In engineering, applied mathematics, and physics, the Buckingham π theorem is a key theorem in dimensional analysis. It is a formalization of Rayleigh's method of dimensional analysis. Loosely, the theorem states that if there is a physically meaningful equation involving a certain number n of physical variables, then the original equation can be rewritten in terms of a set of p = n − k dimensionless parameters π1, π2, ..., πp constructed from the original variables. (Here k is the number of physical dimensions involved; it is obtained as the rank of a particular matrix.)

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  • In engineering, applied mathematics, and physics, the Buckingham π theorem is a key theorem in dimensional analysis. It is a formalization of Rayleigh's method of dimensional analysis. Loosely, the theorem states that if there is a physically meaningful equation involving a certain number n of physical variables, then the original equation can be rewritten in terms of a set of p = n − k dimensionless parameters π1, π2, ..., πp constructed from the original variables. (Here k is the number of physical dimensions involved; it is obtained as the rank of a particular matrix.) The theorem can be seen as a scheme for nondimensionalization because it provides a method for computing sets of dimensionless parameters from the given variables, even if the form of the equation is still unknown. (en)
  • Das Buckinghamsche Π-Theorem (sprich: Pi-Theorem) nach Edgar Buckingham (1867–1940) ist ein grundlegendes Theorem der Ähnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse. Es beschreibt, wie eine physikalisch sinnvolle Gleichung mit n dimensionsbehafteten Größen in eine Gleichung mit n-m dimensionslosen Größen umgeschrieben werden kann, wobei m die Anzahl der verwendeten unabhängigen Grundgrößen ist. Weiterhin ist es durch das Buckinghamsche Π-Theorem möglich, dimensionslose Kennzahlen zu einem Problem aus den Ausgangsgrößen zu ermitteln, auch wenn der exakte Zusammenhang in Form einer Gleichung noch nicht bekannt ist. (de)
  • 45xCe modèle est-il pertinent ? Cliquez pour en voir d'autres.Cet article ou cette section ne s'appuie pas, ou pas assez, sur des sources secondaires ou tertiaires (août 2011). Pour améliorer la vérifiabilité de l'article, merci de citer les sources primaires à travers l'analyse qu'en ont faite des sources secondaires indiquées par des notes de bas de page (modifier l'article). En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu variables sans dimension construites à partir des variables originelles. Ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1878. (fr)
  • El teorema Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales. Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico. (es)
  • Il teorema di Buckingham (conosciuto anche come teorema pi greco), dovuto al fisico statunitense Edgar Buckingham, afferma che dato un processo fisico descritto da una equazione anche indefinita nella sua forma analitica, nella quale compaiano n variabili fisiche, se le grandezze fondamentali (cioè indipendenti tra loro e in numero sufficiente a descrivere compiutamente lo spazio dimensionale di interesse) di queste n variabili sono k (ad esempio, massa, lunghezza, tempo in un problema puramente meccanico), allora il problema può essere espresso in funzione di n-k gruppi adimensionali. Se, per esempio, il problema in esame dipende da cinque grandezze le quali, a loro volta, hanno come unità di misura una certa combinazione delle tre grandezze fondamentali del sistema internazionale ( M - L - T ), allora questo può essere descritto da una funzione f di due gruppi adimensionali P1 e P2. E inoltre vale la seguente importante conclusione: . In questo modo è possibile studiare un fenomeno, come per esempio la sedimentazione di particelle di un soluto all'interno di un corpo recettore, con un solo grafico avente come ascissa ed ordinata due grandezze numeriche (rispettivamente i così detti numero di Reynolds e il coefficiente di drag). (it)
  • Het Buckingham-π-theorema is een theorie binnen de dimensieanalyse. Het stelt dat een fysische vergelijking met n variabelen geschreven kan worden als een vergelijking met n - m dimensieloze parameters. Hierbij is m het aantal fundamentele dimensies (lengte, massa, tijd en dergelijke). Stel dat de fysische variabelen worden gegeven door q1 tot en met qn en we een fysische vergelijking hebben als dan kan deze herschreven worden tot Hierbij wordt gegeven door: waarbij een rationaal getal is. Het gebruik van als dimensieloze parameters werd geïntroduceerd door Edgar Buckingham in een paper uit 1914. (nl)
  • Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku. Stwierdza ono, że: jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe. Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci: gdzie są zmiennymi niezależnymi. Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych: gdzie są modułami bezwymiarowymi. Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n – r. Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci: gdzie – stałe (pl)
  • O teorema π de Vaschy-Buckingham é um teorema central na análise dimensional. Estabelece que, se em uma equação física envolvendo um certo número n de variáveis físicas dimensionais, sendo que estas variáveis são representadas por r dimensões físicas fundamentais independentes, a equação do processo ou sistema físico pode ser re-escrita como uma equação de p = n - r variáveis adimensionais (parâmetros π), construídas a partir das variáveis originais. Isso provê um método para calcular conjuntos de parâmetros adimensionais a partir das variáveis dimensionais dadas, mesmo se a forma da equação do sistema ou processo físico é ainda desconhecida. Encontrar parâmetros adimensionais em um problema pode simplificá-lo e até mesmo resolvê-lo. Este teorema, hoje conhecido como "teorema π", foi pela primeira vez enunciado por Aimé Vaschy, em 1892, no artigo "Sobre as leis da semelhança em física". Vinte e dois anos após o enunciado, foi publicado em 1914 o famoso artigo de Edgar Buckingham : "Sobre sistemas fisicamente semelhantes: ilustrações do uso de equações dimensionais".Teorema dos π de BuckinghamDado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo:q1 = f(q2, q3, ... qn)onde:q1: variável dependente;f(...): relação funcional (desconhecida);(q2,q3,...,qn): variáveis independentes;ou também: g(q1, q2, ... qn)= 0 O teorema π estabelece que:Dada uma relação entre n variáveis da forma:g(q1, q2, ... qn)= 0 estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais independentes, ou parâmetros π, expressados sob a forma funcional :G (π1, π2, ..., πn-m) = 0O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn.Determinação dos grupos π (6 passos)1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidosSe nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos, uma relação será obtidas, mas não fornecerá a história completa.2º Passo – Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias)P.ex. M, L, t3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros os parâmetros em termos das dimensões primárias4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetros que se repetem, igual ao número de dimensões primárias, e incluindo todas as dimensões primárias5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais (Haverá n-m equações)6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupo obtido é adimensional. (pt)
  • Пи-теорема (-теорема, -теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом безразмерных величин, где — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных величин. Пи-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен. (ru)
  • 白金汉π定理是因次分析中的重要定理,在工程、應用數學及物理中都會用到。白金汉π定理可以視為是形式化的雷諾因次分析法。簡單的說,白金汉π定理指出若有一個物理上有意義的方程式,其中有n個物理量,而這些物理量共有k個獨立的因次,則原方程式可以寫成由p = n − k 個無因次的參數π1, π2, ..., πp 組成的方程式(此處的k可以用特定矩陣的秩而得),而這些無因次的參數是由原方程式中的物理量所組成。 白金汉π定理可以視為是一種無因次化的框架,其中提供方法,從已知的物理量中找到一組無因次的參數,甚至此時方程式的具體形式還不清楚也沒有關係。 例如在流體中運動的物體,其阻力方程中包括以下五個物理量:速度 u、流體密度 ρ、動黏滯係數 ν、 物體截面大小A以及阻力 FD f1(u, ρ, ν, A, FD)= 0, 利用白金漢π定理,可以將阻力方程簡化為由阻力係數 CD及雷諾數 Re組成的方程 f2(CD, Re)= 0, ,而這二個物理量是由上述物理量組合而成。 (zh)
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  • Das Buckinghamsche Π-Theorem (sprich: Pi-Theorem) nach Edgar Buckingham (1867–1940) ist ein grundlegendes Theorem der Ähnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse. Es beschreibt, wie eine physikalisch sinnvolle Gleichung mit n dimensionsbehafteten Größen in eine Gleichung mit n-m dimensionslosen Größen umgeschrieben werden kann, wobei m die Anzahl der verwendeten unabhängigen Grundgrößen ist. Weiterhin ist es durch das Buckinghamsche Π-Theorem möglich, dimensionslose Kennzahlen zu einem Problem aus den Ausgangsgrößen zu ermitteln, auch wenn der exakte Zusammenhang in Form einer Gleichung noch nicht bekannt ist. (de)
  • Het Buckingham-π-theorema is een theorie binnen de dimensieanalyse. Het stelt dat een fysische vergelijking met n variabelen geschreven kan worden als een vergelijking met n - m dimensieloze parameters. Hierbij is m het aantal fundamentele dimensies (lengte, massa, tijd en dergelijke). Stel dat de fysische variabelen worden gegeven door q1 tot en met qn en we een fysische vergelijking hebben als dan kan deze herschreven worden tot Hierbij wordt gegeven door: waarbij een rationaal getal is. Het gebruik van als dimensieloze parameters werd geïntroduceerd door Edgar Buckingham in een paper uit 1914. (nl)
  • 白金汉π定理是因次分析中的重要定理,在工程、應用數學及物理中都會用到。白金汉π定理可以視為是形式化的雷諾因次分析法。簡單的說,白金汉π定理指出若有一個物理上有意義的方程式,其中有n個物理量,而這些物理量共有k個獨立的因次,則原方程式可以寫成由p = n − k 個無因次的參數π1, π2, ..., πp 組成的方程式(此處的k可以用特定矩陣的秩而得),而這些無因次的參數是由原方程式中的物理量所組成。 白金汉π定理可以視為是一種無因次化的框架,其中提供方法,從已知的物理量中找到一組無因次的參數,甚至此時方程式的具體形式還不清楚也沒有關係。 例如在流體中運動的物體,其阻力方程中包括以下五個物理量:速度 u、流體密度 ρ、動黏滯係數 ν、 物體截面大小A以及阻力 FD f1(u, ρ, ν, A, FD)= 0, 利用白金漢π定理,可以將阻力方程簡化為由阻力係數 CD及雷諾數 Re組成的方程 f2(CD, Re)= 0, ,而這二個物理量是由上述物理量組合而成。 (zh)
  • In engineering, applied mathematics, and physics, the Buckingham π theorem is a key theorem in dimensional analysis. It is a formalization of Rayleigh's method of dimensional analysis. Loosely, the theorem states that if there is a physically meaningful equation involving a certain number n of physical variables, then the original equation can be rewritten in terms of a set of p = n − k dimensionless parameters π1, π2, ..., πp constructed from the original variables. (Here k is the number of physical dimensions involved; it is obtained as the rank of a particular matrix.) (en)
  • El teorema Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales. (es)
  • 45xCe modèle est-il pertinent ? Cliquez pour en voir d'autres.Cet article ou cette section ne s'appuie pas, ou pas assez, sur des sources secondaires ou tertiaires (août 2011). Pour améliorer la vérifiabilité de l'article, merci de citer les sources primaires à travers l'analyse qu'en ont faite des sources secondaires indiquées par des notes de bas de page (modifier l'article). variables sans dimension construites à partir des variables originelles. Ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1878. (fr)
  • Il teorema di Buckingham (conosciuto anche come teorema pi greco), dovuto al fisico statunitense Edgar Buckingham, afferma che dato un processo fisico descritto da una equazione anche indefinita nella sua forma analitica, nella quale compaiano n variabili fisiche, se le grandezze fondamentali (cioè indipendenti tra loro e in numero sufficiente a descrivere compiutamente lo spazio dimensionale di interesse) di queste n variabili sono k (ad esempio, massa, lunghezza, tempo in un problema puramente meccanico), allora il problema può essere espresso in funzione di n-k gruppi adimensionali. . (it)
  • Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku. Stwierdza ono, że: jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe. Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci: gdzie są zmiennymi niezależnymi. gdzie gdzie – stałe (pl)
  • O teorema π de Vaschy-Buckingham é um teorema central na análise dimensional. Estabelece que, se em uma equação física envolvendo um certo número n de variáveis físicas dimensionais, sendo que estas variáveis são representadas por r dimensões físicas fundamentais independentes, a equação do processo ou sistema físico pode ser re-escrita como uma equação de p = n - r variáveis adimensionais (parâmetros π), construídas a partir das variáveis originais. Encontrar parâmetros adimensionais em um problema pode simplificá-lo e até mesmo resolvê-lo. (pt)
  • Пи-теорема (-теорема, -теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом безразмерных величин, где — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных (ru)
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  • Buckingham π theorem (en)
  • Buckinghamsches Π-Theorem (de)
  • Teorema π de Vaschy-Buckingham (es)
  • Théorème de Vaschy-Buckingham (fr)
  • Teorema di Buckingham (it)
  • Buckingham-π-theorema (nl)
  • Twierdzenie Buckinghama (pl)
  • Teorema π de Vaschy-Buckingham (pt)
  • Пи-теорема (ru)
  • 白金漢π定理 (zh)
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