Bessel functions, first defined by the mathematician Daniel Bernoulli and then generalized by Friedrich Bessel, are the canonical solutions y(x) of the differential equation (known as Bessel's differential equation) for an arbitrary complex number α, the order of the Bessel function. Although α and −α produce the same differential equation for real α, it is conventional to define different Bessel functions for these two values in such a way that the Bessel functions are mostly smooth functions of α.

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  • Bessel functions, first defined by the mathematician Daniel Bernoulli and then generalized by Friedrich Bessel, are the canonical solutions y(x) of the differential equation (known as Bessel's differential equation) for an arbitrary complex number α, the order of the Bessel function. Although α and −α produce the same differential equation for real α, it is conventional to define different Bessel functions for these two values in such a way that the Bessel functions are mostly smooth functions of α. The most important cases are for α an integer or half-integer.Bessel functions for integer α are also known as cylinder functions or the cylindrical harmonics because they appear in the solution to Laplace's equation in cylindrical coordinates. Spherical Bessel functions with half-integer α are obtained when the Helmholtz equation is solved in spherical coordinates. (en)
  • في الرياضيات، دوال بسل (بالإنجليزية: Bessel functions) هن الحلول القانونية (y(x لمعادلة بسل التفاضلية من أجل عدد مركب α (رتبة دالة بسل). الحالة الخاصة والأكثر انتشارا وأهمية هي عندما تكون α عددا صحيحا أو عددا نصف صحيح. كان الرياضياتي دانييل برنولي أول من عرفها ثم عممت من قبل فريدريش بيسيل. مع أن α و−α تعطي نفس المعادلة التفاضلية, من المألوف تعريف دوال بسل مختلفة للترتبتين هاتين. تعرف دوال بسل أيضا ب دوال الاسطوانة أو التوافقيات الاسطوانية لأنها تمثل الحل لمعادلة لابلاس في الإحداثيات الاسطوانية. (ar)
  • Die Besselsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Ihre Lösungen heißen Bessel-Funktionen oder Zylinderfunktionen. (de)
  • En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions canoniques y(x) de l'équation différentielle de Bessel : pour tout nombre réel ou complexe α. Le plus souvent, α est un entier naturel (on dit alors que c'est l'ordre de la fonction), ou un demi-entier. Il existe deux sortes de fonctions de Bessel : * les fonctions de Bessel de première espèce Jn, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ; * les fonctions de Bessel de seconde espèce Yn, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0). Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'amortissent comme s'il s'agissait de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme √x. Les fonctions de Bessel sont aussi connues sous le nom de fonctions cylindriques, ou d'harmoniques cylindriques (en), parce qu'elles font partie des solutions de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques (intervenant, par exemple, dans la propagation de la chaleur dans un cylindre). Elles interviennent également dans beaucoup d'autres problèmes physiques : * les ondes électromagnétiques ou les ondes acoustiques dans un guide cylindrique (antenne ou tuyau) ; * les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ; * l'étude d'instruments d'optique ; * le pendule de Bessel ; * les phénomènes de diffraction par une fente circulaire ; * l'étude de la modulation de fréquence en télécommunications. (fr)
  • En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel: () donde es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un entero , aunque la solución para no enteros es similar. El número se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación. Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Aunque y dan como resultado la misma función, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. (es)
  • ベッセル関数(ベッセルかんすう、Bessel function)とは、最初にスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名づけられた関数。円筒関数と呼ばれることもある。以下に示す、ベッセルの微分方程式における の特殊解の1つである。 上の式において、 は、任意の実数である(次数と呼ばれる)。 が整数nに等しい場合がとくに重要である。 及び はともに同一の微分方程式を与えるが、慣例としてこれら2つの異なる次数に対して異なるベッセル関数が定義される(例えば、 の関数としてなるべく滑らかになるようにベッセル関数を定義する、など)。 そもそもベッセル関数は、惑星軌道の時間変化に関するケプラー方程式を、ベッセルが解析的に解いた際に導入された。 (ja)
  • In analisi matematica le armoniche cilindriche, definite per la prima volta da Daniel Bernoulli e successivamente rinominate da Bessel di cui talvolta prendono il nome (in modo erroneo nell'insieme, sono in realtà una loro sottoclasse), sono le soluzioni canoniche y(x) delle equazioni di Bessel: per un numero arbitrario α (che rappresenta l'ordine della funzione). Poiché contengono la gamma di Eulero, il più comune e importante caso particolare è quello in cui α è un numero intero n, in cui la situazione si semplifica notevolmente col fattoriale e le armoniche acquisiscono altre proprietà particolari.Si può notare innanzitutto (per la parità della funzione in α) che α e −α hanno la stessa soluzione, per cui si usa definire convenzionalmente due differenti Funzioni di Bessel per questi due ordini.Uno dei settori nel quale vengono usate è la teoria dei segnali, in particolare nel settore della modulazione dei segnali per le trasmissioni. Nello specifico le armoniche cilindriche compaiono nello sviluppo in Serie di Fourier di un segnale modulato in frequenza (FM) o di un segnale modulato in fase (PM), quando il segnale di ingresso è una sinusoide. (it)
  • Besselfuncties zijn oplossingen van de besselse differentiaalvergelijking. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom Friedrich Wilhelm Bessel, die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Besselfuncties worden onderscheiden naar besselfuncties van de eerste soort en van de tweede soort. De besselfunctie van de eerste soort van de orde wordt genoteerd als , en die van de tweede soort van de orde als . De besselvergelijking kan echter ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van Laplace en van Helmholtz, wanneer daarbij cilindercoördinaten worden gebruikt. Daardoor zijn besselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de wiskundige natuurkunde, zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn: * elektromagnetische golven in een cilindrische golfgeleider * warmtegeleiding in een cilindervormig voorwerp * trillingswijzen van een dun cirkel- of ringvormig membraan * verstrooiingsproblemen in een tralie. * componentamplitudes bij frequentiemodulatie (FM): zie de grafiek Media:Bessels.png * bepaling van grondwaterstanden bij onttrekkingen. (nl)
  • Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela): gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zostały po raz pierwszy podane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego. Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną n, zwaną rzędem funkcji Bessela. Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania. (pl)
  • A Função de Bessel, definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel, é a solução da equação diferencial para um número qualquer, real ou complexo. Quando utiliza-se um número inteiro, este é referido como a ordem da função de Bessel. (pt)
  • Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где — произвольное вещественное число (в общем случае — комплексное), называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков. Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя. (ru)
  • 贝塞尔函数(Bessel functions),是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指(Bessel function of the first kind)。一般贝塞尔函数是下列常微分方程(一般称为贝塞尔方程)的标准解函数 : 这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。 由於贝塞尔微分方程是二階常微分方程,需要由兩個獨立的函數來表示其标准解函数。典型的是使用和來表示标准解函数: 注意,由於 在 x=0 時候是發散的(無窮),當取 x=0 時,相關係數 必須為0時,才能獲得有物理意義的結果。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或複數α变化而变化(相应地,α被称为其对应贝塞尔函数的阶数)。实际应用中最常见的情形为α是整数n,对应解称为n 阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中,α本身的正负号不改变方程的形式,但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数(这样做能带来好处,比如消除了函数在α=0 点的不光滑性)。 贝塞尔函數也被稱為柱諧函數、圓柱函數或圓柱諧波,因為他們是於拉普拉斯方程在圓柱坐標上的求解過程中被發現的。 (zh)
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  • Heinrich Martin Weber
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  • في الرياضيات، دوال بسل (بالإنجليزية: Bessel functions) هن الحلول القانونية (y(x لمعادلة بسل التفاضلية من أجل عدد مركب α (رتبة دالة بسل). الحالة الخاصة والأكثر انتشارا وأهمية هي عندما تكون α عددا صحيحا أو عددا نصف صحيح. كان الرياضياتي دانييل برنولي أول من عرفها ثم عممت من قبل فريدريش بيسيل. مع أن α و−α تعطي نفس المعادلة التفاضلية, من المألوف تعريف دوال بسل مختلفة للترتبتين هاتين. تعرف دوال بسل أيضا ب دوال الاسطوانة أو التوافقيات الاسطوانية لأنها تمثل الحل لمعادلة لابلاس في الإحداثيات الاسطوانية. (ar)
  • Die Besselsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Ihre Lösungen heißen Bessel-Funktionen oder Zylinderfunktionen. (de)
  • ベッセル関数(ベッセルかんすう、Bessel function)とは、最初にスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名づけられた関数。円筒関数と呼ばれることもある。以下に示す、ベッセルの微分方程式における の特殊解の1つである。 上の式において、 は、任意の実数である(次数と呼ばれる)。 が整数nに等しい場合がとくに重要である。 及び はともに同一の微分方程式を与えるが、慣例としてこれら2つの異なる次数に対して異なるベッセル関数が定義される(例えば、 の関数としてなるべく滑らかになるようにベッセル関数を定義する、など)。 そもそもベッセル関数は、惑星軌道の時間変化に関するケプラー方程式を、ベッセルが解析的に解いた際に導入された。 (ja)
  • Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela): gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zostały po raz pierwszy podane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego. Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną n, zwaną rzędem funkcji Bessela. Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania. (pl)
  • A Função de Bessel, definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel, é a solução da equação diferencial para um número qualquer, real ou complexo. Quando utiliza-se um número inteiro, este é referido como a ordem da função de Bessel. (pt)
  • Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где — произвольное вещественное число (в общем случае — комплексное), называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков. Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя. (ru)
  • 贝塞尔函数(Bessel functions),是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指(Bessel function of the first kind)。一般贝塞尔函数是下列常微分方程(一般称为贝塞尔方程)的标准解函数 : 这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。 由於贝塞尔微分方程是二階常微分方程,需要由兩個獨立的函數來表示其标准解函数。典型的是使用和來表示标准解函数: 注意,由於 在 x=0 時候是發散的(無窮),當取 x=0 時,相關係數 必須為0時,才能獲得有物理意義的結果。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或複數α变化而变化(相应地,α被称为其对应贝塞尔函数的阶数)。实际应用中最常见的情形为α是整数n,对应解称为n 阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中,α本身的正负号不改变方程的形式,但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数(这样做能带来好处,比如消除了函数在α=0 点的不光滑性)。 贝塞尔函數也被稱為柱諧函數、圓柱函數或圓柱諧波,因為他們是於拉普拉斯方程在圓柱坐標上的求解過程中被發現的。 (zh)
  • Bessel functions, first defined by the mathematician Daniel Bernoulli and then generalized by Friedrich Bessel, are the canonical solutions y(x) of the differential equation (known as Bessel's differential equation) for an arbitrary complex number α, the order of the Bessel function. Although α and −α produce the same differential equation for real α, it is conventional to define different Bessel functions for these two values in such a way that the Bessel functions are mostly smooth functions of α. (en)
  • En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel: () donde es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un entero , aunque la solución para no enteros es similar. El número se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación. Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Aunque y (es)
  • En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions canoniques y(x) de l'équation différentielle de Bessel : Il existe deux sortes de fonctions de Bessel : (fr)
  • Besselfuncties zijn oplossingen van de besselse differentiaalvergelijking. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom Friedrich Wilhelm Bessel, die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Besselfuncties worden onderscheiden naar besselfuncties van de eerste soort en van de tweede soort. De besselfunctie van de eerste soort van de orde wordt genoteerd als , en die van de tweede soort van de orde als . (nl)
  • In analisi matematica le armoniche cilindriche, definite per la prima volta da Daniel Bernoulli e successivamente rinominate da Bessel di cui talvolta prendono il nome (in modo erroneo nell'insieme, sono in realtà una loro sottoclasse), sono le soluzioni canoniche y(x) delle equazioni di Bessel: (it)
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  • Bessel function (en)
  • دالة بيسل (ar)
  • Besselsche Differentialgleichung (de)
  • Función de Bessel (es)
  • Fonction de Bessel (fr)
  • Armoniche cilindriche (it)
  • ベッセル関数 (ja)
  • Besselfunctie (nl)
  • Funkcje Bessela (pl)
  • Função de Bessel (pt)
  • Функции Бесселя (ru)
  • 贝塞尔函数 (zh)
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