| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, cardinal numbers, or cardinals for short, are a generalization of the natural numbers used to measure the cardinality (size) of sets. The cardinality of a finite set is a natural number, the number of elements in the set. The transfinite cardinal numbers describe the sizes of infinite sets. Cardinality is defined in terms of bijective functions. Two sets have the same cardinal number if and only if there is a bijection between them. In the case of finite sets, this agrees with the intuitive notion of size. In the case of infinite sets, the behavior is more complex. A fundamental theorem due to Georg Cantor shows that it is possible for infinite sets to have different cardinalities, and in particular the set of real numbers and the set of natural numbers do not have the same cardinal number. It is also possible for a proper subset of an infinite set to have the same cardinality as the original set, something that cannot happen with proper subsets of finite sets. There is a transfinite sequence of cardinal numbers: <math>0, 1, 2, 3, \cdots, n, \cdots; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots, \aleph_{\alpha}, \cdots. </math> This sequence starts with the natural numbers (finite cardinals), which are followed by the aleph numbers (infinite cardinals of well-ordered sets). The aleph numbers are indexed by ordinal numbers. Under the assumption of the axiom of choice, this transfinite sequence includes every cardinal number. If one rejects that axiom, the situation is more complicated, with additional infinite cardinals that are not alephs. Cardinality is studied for its own sake as part of set theory. It is also a tool used in branches of mathematics including combinatorics, abstract algebra, and mathematical analysis.
- Beim Zählen benutzt man Kardinalzahlen (auch Grundzahlen genannt), um die „Größe“ von Mengen zu beschreiben: Eine Menge hat null, eins, zwei, drei, ... Elemente. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Der Begriff leitet sich vom lateinischen „cardo“ (Türangel, Dreh- und Angelpunkt) ab. Der Mathematiker Georg Cantor beschrieb, wie man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann und wie man mit unendlichen Kardinalzahlen rechnen kann. Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Während diese beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge führt zum Begriff der Ordinalzahl, während die Größenangabe zu Kardinalzahlen führt, die hier beschrieben sind.
- En matemàtiques, els nombres cardinals, o senzillament cardinals, són nombres usats per a expressar la mida d'un conjunt. Un nombre natural es pot usar amb dos objectius: per descriure la mida d'un conjunt, o per descriure la posició d'un element a una successió. Mentre que en el món dels nombres finits aquests dos conceptes coincideixen, quan es pensa en conjunts infinits cal distingir entre els dos. Aquesta idea va ser desenvolupada per Georg Cantor. La posició porta als nombres ordinals, que van ser descoberts per Cantor, mentre que la mida és generalitzada pels nombres cardinals aquí descrits. Dos conjunts X i Y tenen la mateixa cardinalitat si existeix una aplicació bijectiva o entre X i Y; llavors es diu que són equipotents. La cardinalitat mesura el nombre d'elements d'un conjunt X i es denota amb alguna de les notacions següents: card(X), #X o bé | X |.
- V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.
- El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto <math>A\,, el cardinal de este conjunto se simboliza mediante <math>|A|\,, <math>\mbox{card}(A)\, o <math>\#A. Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.
- En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Les nombres cardinaux permettent donc de mesurer l'ampleur de tout ensemble, même infini, là où les entiers naturels ne comptent le nombre d'éléments que d'ensembles finis.
- In matematica, i numeri cardinali (o semplicemente i cardinali) sono un tipo generalizzato di numeri utilizzati per indicare la grandezza di un insieme. Mentre per gli insiemi finiti la grandezza è indicata da un numero naturale, e cioè il numero di elementi, i numeri cardinali classificano oltre a questi anche diversi tipi di infinito. Da un lato è possibile che un sottoinsieme proprio di un insieme infinito abbia la stessa cardinalità dell'insieme che lo contiene, d'altra parte non è detto che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa grandezza. Esiste una caratterizzazione formale di come alcuni insiemi infiniti siano più piccoli di altri insiemi infiniti. Il concetto di cardinalità è utilizzato in molte branche della matematica, ed è anche studiato nella teoria degli insiemi, particolarmente per descrivere le proprietà dei grandi cardinali.
- 数学でいう濃度（のうど、potency）とは、集合論に基づいて、個数の概念を発展させたものである。基数 (cardinal number) とも呼ぶ。有限集合では、個数と考えて良い。例えば、1 個のリンゴ、10 個のミカンというときの 1 や 10 は基数である。これに対する概念として順序数がある。1 番目、2 番目という時の 1 や 2 がそうである。 カントールにより、無限集合の濃度は一つではないことが見出された。
- In de wiskunde zijn kardinaalgetallen (of kardinalen) een veralgemening van de natuurlijke getallen die worden gebruikt om de kardinaliteit (grootte) van verzameling te meten. De kardinaliteit van een eindige verzameling is een natuurlijk getal, het aantal elementen in de verzameling. De transfiniete kardinaalgetallen beschrijven de groottes van oneindige verzamelingen. Kardinaliteit wordt gedefinieerd in termen van bijectieve functies. Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal dan en slechts dan als er een bijectie tussen deze twee verzamelingen bestaat. In het geval van eindige verzamelingen komt dit overeen met de intuïtieve notie van grootte. In het geval van oneindige verzamelingen is het gedrag complexer. Een fundamentele stelling, die als eerste werd geponeerd door Georg Cantor, laat zien dat oneindige verzamelingen verschillende kardinaliteiten kunnen hebben. De verzameling van de reële getallen en de verzameling van de natuurlijk getallen hebben bijvoorbeeld niet hetzelfde kardinaalgetal. Het is voor een eigenlijke deelverzameling van een oneindige verzameling ook mogelijk dat deze dezelfde kardinaliteit heeft als de oorspronkelijke verzameling, iets wat niet mogelijk is voor eigenlijk deelverzamelingen van eindige verzamelingen. Er bestaat een transfiniete opeenvolging van kardinaalgetallen: <math>0, 1, 2, 3, \cdots, n, \cdots; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots, \aleph_{\alpha}, \cdots. </math> Deze rij begint met de natuurlijke getallen (eindige kardinalen), gevolgd door de alef-getallen (oneindige kardinalen van welgeordende verzamelingen). De alef-getallen worden geïndexeerd door ordinaalgetallen. Onder de aanname van het keuzeaxioma, maakt elk kardinaalgetal deel uit van deze transfiniete opeenvolging. Als men het keuzeaxioma verwerpt ligt de situatie ingewikkelder, met additionele oneindige kardinalen die geen allef-getallen zijn. Kardinaliteit wordt als een onderdeel van de verzamelingenleer bestudeerd vanwege het belang van het onderwerp. Daarnaast is kardinaliteit ook een hulpmiddel dat in verschillende deelgebieden van de wiskunde, zoals de combinatoriek, de abstracte algebra en wiskundige analyse, wordt gebruikt.
- O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz ordem e dá idéia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc. O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números. Dado um conjunto A, o cardinal deste conjunto é simbolizado por |A| Por exemplo: Se A tem 3 elementos o cardinal indica-se |A| = 3 Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o conjunto de partes ou conjunto potência: <math>|A| = n \Rightarrow |P(A)| = 2^n</math> Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de partes. Os números cardinais de alguns conjuntos representam-se com símbolos especiais: O cardinal dos números reais: card(<math>\mathbb{R}</math>) = c (contínuo) O cardinal dos números naturais: card(<math>\mathbb{N}</math>) = <math>\aleph_0</math> A teoria dos conjuntos define rigorosamente o que significa <math>|A| = |B|</math> e <math>|A| \le |B|</math> e, em consequência, os demais símbolos de comparação; por exemplo: <math>|A| > |B| \leftrightarrow (|B| \le |A| \land \lnot)</math> <math>|A| = |B|</math> quando existe uma bijeção entre A e B <math>|A| \le |B|</math> quando existe uma função injetiva de A para B O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder mostra que, se <math>|A| \le |B|</math> e <math>|B| \le |A|</math>, então <math>|A| = |B|</math>. Ao se considerar os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, pode-se provar que, se A e B são conjuntos, então <math>|A| \le |B| \lor |B| \le |A|</math>. Junto com o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, qualquer conjunto formado por cardinais é bem ordenado, o que permite escrever qualquer cardinal infinito da forma <math>\aleph_\alpha</math>, sendo <math>\alpha</math> um ordinal. A hipótese do continuum diz que c (cardinal dos números reais) é igual a <math>\aleph_1</math>, e sua negação diz que existe um conjunto X tal que <math>|\mathbb{N}| < |X| < |\mathbb{R}|</math>.
- Kardinaltal är ett begrepp inom mängdteorin, och betecknar antalet element i en mängd. Det är ett sätt att generalisera talbegreppet. Ibland skriver man lodstreck kring mängden för att beteckna antalet element. |M| är alltså antalet element i M. När man i mängdteorin definierar alla naturliga tal enligt mönstret 0 = ø och n = {0, 1, 2, ... , n-1} så får varje naturligt tal sig själv som kardinaltal. Exempelvis är |14|=14 eftersom 14 innehåller 14 element. Varje naturligt tal är alltså ett ändligt kardinaltal. Det finns också oändliga kardinaltal. Ett exempel på oändligt kardinaltal är <math>\alef_0</math> som är antalet element i mängden av alla naturliga tal. Om denna mängd skrivs N har vi alltså att |N| = <math>\alef_0</math>. Antalet heltal och rationella tal är lika många som antalet naturliga tal så även dessa mängder har kardinaltalet <math>\alef_0</math>. <math>\alef_0</math> är det minsta oändliga kardinaltalet. Det går inte att bilda en mängd med oändligt många element men färre element än N. Observera att en delmängd av en oändlig mängd kan ha samma kardinaltal som den ursprungliga mängden. T. ex. har mängden av alla udda tal samma kardinaltal som mängden av heltal (<math>\alef_0</math> i båda fallen). Det finns ingen gräns för hur stora kardinaltal vi kan bilda. Exempel: Mängden R av alla reella tal har kardinaltalet 2 som är större än <math>\alef_0</math>. Alla kardinaltal som är mindre än eller lika med <math>\alef_0</math> kallas uppräkneliga (detta inkluderar naturligtvis alla ändliga). Kardinaltal som är större än <math>\alef_0</math> kallas ouppräkneliga. Varje kardinaltal α har en entydig efterföljare som är det minsta kardinaltal som är större än α. Efter <math>\alef_0</math> kommer nämligen <math>\alef_1</math>. Sedan följer i tur och ordning <math>\alef_2</math>, <math>\alef_3</math>, <math>\alef_4</math>, ... Det minsta kardinaltal som är större än alla kardinaltal på formen <math>\alef_i</math> där i är ett naturligt tal, är <math>\alef_{\alef_0}</math>, som dock oftare skrivs <math>\alef_\omega</math>. Sedan följer <math>\alef_{\omega +1}</math>, <math>\alef_{\omega +2}</math> etc. Närmare bestämt finns ett kardinaltal <math>\alef_\alpha</math> för varje ordinaltal α. Det finns därmed ingen gräns på hur stora kardinaltal man kan bilda. Detta förklaras av Cantors sats. Kardinaltalen har en aritmetik, som till vissa delar är trivial men vars potensoperation är ett aktivt och omfattande forskningsfält. Närmare bestämt så gäller för två kardinaltal <math>a</math> och <math>b</math> att: <math>a+b = ab = \max(a, b)</math> <math>a^b > b</math> om <math>a>1</math> <math>a>b</math> och <math>c>1</math> medför <math>c^a \ge c^b</math> Om vi introducerar begreppet kofinalitet för ett kardinaltal som följer: cf a = det minsta kardinaltal k så att a är unionen av k st delmängder, alla vars kardinalitet är mindre än a. så kan vi ge ytterligare en lag: cf <math>2^a>a</math>. Man kan visa att för reguljära kardinaltal, dvs de som satisfierar cf a=a, är dessa lagar allt som går att visa rörande kardinaltalsaritmetik. För de singuljära kardinaltal vars kofinalitet är överuppräknelig är det känt att deras artimetik väsentligen styrs av de på de reguljära kardinaltalen. Singuljära kardinaltal med uppräknelig kofinalitet är ännu inte välförstådda, men studeras bl. a i Saharon Shelahs PCF-teori. Ett exempel på ett resultat från denna är: Om <math>2^{\alef_k} < \alef_\omega</math> för alla naturliga tal k, så gäller <math>2^ {\alef_\omega} < \alef_{\omega -4}</math>.
- Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об’єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини A позначається як |A| або Card A Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини. Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів. Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати: Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки: Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не менша від потужності множини B і записують |A|≤|B|. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора-Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою. Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку. Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
- 在語言學中，基數是對應量詞的「數」，例如在以下句子中的「一」及「四」：「有一個橙，有四個柑」。序數是對應排列的「數」，例如在以下句子中的「一」及「二」：「這人一不會打字，二不懂速記，所以不可以做秘書」。「第二個人正在進來」。 在數學上，基數也叫势，即集合中包含的元素的「个数」。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同（見上段），例如 {a, b, c} 的基數是 3。無限集合的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和分數集的基數相同，是以它們是一樣大；整數集的基數比實數集的小；是以後者是比較大的集合。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, cardinal numbers, or cardinals for short, are a generalization of the natural numbers used to measure the cardinality (size) of sets. The cardinality of a finite set is a natural number, the number of elements in the set. The transfinite cardinal numbers describe the sizes of infinite sets. Cardinality is defined in terms of bijective functions. Two sets have the same cardinal number if and only if there is a bijection between them.
- Beim Zählen benutzt man Kardinalzahlen (auch Grundzahlen genannt), um die „Größe“ von Mengen zu beschreiben: Eine Menge hat null, eins, zwei, drei, ... Elemente. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Der Begriff leitet sich vom lateinischen „cardo“ (Türangel, Dreh- und Angelpunkt) ab.
- En matemàtiques, els nombres cardinals, o senzillament cardinals, són nombres usats per a expressar la mida d'un conjunt. Un nombre natural es pot usar amb dos objectius: per descriure la mida d'un conjunt, o per descriure la posició d'un element a una successió. Mentre que en el món dels nombres finits aquests dos conceptes coincideixen, quan es pensa en conjunts infinits cal distingir entre els dos. Aquesta idea va ser desenvolupada per Georg Cantor.
- V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.
- El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto <math>A\,, el cardinal de este conjunto se simboliza mediante <math>|A|\,, <math>\mbox{card}(A)\, o <math>\#A.
- En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Les nombres cardinaux permettent donc de mesurer l'ampleur de tout ensemble, même infini, là où les entiers naturels ne comptent le nombre d'éléments que d'ensembles finis.
- In matematica, i numeri cardinali (o semplicemente i cardinali) sono un tipo generalizzato di numeri utilizzati per indicare la grandezza di un insieme. Mentre per gli insiemi finiti la grandezza è indicata da un numero naturale, e cioè il numero di elementi, i numeri cardinali classificano oltre a questi anche diversi tipi di infinito.
- In de wiskunde zijn kardinaalgetallen (of kardinalen) een veralgemening van de natuurlijke getallen die worden gebruikt om de kardinaliteit (grootte) van verzameling te meten. De kardinaliteit van een eindige verzameling is een natuurlijk getal, het aantal elementen in de verzameling. De transfiniete kardinaalgetallen beschrijven de groottes van oneindige verzamelingen. Kardinaliteit wordt gedefinieerd in termen van bijectieve functies.
- O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz ordem e dá idéia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc. O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números.
- Kardinaltal är ett begrepp inom mängdteorin, och betecknar antalet element i en mängd. Det är ett sätt att generalisera talbegreppet. Ibland skriver man lodstreck kring mängden för att beteckna antalet element. |M| är alltså antalet element i M. När man i mängdteorin definierar alla naturliga tal enligt mönstret 0 = ø och n = {0, 1, 2, ... , n-1} så får varje naturligt tal sig själv som kardinaltal. Exempelvis är |14|=14 eftersom 14 innehåller 14 element.
- Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об’єкт, який характеризує потужність множини.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
