In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers with deep connections to number theory. The values of the first few Bernoulli numbers are B0 = 1, B1 = ±1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = −1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = −1/30. The Bernoulli numbers appear in the Taylor series expansions of the tangent and hyperbolic tangent functions, in formulas for the sum of powers of the first positive integers, in the Euler–Maclaurin formula, and in expressions for certain values of the Riemann zeta function.

Property Value
dbo:abstract
  • In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers with deep connections to number theory. The values of the first few Bernoulli numbers are B0 = 1, B1 = ±1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = −1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = −1/30. If the convention B1 = −1/2 is used, this sequence is also known as the first Bernoulli numbers (OEIS A027641 / OEIS A027642 in OEIS); with the convention B1 = +1/2 is known as the second Bernoulli numbers (OEIS A164555 / OEIS A027642). Except for this one difference, the first and second Bernoulli numbers agree. Since Bn = 0 for all odd n > 1, and many formulas only involve even-index Bernoulli numbers, some authors write Bn instead of B2n. The Bernoulli numbers appear in the Taylor series expansions of the tangent and hyperbolic tangent functions, in formulas for the sum of powers of the first positive integers, in the Euler–Maclaurin formula, and in expressions for certain values of the Riemann zeta function. The Bernoulli numbers were discovered around the same time by the Swiss mathematician Jakob Bernoulli, after whom they are named, and independently by Japanese mathematician Seki Kōwa. Seki's discovery was posthumously published in 1712 in his work Katsuyo Sampo; Bernoulli's, also posthumously, in his Ars Conjectandi of 1713. Ada Lovelace's note G on the analytical engine from 1842 describes an algorithm for generating Bernoulli numbers with Babbage's machine. As a result, the Bernoulli numbers have the distinction of being the subject of the first published complex computer program. (en)
  • في الرياضيات، أعداد بيرنولي Bn هي متسلسلة من الأعداد الكسرية ذات العلاقة الوثيقة بنظرية الأعداد. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي: B0 = 1, B1 = ±1⁄2, B2 = 1⁄6, B3 = 0, B4 = −1⁄30, B5 = 0, B6 = 1⁄42, B7 = 0, B8 = −1⁄30. عندما يستعمل اصطلاح B1=−1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح B1=+1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن Bn=0 مهما كان n فرديا، وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة Bn بدلا من B2n. تظهر أعداد بيرنولي في نشر متسلسلة تايلور لدوال ظل الزاوية والظل الزائدي وفي صيغ مجموع القوى المساوية للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى وفي صيغة أويلر-ماكلورين وفي تعابير لبعض قيم دالة زيتا لريمان. اكتُشفت هذه الأعداد من طرف عالم الرياضيات السويسري جاكوب بيرنولي, الذي سميت نسبة إليه, وفي الوقت نفسه تقريبا, وبصفة مستقلة عنه, من طرف عالم الرياضيات الياباني سيكي كاوا.نشر اكتشاف سيكي عام 1712 في عمله Katsuyo Sampo; وكان ذلك بعد وفاته. ونُشر اكتشاف بيرنولي في عام 1713. وكان ذلك بعد وفاته أيضا. رغم أن أعداد بيرنولي سهلة الحساب، فإن قيمها ليس لها أي وصف أولي : فهي قيم دالة زيتا لريمان عند أعداد صحيحة سالبة. في الملاحظة G لعالمة الرياضيات آدا لوفلايس عن المحرك التحليلي في عام 1842, تصف لوفلايس خوارزمية لتوليد أعداد بيرنولي باستخدام آلة بابيج. ونتيجة لذلك, تتميز أعداد بيرنولي كونها موضوع أول برنامج حاسوب كتب. (ar)
  • En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con profundas conexiones en teoría de números. Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann. (es)
  • En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés Bn (ou parfois bn pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels. Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type pour différentes valeurs de l'entier m. Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante : On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si |x| < 2π) : Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin : , ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Euler : jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat. Il convient aussi de considérer ces nombres avec 1/2 au lieu de -1/2. D'où les seconds nombres de Bernoulli. Ils figurent, seuls, dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, page 97. Ils sont la tranformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa à 1/(n+1). (fr)
  • Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, ±1/2, 1/6, 0, −1/30, … sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt. (de)
  • In matematica, i numeri di Bernoulli costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto ad essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione. Attenzione: la notazione viene utilizzata anche per denotare i numeri di Bell; per distinguerli da questi ultimi talora per i numeri di Bernoulli si usano le notazioni . (it)
  • ベルヌーイ数 (ベルヌーイすう、英: Bernoulli number) は数論における基本的な係数を与える数列であり、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際の展開係数として1713年にヤコブ・ベルヌーイが著書 Ars Conjectandi (推測術) にて導入したことからこの名称がついた。ベルヌーイ数は、べき乗和の展開係数にとどまらず、級数展開の係数や剰余項、リーマンゼータ関数においても登場する。また、ベルヌーイ数はすべてが有理数である。 (ja)
  • In de wiskunde zijn Bernoulli-getallen rationale getallen met diepe verbindingen naar de getaltheorie. Het Bernoulli-getal Bn is gedefinieerd als de coëfficiënt in de volgende reeksontwikkeling: . Dit betekent dat: . Bernoulli-getallen spelen een belangrijke rol in de getaltheorie en hoewel zij gemakkelijk te berekenen zijn, is er geen eenvoudige beschrijving van deze getallen. Ze komen voor in Taylorreeksontwikkelingen van de tangens en de hyperbolische tangens-functies en in de formule van Euler-Maclaurin. Ook zijn ze nauw verbonden met de waarden voor de Riemann-zèta-functie voor negatieve gehele getallen. De eerste veertien Bernoulli-getallen zijn: (nl)
  • Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako , gdzie jest numerem porządkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: "w pół kwadransa".Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb. (pl)
  • Na matemática, os números de Bernoulli são seqüências de números racionais com profundas conexões na teoria dos números.São definidos como os coeficientes da Expansão de Taylor : (pt)
  • Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень: где — биномиальный коэффициент. (ru)
  • 數學上,伯努利數Bn的第一次發現是與下述數列和的公式有關: 其中n為固定的任意正整數。 這數列和的公式必定是變數為m,次數為n+1的多項式,稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下: 。 舉例說,把n取為1,我們有 伯努利數最先由雅各布·伯努利研究,棣莫弗以他來命名。 伯努利數可以由下列遞推公式計算: , 初值條件為B0 = 1。 伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/(ex − 1),使得對所有絕對值小於2π的x(冪指數的收斂半徑),有 。 有時會寫成小寫bn,以便與貝爾數分別開。 最初21項伯努利數記於下(OEIS中的數列A027641和A027642): 可以證明對所有不是1的奇數n有Bn = 0。 乍看起來突兀的B12 = −691/2730,喻示伯努利數不能以初等方式描述;其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值,有深邃的數論性質聯繫,所以不能預期有簡單的計算公式。 伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式,及黎曼ζ函數的一些值的表達式。 在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G,第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的演算式。 (zh)
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 4964 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 741629660 (xsd:integer)
dbp:id
  • p/b015640
dbp:title
  • Bernoulli Number
  • Bernoulli numbers
dbp:urlname
  • BernoulliNumber
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con profundas conexiones en teoría de números. Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann. (es)
  • Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, ±1/2, 1/6, 0, −1/30, … sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt. (de)
  • In matematica, i numeri di Bernoulli costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto ad essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione. Attenzione: la notazione viene utilizzata anche per denotare i numeri di Bell; per distinguerli da questi ultimi talora per i numeri di Bernoulli si usano le notazioni . (it)
  • ベルヌーイ数 (ベルヌーイすう、英: Bernoulli number) は数論における基本的な係数を与える数列であり、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際の展開係数として1713年にヤコブ・ベルヌーイが著書 Ars Conjectandi (推測術) にて導入したことからこの名称がついた。ベルヌーイ数は、べき乗和の展開係数にとどまらず、級数展開の係数や剰余項、リーマンゼータ関数においても登場する。また、ベルヌーイ数はすべてが有理数である。 (ja)
  • Na matemática, os números de Bernoulli são seqüências de números racionais com profundas conexões na teoria dos números.São definidos como os coeficientes da Expansão de Taylor : (pt)
  • Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень: где — биномиальный коэффициент. (ru)
  • 數學上,伯努利數Bn的第一次發現是與下述數列和的公式有關: 其中n為固定的任意正整數。 這數列和的公式必定是變數為m,次數為n+1的多項式,稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下: 。 舉例說,把n取為1,我們有 伯努利數最先由雅各布·伯努利研究,棣莫弗以他來命名。 伯努利數可以由下列遞推公式計算: , 初值條件為B0 = 1。 伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/(ex − 1),使得對所有絕對值小於2π的x(冪指數的收斂半徑),有 。 有時會寫成小寫bn,以便與貝爾數分別開。 最初21項伯努利數記於下(OEIS中的數列A027641和A027642): 可以證明對所有不是1的奇數n有Bn = 0。 乍看起來突兀的B12 = −691/2730,喻示伯努利數不能以初等方式描述;其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值,有深邃的數論性質聯繫,所以不能預期有簡單的計算公式。 伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式,及黎曼ζ函數的一些值的表達式。 在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G,第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的演算式。 (zh)
  • In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers with deep connections to number theory. The values of the first few Bernoulli numbers are B0 = 1, B1 = ±1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = −1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = −1/30. The Bernoulli numbers appear in the Taylor series expansions of the tangent and hyperbolic tangent functions, in formulas for the sum of powers of the first positive integers, in the Euler–Maclaurin formula, and in expressions for certain values of the Riemann zeta function. (en)
  • في الرياضيات، أعداد بيرنولي Bn هي متسلسلة من الأعداد الكسرية ذات العلاقة الوثيقة بنظرية الأعداد. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي: B0 = 1, B1 = ±1⁄2, B2 = 1⁄6, B3 = 0, B4 = −1⁄30, B5 = 0, B6 = 1⁄42, B7 = 0, B8 = −1⁄30. عندما يستعمل اصطلاح B1=−1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح B1=+1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن Bn=0 مهما كان n فرديا، وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة Bn بدلا من B2n. (ar)
  • En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés Bn (ou parfois bn pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels. Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type pour différentes valeurs de l'entier m. Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante : , ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Euler : (fr)
  • In de wiskunde zijn Bernoulli-getallen rationale getallen met diepe verbindingen naar de getaltheorie. Het Bernoulli-getal Bn is gedefinieerd als de coëfficiënt in de volgende reeksontwikkeling: . Dit betekent dat: . De eerste veertien Bernoulli-getallen zijn: (nl)
  • Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako , gdzie jest numerem porządkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: (pl)
rdfs:label
  • Bernoulli number (en)
  • عدد بيرنولي (ar)
  • Bernoulli-Zahl (de)
  • Número de Bernoulli (es)
  • Nombre de Bernoulli (fr)
  • Numeri di Bernoulli (it)
  • ベルヌーイ数 (ja)
  • Bernoulligetal (nl)
  • Liczby Bernoulliego (pl)
  • Números de Bernoulli (pt)
  • Числа Бернулли (ru)
  • 伯努利数 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is foaf:primaryTopic of