilescu è la soluzione di un problema prima chiamato congettura di Catalan perché proposto dal matematico Eugène Charles Catalan nel 1844. La congettura è stata dimostrata nell'aprile del 2002, pertanto oggi rappresenta un teorema. Per comprendere il problema, si osservi che 2 = 8 e 3 = 9 sono due potenze consecutive di numeri naturali. Il teorema di Mihăilescu afferma che questo è l'unico caso di due potenze consecutive. In altre parole, il teorema afferma che l'unica soluzione dell'equazione diofantea: <math>x^a - y^b = 1</math> per <math>x</math>, <math>a</math>,<math>y</math>,<math>b > 1</math> sia <math>x = 3</math>, <math>a = 2</math>, <math>y = 2</math>, <math>b = 3</math>. Sebbene una soluzione è data da <math>x = b = 3</math> e <math>y = a = 2</math>, si presti attenzione che l'equazione: <math>x^y - y^x = 1</math> non è l'equazione della congettura di Catalan; anche un caso in cui i numeri non fossero ripetuti sarebbe un controesempio della congettura. Prima ancora che Catalan proponesse il problema, era già stato dimostrato da Eulero circa un secolo prima che: <math>x^2 - y^3 = \pm1</math> ha come uniche soluzioni <math>x = 3</math>, <math>y = 2</math>. Pochi anni dopo Lebesgue dimostrò che l'equazione <math>x^a - y^2 = 1</math> non ha soluzioni per <math>x</math>, a, <math>y</math> interi e <math>a > 1</math>. Nel 1965 Ko Chao dimostrò che l'equazione <math>x^2 - y^b = 1</math> è impossibile in numeri interi positivi, eccettuata la semplice soluzione <math>3^2 - 2^3 = 1</math>. La combinazione di questi due risultati consentì di ridurre il problema al caso di <math>a</math>, <math>b</math> numeri primi dispari. Altri importanti passi avanti furono compiuti da Cassels, Tijdeman ed Inkeri. La congettura di Catalan fu finalmente dimostrata da Preda Mihăilescu nell'aprile 2002, dopo che lo stesso aveva compiuto degli importanti progressi già nel 1999. La dimostrazione fu verificata da Yuri Bilu e fu pubblicata nel 2004 nel Journal für die reine und angewandte Mathematik. Essa fa un largo uso della teoria dei campi ciclotomici e dei moduli di Galois.
  • カタラン予想（ -よそう）とは、1844年にベルギー人の数学者・が提唱した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた。
  • Twierdzenie Mihăilescu (przypuszczenie Catalana) jest twierdzeniem w teorii liczb. Przypuszczenie postawił Eugène Charles Catalan w 1844. Zostało udowodnione w 2002 przez rumuńskiego matematyka Preda Mihăilescu. Sformułowanie: Równanie <math>a^x-b^y=1</math> gdzie <math>a,x,b,y</math> są liczbami całkowitymi większymi od 1 ma tylko jedno rozwiązanie: <math>a=3,x=2,b=2,y=3</math>. Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o naturalnych wykładnikach większych od 1) jest <math>8=2^3</math> oraz <math>9=3^2</math>.
  • 卡塔蘭猜想是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭（Eugène Charles Catalan）在1844年提出的一個數論的猜想。它是說除了<math>8=2^3</math>，<math>9=3^2</math>，沒有兩個連續整數都是正整數的幂；以數學方式表述為：不定方程<math>x^a-y^b=1</math>的大於1的正整數<math>x,y,a,b</math>只有唯一解<math>x=3,y=2,a=2,b=3</math>。 也可以叫“8--9”猜想。 2002年4月，帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫（Preda Mihăilescu）證明了這猜想，所以它現在是定理了。這個證明由尤里·比盧（Yuri Bilu）檢查，大幅使用了分圓域和伽羅華模。 與卡塔蘭猜想相似的有费馬大定理。
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  • Catalan's conjecture
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  • CatalansConjecture
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  • Catalan's conjecture (occasionally now referred to as Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu. To understand the conjecture, notice that 2 and 3 are two powers of natural numbers, whose values 8 and 9 respectively are consecutive. The conjecture states that this is the only case of two consecutive powers.
  • Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen <math>2^3 = 8</math> und <math>3^2 = 9</math> keine weiteren Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden.
  • La conjetura de Catalan (también conocida como teorema de Mihăilescu) es un teorema de teoría de números propuesto por el matemático Eugène Charles Catalan en 1884 y demostrado por primera vez por Preda Mihăilescu en abril de 2002. Para entender esta conjetura, nótese que 2³ = 8 y 3² = 9 son dos números que son potencias consecutivas de números naturales. La conjetura de Catalan dice que éste es el único caso de dos potencias consecutivas.
  • Catalanin otaksuma on Eugene Charles Catalanin keksimä Diofantoksen yhtälö, jonka mukaan yhtälön <math>x^n-y^m=1</math> ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on <math>x=3</math>, <math>y=2</math>, <math>n=2</math> ja <math>m=3</math>. Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihailescu syklotomisten kuntien ja Galois'n moduulien teorian avulla.
  • Le théorème de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé par le mathématicien Eugène Charles Catalan. Ce théorème s'énonce de la façon suivante : les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 2 et 3) (une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme par exemple 6).
  • A Catalan-sejtés a számelmélet egyszerűen megfogalmazható sejtése, amelyet belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A sejtés szerint a 8= 2 és 9 = 3 az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra. Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az x ‒ y = 1 egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén: 3 ‒ 2 = 1 Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre.
  • In teoria dei numeri, il teorema di Mihăilescu è la soluzione di un problema prima chiamato congettura di Catalan perché proposto dal matematico Eugène Charles Catalan nel 1844. La congettura è stata dimostrata nell'aprile del 2002, pertanto oggi rappresenta un teorema. Per comprendere il problema, si osservi che 2 = 8 e 3 = 9 sono due potenze consecutive di numeri naturali. Il teorema di Mihăilescu afferma che questo è l'unico caso di due potenze consecutive.
  • カタラン予想（ -よそう）とは、1844年にベルギー人の数学者・が提唱した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた。
  • Twierdzenie Mihăilescu (przypuszczenie Catalana) jest twierdzeniem w teorii liczb. Przypuszczenie postawił Eugène Charles Catalan w 1844. Zostało udowodnione w 2002 przez rumuńskiego matematyka Preda Mihăilescu. Sformułowanie: Równanie <math>a^x-b^y=1</math> gdzie <math>a,x,b,y</math> są liczbami całkowitymi większymi od 1 ma tylko jedno rozwiązanie: <math>a=3,x=2,b=2,y=3</math>.
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  • Catalan's conjecture
  • Catalansche Vermutung
  • Conjetura de Catalan
  • Catalanin otaksuma
  • Théorème de Catalan
  • Catalan-sejtés
  • Teorema di Mihăilescu
  • カタラン予想
  • Twierdzenie Mihăilescu
  • 卡塔蘭猜想
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