Burnside's lemma, sometimes also called Burnside's counting theorem, the Cauchy-Frobenius lemma or the orbit-counting theorem, is a result in group theory which is often useful in taking account of symmetry when counting mathematical objects. Its various eponyms include William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, and Ferdinand Georg Frobenius.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • Burnside's lemma, sometimes also called Burnside's counting theorem, the Cauchy-Frobenius lemma or the orbit-counting theorem, is a result in group theory which is often useful in taking account of symmetry when counting mathematical objects. Its various eponyms include William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, and Ferdinand Georg Frobenius. The result is not due to Burnside himself, who merely quotes it in his book 'On the Theory of Groups of Finite Order', attributing it instead to Frobenius (1887). In the following, let G be a finite group that acts on a set X. For each g in G let X denote the set of elements in X that are fixed by g. Burnside's lemma asserts the following formula for the number of orbits, denoted |X/G|: <math>|X/G| = \frac{1}\sum_{g \in G}|X^g|. </math> Thus the number of orbits is equal to the average number of points fixed by an element of G (which consequently is also a natural number or infinity).
  • В теории групп лемма Бёрнсайда связывает количество орбит в подгруппе симметрической группы с цикловой структурой элементов этой подгруппы. Существует несколько вариантов леммы: упрощенный, весовой, ограниченный и т.  д. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойа.
  • Burnsides lemma, även kallat Cauchy-Frobenius lemma, är ett resultat inom gruppteori. Låt G vara en ändlig grupp som verkar på en mängd X, och för varje g i G, låt <math> X_g </math> beteckna fixpunktsmängden till g. Burnsides lemma säger då att antalet banor, r, är <math>r=\frac{1}\sum_{g \in G} |X_g|</math> med andra ord är antalet banor lika med det aritmetiska medelvärdet av storleken på fixpunktsmängderna.
  • В математиці і зокрема в теорії груп і комбінаториці Лема Бернсайда - результат, що визначає кількість орбіт при дії певної групи на деякій множині. Часто також використовуються назви обчислювальна теорема Бернсайда, лема Коші-Фробеніуса. Названа на честь англійського математика Вільяма Бернсайда, хоча була відома і до нього.
  • 伯恩赛德引理（Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德（William Burnside）、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)。 下文中，设 <math>G</math> 是一个有限群，作用在集合 <math>X</math> 上。对每个 <math>g</math> 属于 <math>G</math> 令 <math>X^g</math> 表示 <math>X</math> 中在 <math>g</math> 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 <math>|X/G|</math>）由如下公式给出： <math>|X/G| = \frac{1}\sum_{g \in G}|X^g|. \,</math> 从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。
dbpprop:harvtxtProperty
  • Frobenius
  • 1887 (xsd:integer)
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:relatedInstance
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdfs:comment
  • Burnside's lemma, sometimes also called Burnside's counting theorem, the Cauchy-Frobenius lemma or the orbit-counting theorem, is a result in group theory which is often useful in taking account of symmetry when counting mathematical objects. Its various eponyms include William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, and Ferdinand Georg Frobenius.
  • В теории групп лемма Бёрнсайда связывает количество орбит в подгруппе симметрической группы с цикловой структурой элементов этой подгруппы. Существует несколько вариантов леммы: упрощенный, весовой, ограниченный и т.  д.
  • Burnsides lemma, även kallat Cauchy-Frobenius lemma, är ett resultat inom gruppteori. Låt G vara en ändlig grupp som verkar på en mängd X, och för varje g i G, låt <math> X_g </math> beteckna fixpunktsmängden till g. Burnsides lemma säger då att antalet banor, r, är <math>r=\frac{1}\sum_{g \in G} |X_g|</math> med andra ord är antalet banor lika med det aritmetiska medelvärdet av storleken på fixpunktsmängderna.
  • В математиці і зокрема в теорії груп і комбінаториці Лема Бернсайда - результат, що визначає кількість орбіт при дії певної групи на деякій множині. Часто також використовуються назви обчислювальна теорема Бернсайда, лема Коші-Фробеніуса.
rdfs:label
  • Burnside's lemma
  • Лемма Бёрнсайда
  • Burnsides lemma
  • Лема Бернсайда
  • 伯恩赛德引理
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpprop:disambiguates of
is dbpprop:redirect of