In Hamiltonian mechanics, a canonical transformation is a change of canonical coordinates (q, p, t) → (Q, P, t) that preserves the form of Hamilton's equations (that is, the new Hamilton's equations resulting from the transformed Hamiltonian may be simply obtained by substituting the new coordinates for the old coordinates), although it might not preserve the Hamiltonian itself. This is sometimes known as form invariance. Canonical transformations are useful in their own right, and also form the basis for the Hamilton–Jacobi equations (a useful method for calculating conserved quantities) and Liouville's theorem (itself the basis for classical statistical mechanics).

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  • In Hamiltonian mechanics, a canonical transformation is a change of canonical coordinates (q, p, t) → (Q, P, t) that preserves the form of Hamilton's equations (that is, the new Hamilton's equations resulting from the transformed Hamiltonian may be simply obtained by substituting the new coordinates for the old coordinates), although it might not preserve the Hamiltonian itself. This is sometimes known as form invariance. Canonical transformations are useful in their own right, and also form the basis for the Hamilton–Jacobi equations (a useful method for calculating conserved quantities) and Liouville's theorem (itself the basis for classical statistical mechanics). Since Lagrangian mechanics is based on generalized coordinates, transformations of the coordinates q → Q do not affect the form of Lagrange's equations and, hence, do not affect the form of Hamilton's equations if we simultaneously change the momentum by a Legendre transform into Therefore, coordinate transformations (also called point transformations) are a type of canonical transformation. However, the class of canonical transformations is much broader, since the old generalized coordinates, momenta and even time may be combined to form the new generalized coordinates and momenta. Canonical transformations that do not include the time explicitly are called restricted canonical transformations (many textbooks consider only this type). For clarity, we restrict the presentation here to calculus and classical mechanics. Readers familiar with more advanced mathematics such as cotangent bundles, exterior derivatives and symplectic manifolds should read the related symplectomorphism article. (Canonical transformations are a special case of a symplectomorphism.) However, a brief introduction to the modern mathematical description is included at the end of this article. (en)
  • In der klassischen Mechanik bezeichnet man eine aktive Transformation des Phasenraums als kanonisch, wenn sie wesentliche Aspekte der Dynamik invariant lässt. Die Invarianz der hamiltonschen Gleichungen ist dabei ein notwendiges, jedoch nicht hinreichendes, Kriterium. Notwendig und hinreichend ist die Invarianz der Poisson-Klammern, ein weiteres notwendiges Kriterium ist die Invarianz des Phasenraumvolumens. Ziel dabei ist, die neue Hamilton-Funktion möglichst zu vereinfachen, im Idealfall sogar unabhängig von einer oder mehreren Variablen zu machen. In dieser Funktion sind kanonische Transformationen der Ausgangspunkt zum Hamilton-Jacobi-Formalismus. Kanonische Transformationen können aus sogenannten erzeugenden Funktionen konstruiert werden. Wichtige Beispiele kanonischer Transformationen sind Transformationen des Phasenraums, die von Transformationen des Konfigurationsraums induziert werden – sogenannte Punkttransformationen – sowie der kanonische Fluss bei festgehaltener Zeitkonstanten, also Transformationen des Phasenraums, die durch Fortschreiten der Dynamik um eine konstante Zeitdifferenz entstehen. Die erzeugende Funktion in letzterem Fall ist die Hamiltonsche Prinzipalfunktion und entspricht gerade der Wirkung zwischen den beiden Zeitpunkten, aufgefasst als Funktion der alten und neuen Koordinaten. (de)
  • En mecánica hamiltoniana, una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicamente conjugadas que preserva la forma canónica de las ecuaciones de Hamilton, aun cuando la propia forma del Hamiltoniano no queda invariante. Las transformaciones canónicas resultan útiles en el enfoque de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica (como medio de calcular magnitudes conservadas) y en el uso del teorema de Liouville (que constituye la base de la mecánica estadística clásica). Por claridad, este artículo se restringe a un resumen básico de su uso común en mecánica clásica. El tratamiento avanzado basado en el fibrado cotangente, la derivación exterior y topología simpléctica se resume en artículo sobre simplectomorfismos. De hecho las transformaciones canónicas son un tipo especial de simplectomorfismo. Sin embargo, este artículo contiene una breve introducción matemática a este enfoque moderno más avanzado. (es)
  • En mécanique hamiltonienne, une transformation canonique est un changement des coordonnées canoniques (q, p, t) → (Q, P, t) qui conserve la forme des équations de Hamilton, sans pour autant nécessairement conserver le Hamiltonien en lui-même. Les transformations canoniques sont utiles pour les équations de Hamilton-Jacobi (une technique utile pour calculer les quantités conservées) et le théorème de Liouville (à la base de la mécanique statistique classique). La mécanique lagrangienne étant basée sur les coordonnées généralisées, les transformations des coordonnées q → Q n'affectent pas les équations de Lagrange, et donc pas la forme des équations de Hamilton, si l'on change en même temps le moment par une transformée de Legendre en : Ainsi, les changements de coordonnées sont des sortes de transformations canoniques. Néanmoins, la classe des transformations canoniques est bien plus grande, car les coordonnées généralisées de départ, les moments et même le temps peuvent être combinés pour former de nouvelles coordonnées généralisées et de nouveaux moments. Les transformations canoniques n'impliquant pas explicitement le temps sont appelées transformations canoniques restreintes (de nombreux ouvrages se limitent à ce type de transformations). (fr)
  • In meccanica razionale si chiamano trasformazioni canoniche quelle trasformazioni delle variabili generalizzate usate per descrivere un sistema attraverso le equazioni di Hamilton, che mantengono la forma delle equazioni di Hamilton. Il problema è quello di trovare una particolare trasformazione canonica (un diffeomorfismo) tale che le equazioni di Hamilton assumano una forma semplice per la loro risoluzione. (it)
  • ハミルトン形式の解析力学において、正準変換(せいじゅんへんかん、英: canonical transformation)とは、正準変数を新たなハミルトンの運動方程式を満たす新しい正準変数に写す変数変換。正準変換の下では、正準変数である一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合うことができ、等価な役割を果たす。また、正準変換はポアソン括弧を不変に保つ性質を持つ。幾何学的な観点からは、相空間をシンプレクティック多様体として見做した場合、基本 2形式を保つシンプレクティック同相写像に対応する。 (ja)
  • В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактные преобразования) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу. (ru)
  • 在哈密頓力學裏,正則變換(canonical transformation)是一種正則坐標的改變, ,而同時維持哈密頓方程的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。 (zh)
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  • In meccanica razionale si chiamano trasformazioni canoniche quelle trasformazioni delle variabili generalizzate usate per descrivere un sistema attraverso le equazioni di Hamilton, che mantengono la forma delle equazioni di Hamilton. Il problema è quello di trovare una particolare trasformazione canonica (un diffeomorfismo) tale che le equazioni di Hamilton assumano una forma semplice per la loro risoluzione. (it)
  • ハミルトン形式の解析力学において、正準変換(せいじゅんへんかん、英: canonical transformation)とは、正準変数を新たなハミルトンの運動方程式を満たす新しい正準変数に写す変数変換。正準変換の下では、正準変数である一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合うことができ、等価な役割を果たす。また、正準変換はポアソン括弧を不変に保つ性質を持つ。幾何学的な観点からは、相空間をシンプレクティック多様体として見做した場合、基本 2形式を保つシンプレクティック同相写像に対応する。 (ja)
  • В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактные преобразования) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу. (ru)
  • 在哈密頓力學裏,正則變換(canonical transformation)是一種正則坐標的改變, ,而同時維持哈密頓方程的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。 (zh)
  • In Hamiltonian mechanics, a canonical transformation is a change of canonical coordinates (q, p, t) → (Q, P, t) that preserves the form of Hamilton's equations (that is, the new Hamilton's equations resulting from the transformed Hamiltonian may be simply obtained by substituting the new coordinates for the old coordinates), although it might not preserve the Hamiltonian itself. This is sometimes known as form invariance. Canonical transformations are useful in their own right, and also form the basis for the Hamilton–Jacobi equations (a useful method for calculating conserved quantities) and Liouville's theorem (itself the basis for classical statistical mechanics). (en)
  • In der klassischen Mechanik bezeichnet man eine aktive Transformation des Phasenraums als kanonisch, wenn sie wesentliche Aspekte der Dynamik invariant lässt. Die Invarianz der hamiltonschen Gleichungen ist dabei ein notwendiges, jedoch nicht hinreichendes, Kriterium. Notwendig und hinreichend ist die Invarianz der Poisson-Klammern, ein weiteres notwendiges Kriterium ist die Invarianz des Phasenraumvolumens. Ziel dabei ist, die neue Hamilton-Funktion möglichst zu vereinfachen, im Idealfall sogar unabhängig von einer oder mehreren Variablen zu machen. In dieser Funktion sind kanonische Transformationen der Ausgangspunkt zum Hamilton-Jacobi-Formalismus. Kanonische Transformationen können aus sogenannten erzeugenden Funktionen konstruiert werden. (de)
  • En mecánica hamiltoniana, una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicamente conjugadas que preserva la forma canónica de las ecuaciones de Hamilton, aun cuando la propia forma del Hamiltoniano no queda invariante. Las transformaciones canónicas resultan útiles en el enfoque de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica (como medio de calcular magnitudes conservadas) y en el uso del teorema de Liouville (que constituye la base de la mecánica estadística clásica). (es)
  • En mécanique hamiltonienne, une transformation canonique est un changement des coordonnées canoniques (q, p, t) → (Q, P, t) qui conserve la forme des équations de Hamilton, sans pour autant nécessairement conserver le Hamiltonien en lui-même. Les transformations canoniques sont utiles pour les équations de Hamilton-Jacobi (une technique utile pour calculer les quantités conservées) et le théorème de Liouville (à la base de la mécanique statistique classique). (fr)
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  • Canonical transformation (en)
  • Kanonische Transformation (de)
  • Transformación canónica (es)
  • Transformation canonique (fr)
  • Trasformazione canonica (it)
  • 正準変換 (ja)
  • Каноническое преобразование (ru)
  • 正則變換 (zh)
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