In statistics, a binomial proportion confidence interval is a confidence interval for a proportion in a statistical population. It uses the proportion estimated in a statistical sample and allows for sampling error. There are several formulas for a binomial confidence interval, but all of them rely on the assumption of a binomial distribution. A simple example of a binomial distribution is the number of heads observed when a coin is flipped ten times.

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  • In statistics, a binomial proportion confidence interval is a confidence interval for a proportion in a statistical population. It uses the proportion estimated in a statistical sample and allows for sampling error. There are several formulas for a binomial confidence interval, but all of them rely on the assumption of a binomial distribution. A simple example of a binomial distribution is the number of heads observed when a coin is flipped ten times. In general, a binomial distribution applies when an experiment is repeated a fixed number of times, each trial of the experiment has two possible outcomes (labeled arbitrarily success and failure), the probability of success is the same for each trial, and the trials are statistically independent. There are several ways to compute a confidence interval for a binomial proportion. The normal approximation interval is the simplest formula, and the one introduced in most basic Statistics classes and textbooks. This formula, however, is based on an approximation that does not always work well. Several competing formulas are available that perform better, especially for situations with a small sample size and a proportion very close to zero or one. The choice of interval will depend on how important it is to use a simple and easy to explain interval versus the desire for better accuracy.
  • Der wahre Wert des relativen Anteils p kann sowohl kleiner, als auch größer als der Punktschätzer <math>\hat p sein. Mit Sicherheit gilt nur, dass p jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann. Wünschenswert wäre ein Intervall [pu, po], sodass die Aussage p ∈ [pu, po] mit hoher Wahrscheinlichkeit γ richtig ist. Sicher bedeutet hier, dass beim vielfachen Wiederholen des Verfahrens, die berechneten Konfidenzintervalle in den meisten Fällen den Parameter p enthalten. Wie oft das der Fall sein soll, wird mittels der Vertrauenswahrscheinlichkeit γ ausgedrückt. Das berechnete Intervall [pu, po] wird Konfidenzintervall (oder Vertrauensbereich) genannt. Oft wird γ gleich 95 % gewählt. Das bedeutet, dass bei Wiederholung des Verfahrens für 95 % aller Stichproben die Aussage p ∈ [pu, po] richtig ist. Die Grenzen pu und po lassen sich wie folgt bestimmen. Untere Grenze: P(X ≥ k) = 0,025 Wenn die Wahrscheinlichkeit, mindestens k Treffer zu erzielen, für einen bestimmten (hypothetischen) Anteilswert p die Grenze 0,025 unterschreitet, so kann mit einer Sicherheit von 0,975 ausgeschlossen werden, dass p der gesuchte Anteilswert ist. Somit ist pu der kleinste Wert von p, bei dem noch angenommen wird, dass k Befragte angeben die Partei A zu wählen. Für kleinere Werte von p erscheint dies zu unwahrscheinlich. Obere Grenze: P(X ≤ k) = 0,025 Wenn die Wahrscheinlichkeit, höchstens k Treffer zu erzielen, für einen bestimmten (hypothetischen) Anteilswert p die Grenze 0,025 unterschreitet, so kann mit einer Sicherheit von 0,975 ausgeschlossen werden, dass p der gesuchte Anteilswert ist. Somit ist po der größte Wert von p, bei dem noch angenommen wird, dass k Befragte angeben die Partei A zu wählen. Für größere Werte von p erscheint dies zu unwahrscheinlich.
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  • In statistics, a binomial proportion confidence interval is a confidence interval for a proportion in a statistical population. It uses the proportion estimated in a statistical sample and allows for sampling error. There are several formulas for a binomial confidence interval, but all of them rely on the assumption of a binomial distribution. A simple example of a binomial distribution is the number of heads observed when a coin is flipped ten times.
  • Der wahre Wert des relativen Anteils p kann sowohl kleiner, als auch größer als der Punktschätzer <math>\hat p sein. Mit Sicherheit gilt nur, dass p jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann. Wünschenswert wäre ein Intervall [pu, po], sodass die Aussage p ∈ [pu, po] mit hoher Wahrscheinlichkeit γ richtig ist. Sicher bedeutet hier, dass beim vielfachen Wiederholen des Verfahrens, die berechneten Konfidenzintervalle in den meisten Fällen den Parameter p enthalten.
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  • Binomial proportion confidence interval
  • Konfidenzintervall einer unbekannten Wahrscheinlichkeit
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