| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, the binomial theorem is an important formula giving the expansion of powers of sums. Its simplest version states that (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1) for any real or complex numbers x and y, and any non-negative integer n. The binomial coefficient appearing in (1) may be defined in terms of the factorial function n!: {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
- Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form <math> (x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}</math> als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken. In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form <math>(x+y)^n</math> auszumultiplizieren ist.
- El Binomi de Newton o teorema del binomi serveix per calcular les potències d'un binomi mitjançant nombres combinatoris i ens indica que: <math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math>, on el coeficient binomial <math> {n \choose k}</math> és definit així : <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>. Exemples: per <math>n=2</math> : <math>(a+b)^2= {2 \choose 0}a^2 + {2 \choose 1}ab + {2 \choose 2}b^2 = a^2 + 2ab + b^2 </math> per <math>n=3</math> : <math>(a+b)^3= {3 \choose 0}a^3 + {3 \choose 1}a^2 b + {3 \choose 2}a b^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3 </math>
- Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednoduší verze vypadá takto: <math> (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k} \quad </math> Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla: <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.
- En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece: El coeficiente de <math>x^ky^{n-k}</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n</math> es <math>{n\choose k}</math> donde <math>{n\choose k}</math> recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante: {{{1}}} Usando la fórmula para calcular el valor de <math>{n\choose k}</math> (que también es representado ocasionalmente como <math>C</math> o <math>C^n_k </math>) se obtiene una tercera representación: {{{1}}} Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4: 2 Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma: <math>(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,</math>
- La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.
- A binomiális tétel egy matematikai tétel, mely a következő képletben foglalható össze: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^{k} </math>; részletesebben: <math>(a+b)^n = {n \choose 0} a^{n}b^{0} + {n \choose 1} a^{n-1}b^{1} + ... + {n \choose n-1} a^{1}b^{n-1} + {n \choose n} a^{0}b^{n} </math>; ahol n természetes szám (n∈ℕ), a,b pedig valós vagy komplex számok, vagy általánosabban, egy kommutatív félgyűrű elemei; továbbá a képletben szereplő ún. binomiális együtthatók a következőképp számolhatóak ki: <math> \mbox{ }_{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} } </math>; n! pedig az n faktoriálisát jelenti.
- Il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n-ma di un binomio qualsiasi con la formula seguente: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}</math> in cui il fattore <math>{n \choose k}</math> rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con: <math> \left(\frac{n!}{k!!}\right) </math>. La formula vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo. Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, n = 2, n = 3 ed n = 4: <math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math> <math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,</math> <math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4. \,</math> {{cassetto|titolo=Prima dimostrazione|testo= Il Teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero <math>(a+b)^1_{} = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b</math> e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione <math>(a+b)^n_{} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^{k}</math> sicuramente vera per n=1 si ha <math>(a+b)^{n+1}\,</math><math>=(a+b)(a+b)^n\,</math> <math>=(a+b)\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}</math> <math>=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k} b^{k+1}</math> da cui, essendo <math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}</math> <math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}</math> <math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}</math> <math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}</math> ed <math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}</math> <math>= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1} </math> si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale <math>(a+b)^{n+1} \,</math> <math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k} + {n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n} b^{n+1} \,</math> <math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}</math> <math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1}</math> essendo infine <math>\ {n \choose 0} = {n+1 \choose 0} = 1</math> e <math>\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1</math> si ha che <math>\ {n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1} = {n+1 \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n+1 \choose n+1} b^{n+1}</math> e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio <math>\ (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k} a^{(n+1)-k}b^{k}</math> che conferma la tesi. {{cassetto|titolo=Seconda dimostrazione|testo= Se scriviamo <math>(a+b)^n_{}</math> come il prodotto <math>(a+b)(a+b)(a+b)\,</math> <math>\ldots</math> con n fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine <math>a^{(n-k)} b^{k}_{}</math> è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo <math>n-k\,</math> volte <math>a\,</math> e <math>k\,</math> volte <math>b\,</math> dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da <math>{n \choose k}</math>. Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di <math>k\,</math> da <math>0\,</math> a <math>n\,</math>, si ha subito la tesi.
- 二項定理（にこうていり、binomial theorem）とは、二項式 x + y の冪乗 (x + y) の展開（二項展開）を表す公式のことである。これは、この展開の一般項 xy の係数を n と k のみで表す定理であるということもできる。
- Het binomium van Newton is een wiskundige formule waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen.
- Binomialformelen er en viktig formel i matematikken. Den viser hvordan potensen av et såkalt binom - <math>(x+y)^n</math> - kan regnes ut. I sin enkleste form sier formelen at <math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad(1)</math> når n er et hvilket som helst ikke-negativt heltall. Da blir binomialkoeffisientene: <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math> <math>n!</math> leses «n fakultet».
- Dwumian Newtona lub wzór Newtona to wzór pozwalający wyrazić potęgi sumy dwóch liczb. Jego najprostsza postać to <math>(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k</math> gdzie <math>\binom{n}{k}</math> to symbol Newtona.
- Em matemática, binómio de Newton ou binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binómio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para <math>(a+b)^n</math> quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas. Casos particulares do Binómio de Newton são: <math>{\left(x + y\right)}^1 = x + y\,\!</math> <math>{\left(x + y\right)}^2 = x^2 + 2xy + y^2\,\!</math>
- <math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k</math>
- Бином Ньютона — это формула <math>(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b + \dots + {n\choose k}a^{n-k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n</math>, где <math>{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> — биномиальные коэффициенты, <math>n</math> — неотрицательное целое число.
- Binomialsatsen är en allmän sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom.
- Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin açılımıdır.
- Біно́м Нью́тона — це вираз вигляду (a+b). Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. Школярі-восьмикласники знають формули розкладу бінома Ньютона в многочлен із степенями a і b при n=2 та 3: <math> (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 </math> <math> (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2b + 3 a b^2 + b^3 </math> Спробуємо розкласти (a+b) в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді, пронумерувавши дужки: <math> \begin{matrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ (a+b) & (a+b) & \ldots & (a+b) \end{matrix} </math> Очевидно, що кожний доданок містить n множників — k множників a і n-k множників b, тобто має вигляд ab, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків <math>a^kb^{n-k} </math> рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається <math> C^k_n </math> або <math> \left(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) </math>. Отже, <math> (a+b)^n = \sum_{k= 1}^n C^k_n a^k b^{n-k} </math> Коефіцієнти при <math>a^kb^{n-k} </math> називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b). Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії: <math> C^k_n = C^{n-k}_n </math> Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона: при b=1 маємо :<math> (a+1)^n = \sum_{k= 1}^n C^k_n a^k </math>, при a=b=1 маємо :<math> (1+1)^n = 2^n \sum_{k= 1}^n C^k_n </math>, при a= −1, b=1 маємо :<math> (-1+1)^n = 0^n = \sum_{k= 1}^n C^k_n (-1)^k </math>. Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю: <math> \begin{matrix} 1 \\ \end{matrix} </math> З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч: <math> C^k_n = C^{k-1}_{n-1} + C^{k}_{n-1} </math>.
- 二项式定理(Binomial theorem)，又称牛顿二项式定理。它由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。本定理指出： \left(a+b\right) ^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{i}^{n}a^{n-i}b^{i}，其中C_{i}^{n}=\frac{n!}{(n-i)!i!}（二項式係數）。 等号右边的多项式叫做二项展开式。 二项展开式的通项即为： T_{i}=C_{n}^{i}a^{i}b^{n-i} 其i项係数可表示为:C_{n}^{i}，即n取i的组合數目。 因此係数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, the binomial theorem is an important formula giving the expansion of powers of sums. Its simplest version states that (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1) for any real or complex numbers x and y, and any non-negative integer n. The binomial coefficient appearing in (1) may be defined in terms of the factorial function n!: {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
- Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form <math> (x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}</math> als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken. In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form <math>(x+y)^n</math> auszumultiplizieren ist.
- El Binomi de Newton o teorema del binomi serveix per calcular les potències d'un binomi mitjançant nombres combinatoris i ens indica que: <math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math>, on el coeficient binomial <math> {n \choose k}</math> és definit així : <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.
- Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice.
- En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece: El coeficiente de <math>x^ky^{n-k}</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n</math> es <math>{n\choose k}</math> donde <math>{n\choose k}</math> recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos.
- La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.
- A binomiális tétel egy matematikai tétel, mely a következő képletben foglalható össze: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^{k} </math>; részletesebben: <math>(a+b)^n = {n \choose 0} a^{n}b^{0} + {n \choose 1} a^{n-1}b^{1} + ...
- Il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n-ma di un binomio qualsiasi con la formula seguente: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}</math> in cui il fattore <math>{n \choose k}</math> rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con: <math> \left(\frac{n!}{k!!}\right) </math>.
- 二項定理（にこうていり、binomial theorem）とは、二項式 x + y の冪乗 (x + y) の展開（二項展開）を表す公式のことである。これは、この展開の一般項 xy の係数を n と k のみで表す定理であるということもできる。
- Het binomium van Newton is een wiskundige formule waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen.
- Binomialformelen er en viktig formel i matematikken. Den viser hvordan potensen av et såkalt binom - <math>(x+y)^n</math> - kan regnes ut. I sin enkleste form sier formelen at <math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad(1)</math> når n er et hvilket som helst ikke-negativt heltall. Da blir binomialkoeffisientene: <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math> <math>n!</math> leses «n fakultet».
- Dwumian Newtona lub wzór Newtona to wzór pozwalający wyrazić potęgi sumy dwóch liczb. Jego najprostsza postać to <math>(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k</math> gdzie <math>\binom{n}{k}</math> to symbol Newtona.
- Em matemática, binómio de Newton ou binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binómio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton.
- <math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k</math>
- Бином Ньютона — это формула <math>(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b + \dots + {n\choose k}a^{n-k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n</math>, где <math>{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> — биномиальные коэффициенты, <math>n</math> — неотрицательное целое число.
- Binomialsatsen är en allmän sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom.
- Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin açılımıdır.
- Біно́м Нью́тона — це вираз вигляду (a+b). Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
