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- The Banū Mūsā brothers were three 9th century Persian scholars, of Baghdad, active in the House of Wisdom: Abu Ja'far Muhammad ibn Mūsā ibn Shākir (before 803 – 873), who specialised in astronomy, engineering, geometry and physics. Ahmad ibn Mūsā ibn Shākir (803 – 873), who specialised in engineering and mechanics. Al-Hasan ibn Mūsā ibn Shākir (810 – 873), who specialised in engineering and geometry. The Banu Musa were the sons of Mūsā ibn Shākir, who had been a highwayman and later an astrologer to the Caliph al-Ma'mūn. At his death, he left his young sons in the custody of the Caliph, who entrusted them to Ishaq bin Ibrahim al-Mus'abi, a former governor of Baghdad. The education of the three brothers was carried out by Yahya bin Abu Mansur who worked at the famous House of Wisdom library and translation centre in Baghdad.
- I Banū Mūsā erano i tre fratelli matematici Abu Ja'far Muhammad ibn Mūsā ibn Shākir, Ahmad ibn Mūsā ibn Shākir e al¬Hasan ibn Mūsā ibn Shākir che lavorarono nella Bayt al-Ḥikma di Baghdad nel IX secolo. Nelle opere pervenuteci, firmate sempre con l'appellativo di Banū Mūsā, sono pressoché indistinguibili, ma sappiamo che, sebbene lavorassero insieme, ognuno di loro aveva un suo specifico campo di ricerca. Ja'far Muhammad si dedicava principalmente alla geometria ed all'astronomia, Ahmad alla meccanica e al-Hasan alla geometria. Non molto tempo dopo la nascita del padre dei Banū Mūsā, Mūsā ibn Shākir, divenne califfo Harun al-Rashid, che alla corte di Baghdad attuò un ambizioso progetto di forte slancio culturale. Venne costruita proprio in questo periodo la Bayt al-Ḥikma, biblioteca che verrà poi istituzionalizzata ed enormemente arricchita dal figlio al-Ma’mūn. Fu sotto Rashid che vennero tradotti in arabo per la prima volta da al-Hajjaj gli Elementi di Euclide e che si mossero i primi sostanziosi passi nella diffusione della matematica greca. Esemplificativa di questi profondi sviluppi culturali in atto è la vita di Mūsā ibn Shākir, che se da giovane era un ladro, divenne in età adulta un promettente astronomo. Mūsā ibn Shākir era ben presto entrato in rapporto di stretta confidenza con al-Ma'mūn, tanto che alla sua morte il califfo divenne il tutore dei fratelli Mūsā, ai quali impartì un'eccellente educazione. I Banū Mūsā poterono così dedicarsi allo studio di geometria, matematica, fisica, musica e astronomia. Al-Ma'mūn riconobbe subito il loro talento e li fece entrare nella Bayt al-Ḥikma, in cui presto di distinsero come alcuni fra i membri più attivi. I fratelli portarono così avanti la ricerca scientifica insieme con al-Khwarizmi, lo studioso di matematica cui si deve il libro di algebra del Kitab al-jabr wa l-muqabala, condussero osservazioni astronomiche e organizzarono una scuola di traduttori (tra i più noti ricordiamo Ḥunayn b. Ishāq e Thābit ibn Qurra') che volse in arabo molti manoscritti filosofici e scientifici greci. I Banū Mūsā furono fra i primi scienziati arabi a studiare i lavori dei matematici greci e ad arricchirne i concetti con nuove intuizioni e sviluppi, cercando di dare altre dimostrazioni ai risultati dei Greci e andando oltre ciò che essi avevano già precedentemente dimostrato. Sotto i successori di al-Ma'mūn i Banū Mūsā diventarono molto ricchi e influenti e vennero spesso coinvolti (particolarmente Muhammad) nella turbolenta vita politica di Baghdad. Sembra che Muhammad e Ahmad fossero tra i responsabili della costruzione della città di al-Ja'fariyya per il califfo al-Mutawakkil, dirigendo lo scavo dei canali. I Banū Mūsā provocarono inoltre la caduta in disgrazia del famoso filosofo al-Kindi, loro nemico, che venne perciò duramente punito da al¬Mutawakkil, il quale permise ai fratelli di appropriarsi della sua biblioteca. Nel periodo in cui i Turchi stavano assumendo il controllo del califfato, Muhammad fu molto attivo politicamente, appoggiando l'effimero califfato di al-Musta'in. In ogni caso, i risultati scientifici dei fratelli sono senz'altro più rilevanti della loro attività politica. Di tutti i trattati dei Banū Mūsā, il più studiato e ricco di conseguenze è il Libro sulla misura delle figure piane e sferiche. Questa opera nel medioevo era molto conosciuta, sia dal mondo islamico che in Europa, e una prova evidente ne è la traduzione in latino di Gherardo di Cremona, intitolata Liber trium fratrum de geometria. Un riscontro esemplare della sua influenza sugli scienziati europei è la Practica geometrica di Leonardo Fibonacci. In questo libro possiamo trovare diversi teoremi dei Banū Mūsā che non esistevano nei libri greci, come il teorema secondo il quale la sezione piana di un cono equilatero parallela alla base del cono è un cerchio. Lo scopo principale di questo trattato era dimostrare il metodo con cui i greci usavano determinare l'area e il volume, più in particolare la misura del cerchio e della sfera. In Misura del cerchio e Sulla sfera e il cilindro, Archimede trovò l'area del cerchio e la superficie e il volume della sfera usando il metodo di Eudosso, che venne più tardi chiamato “metodo di esaustione”; questo metodo si basa sugli stessi principi della teoria dei limiti della matematica moderna. I Banū Mūsā trovarono l'area del cerchio attraverso un metodo diverso da quello di Archimede ma basato sulla stessa idea di infinitesimali. Usarono il “metodo di esaustione” ma omisero il passaggio fondamentale, inscrivendo nel cerchio una sequenza di poligoni regolari con 2 lati e trovando le loro aree. Tuttavia omisero il passaggio della condizione del limite, non trovando quindi l'area del poligono per k→∞. Provarono così che data una circomferenza C e una linea di lunghezza L, e se L<C, allora possiamo inscrivere in questo cerchio un poligono regolare di perimetro Pn (dove n è il numero di lati) così che Pn>L. Ciò significa che possiamo trovare un numero intero N così che C-Pn<C-L per ogni n>N. I Banu Musa provarono poi che se L>C, allora possiamo circoscrivere un poligono regolare di perimetro Q n, così che Qn<L. Risulta quindi facile ed intuitivo giungere alla formula A= r • 1/2C (dove A è l'area del cerchio e r il suo raggio). Inoltre bisogna ricordare che i Banū Mūsā definirono le aree e i volumi come i prodotti di precisi valori, mentre nella geometria greca erano espressi in relazione ad altre aree e volumi. Per esempio, mentre Archimede definì il volume della sfera come quattro volte il volume del cono con il raggio della sfera come altezza ed il cerchio massimo della sfera come base, i Banū Mūsā trovarono che il volume è uguale al raggio della sfera moltiplicato per un terzo della sua superficie. In altre parole, usarono operazioni aritmetiche per determinare valori geometrici, un importante passo avanti per estendere il sistema dei numeri ed includere gli irrazionali, i Banū Mūsā descrissero infatti Pi Greco come la quantità che, moltiplicata per il diametro di un cerchio, dà come prodotto la circonferenza. Come Archimede, i Banū Mūsā determinarono che la superficie della sfera è quattro volte il suo cerchio massimo, ma la loro prova è diversa, usarono la considerazione seguente senza dimostrarla: Per ogni due sfere concentriche possiamo inscrivere in quella più grande un solido generato dalla rotazione di un poligono regolare attorno al diametro della sfera che passa attraverso due vertici del poligono, così che la superficie di questo solido non tocca né interseca la sfera più piccola. Questo era già stato dimostrato negli Elementi di Euclide. I Banū Mūsā calcolarono il volume del solido e dimostrarono che A=4C(dove A è la superficie della sfera e C il suo cerchio massimo). In aggiunta alla misura del cerchio e della sfera, nel trattato vennero risolti tre classici problemi greci: la dimostrazione della formula di Erone di Alessandria, il calcolo dei medi proporzionali e la trisezione di un angolo. Tra le altre opere dei Banū Mūsā bisogna citare Il libro dei congegni ingegnosi, in cui sono esposte innumerevoli invenzioni di congegni meccanici e macchine automatiche. Tra questi sono di particolare interesse gli strumenti musicali: un organo ad acqua e un flauto automatico. Nel Libro sul moto delle orbite Muhammad fu il primo a scoprire che i corpi e le sfere celesti sono soggetti alle stesse leggi fisiche della Terra e nei trattati Il moto astrale e La forza di attrazione scoprì che c'è una forza di attrazione tra i corpi celesti, anticipando la teoria della gravitazione universale di Isacco Newton. Al-Hasan scrisse uno studio sull'ellisse, la figura circolare allungata, in cui effettua uno studio sulle proprietà geometriche delle curve e cerca di misurare un'area a contorno curvilineo. Premesse al Libro delle coniche, probabilmente scritto da Muhammad, è una recensione alle Coniche di Apollonio di Perga, che era stato tradotto da Thābit ibn Qurra'. Sulla meccanica, attribuibile ad Ahmad, è un trattato sui congegni meccanici. I fratelli diedero molti contributi anche all'astronomia. Per volere di al-Ma'mūn misurarono un grado di latitudine nel deserto del nord della Mesopotamia e osservarono la luna e il sole. Muhammad e Ahmad misurarono la durata dell'anno ottenendo con un'ottima approssimazione 365 giorni e 6 ore.
- Бану́ Муса́ — сыновья Мусы ибн Шакира: Мухаммад, Ахмад и ал-Хасан — выдающиеся персидские учёные, занимавшиеся геометрией, астрономией и механикой. Они собирали рукописи греческих авторов и построили при «Доме мудрости» в Багдаде обсерваторию, в которой проводили наблюдения в 850—870 годах. Ал-Бируни отмечает преимущество их астрономических таблиц перед другими, так как «они не жалели усилий для достижения истины и стояли в свою эпоху одиноко по мастерству и остроте наблюдений». Их учеником был Сабит ибн Курра. Братьям принадлежат обработка «Конических сечений» Аполлония, «Книга измерения плоских и шаровых фигур», «Книга о вытянутом круге» (здесь описано построение эллипса «способом садовника»), «Книга механики», «Книга о движении первой сферы», «Книга о начале мира», «Книга градусов о природе знаков зодиака», «Книга о построении астролябии» и др.
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- The Banū Mūsā brothers were three 9th century Persian scholars, of Baghdad, active in the House of Wisdom: Abu Ja'far Muhammad ibn Mūsā ibn Shākir (before 803 – 873), who specialised in astronomy, engineering, geometry and physics. Ahmad ibn Mūsā ibn Shākir (803 – 873), who specialised in engineering and mechanics. Al-Hasan ibn Mūsā ibn Shākir (810 – 873), who specialised in engineering and geometry.
- I Banū Mūsā erano i tre fratelli matematici Abu Ja'far Muhammad ibn Mūsā ibn Shākir, Ahmad ibn Mūsā ibn Shākir e al¬Hasan ibn Mūsā ibn Shākir che lavorarono nella Bayt al-Ḥikma di Baghdad nel IX secolo. Nelle opere pervenuteci, firmate sempre con l'appellativo di Banū Mūsā, sono pressoché indistinguibili, ma sappiamo che, sebbene lavorassero insieme, ognuno di loro aveva un suo specifico campo di ricerca.
- Бану́ Муса́ — сыновья Мусы ибн Шакира: Мухаммад, Ахмад и ал-Хасан — выдающиеся персидские учёные, занимавшиеся геометрией, астрономией и механикой.
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