| dbpedia-owl:abstract
|
- Ein Axiom ist ein nicht deduktiv abgeleiteter Grundsatz einer Theorie (Wissenschaft, eines axiomatischen Systems). Der Ausdruck „Axiom“ wird in drei Grundbedeutungen verwendet. Er bezeichnet einen unmittelbar einleuchtenden Grundsatz, den klassischen (materialen) Axiombegriff; Beispiel: Satz vom Widerspruch ein vielfach bestätigtes allgemeines Naturgesetz, der naturwissenschaftliche (physikalische) Axiombegriff; Beispiel: Newtonsche Axiome einen zu Grunde gelegten, nicht abgeleiteten Ausgangssatz, den modernen (formalen) Axiombegriff.
- In traditional logic, an axiom or postulate is a proposition that is not proved or demonstrated but considered to be either self-evident, or subject to necessary decision. That is to say, an axiom is a logical statement that is assumed to be true. Therefore, its truth is taken for granted, and serves as a starting point for deducing and inferring other (theory dependent) truths. In mathematics, the term axiom is used in two related but distinguishable senses: "logical axioms" and "non-logical axioms". In both senses, an axiom is any mathematical statement that serves as a starting point from which other statements are logically derived. Unlike theorems, axioms (unless redundant) cannot be derived by principles of deduction, nor are they demonstrable by mathematical proofs, simply because they are starting points; there is nothing else from which they logically follow (otherwise they would be classified as theorems). Logical axioms are usually statements that are taken to be universally true (e.g. , A and B implies A), while non-logical axioms (e.g. , {{{1}}}) are actually defining properties for the domain of a specific mathematical theory. When used in the latter sense, "axiom," "postulate", and "assumption" may be used interchangeably. In general, a non-logical axiom is not a self-evident truth, but rather a formal logical expression used in deduction to build a mathematical theory. To axiomatize a system of knowledge is to show that its claims can be derived from a small, well-understood set of sentences (the axioms). There are typically multiple ways to axiomatize a given mathematical domain. Outside logic and mathematics, the term "axiom" is used loosely for any established principle of some field.
- Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados. En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas. En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.
- Aksiooma eli peruslause on matematiikassa peruskäsitteiden epäsuora määritelmä, jota käytetään päättelyssä muiden tulosten todistamiseen. Matematiikassa mikä tahansa ristiriidaton lausejoukko voidaan asettaa aksioomajärjestelmäksi. Toivottavaa on, että aksioomia ei voida johtaa toisista aksioomista vaan että aksioomajoukko on pienin mahdollinen peruskäsitteiden määrittelemiseen riittävä lausejoukko. Toivottavaa on myös, että aksioomista voidaan johtaa mahdollisimman paljon lauseita. Aksioomien lisäksi tarvitaan päättelysääntöjä. Matematiikassa päättelysääntöinä käytetään enimmäkseen logiikan päättelysääntöjä. Myös logiikka on aksiomatisoitu. On myös eräitä yksinkertaisia logiikan järjestelmiä, jotka tulevat toimeen pelkillä päättelysäännöillä. Tunnettu ja matematiikan kehitykseen vaikuttanut aksiooma on euklidisen geometrian paralleeliaksiooma eli yhdensuuntaisuusaksiooma: annetun pisteen kautta voidaan piirtää täsmälleen yksi annetun suoran suuntainen suora. Tämän aksiooman epäiltiin pitkään olevan seurausta muista geometrian aksioomista. Myöhemmin on todistettu, ettei näin ole, ja kehitetty geometrioita, joissa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Tällainen epäeuklidinen geometria ei esimerkiksi sisällä lausetta "kolmion kulmien summa on 180 astetta".
- In epistemologia, un assioma è una proposizione o un principio che viene assunto come vero perché ritenuto evidente o perché fornisce il punto di partenza di un quadro teorico di riferimento. L'insieme degli assiomi e dei concetti primitivi costituiscono il fondamento, il "punto di partenza", di ogni teoria deduttiva che si presenti come sistema assiomatico.
- In matematica si chiamano postulati o assiomi tutti e solo gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri. Generalmente forniscono il punto di partenza per delineare un quadro teorico come può essere quello della teoria degli insiemi, della geometria, dell'aritmetica, della teoria dei gruppi o nel calcolo delle probabilità. Nella logica matematica l'idea di assioma e dimostrazione viene completamente formalizzata. Gli assiomi di una teoria proposizionale o di una teoria del primo ordine sono un ben definito insieme di formule che possono essere usate nella teoria per costruire dimostrazioni formali. In questo ambito si fa una netta distinzione tra le due nozioni di assioma logico e assioma non-logico.
- 公理（こうり、Axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系という。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理（Axiom）、それに準じて要請される前提を公準（Postulate）として区別していたが、19世紀以降、数学の形式化が進むにつれ、両者はあまり厳密には区別されなくなっている。
- Een axioma (of postulaat) is in de wiskunde en logica sinds Euclides en Aristoteles een niet bewezen, maar als grondslag aanvaarde stelling. Een axioma dient zelf als grondslag van het bewijs van andere stellingen. Een axioma maakt deel uit van een deductief systeem. In de wiskundige logica heet een deductief systeem een theorie. Bij het opstellen van een theorie moet men met een aantal beperkingen rekening houden: axioma's mogen niet met elkaar in tegenspraak zijn axioma's mogen niet uit andere axioma's afgeleid kunnen worden Als axioma's met elkaar in tegenspraak zijn dan is een theorie inconsistent. Een axioma dat uit andere axioma's afgeleid kan worden is geen axioma, maar een bewezen stelling. Een verzameling van axioma's is dan ook de kleinst mogelijke verzameling van veronderstellingen die een theorie mogelijk maken. Een voorbeeld van een theorie is de rekenkunde van Peano. Deze theorie definieert natuurlijke getallen als volgt: Nul is een getal Elk getal heeft een opvolger en die opvolger is ook een getal Nul is niet de opvolger van enig getal Verschillende getallen hebben verschillende opvolgers Als nul een bepaalde eigenschap heeft en uit de veronderstelling dat een getal die eigenschap heeft, bewezen is dat zijn opvolger die ook heeft, dan heeft elk getal die eigenschap. Deze laatste is van essentieel belang bij het bewijs van de ongelijkheid van Bernoulli. Ook de natuurkunde kent het principe van het postulaat. Een bekend voorbeeld is dat de lichtsnelheid in het vacuüm voor alle waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen hetzelfde is. Twee belangrijke eigenschappen van een theorie zijn consistentie en volledigheid. Een theorie is consistent als er binnen de theorie geen tegenspraak afgeleid kan worden. Een theorie is volledig als elke ware stelling die geformuleerd is in de formele taal van de theorie binnen de theorie afgeleid kan worden. De rekenkunde van Peano is consistent, maar niet volledig - Gödels onvolledigheidsstelling bewijst dat elke consistente theorie die ten minste Peano's rekenkunde omvat een ware stelling bevat die onbewijsbaar is binnen die theorie en dus onvolledig is.
- Et aksiom (gr. αξιωμα/aksioma, grunnsetning) er en grunnsetning som aksepteres uten bevis, enten den er allment akseptert eller den er selvinnlysende sann. Innenfor epistemologien (filosofi) er den selvinnlysende sann, mens den ikke trenger være det i matematikken.
- Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna: Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.
- Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria). Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos. Como foi visto na definição, um axioma não é necessariamente uma verdade auto-evidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente. Axiomatizar um sistema é mostrar que suas inferências podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem-definido conjunto de sentenças. Isto não significa que elas possam ser conhecidas independentemente, e tipicamente existem múltiplos meios para axiomatizar um dado sistema (como a aritmética). A matemática distingue dois tipos de axiomas: axiomas lógicos e axiomas não-lógicos. Nas teorias das ciências naturais, um axioma é considerado uma verdade evidente que e é aceita como tal mas que ao rigor da palavra não pode ser demonstrado ou provado uma verdade absoluta dentro do domínio de sua aplicação; é geralmente derivado de intuição ou de conhecimento empírico, os quais apoiam-se em todos os fatos científicos até então conhecidos e relevantes à área em estudo. A viabilidade ou utilidade de tais teorias, e a classificação das mesmas como teorias científicas válidas ou já aprimoradas, todas sempre logicamente derivadas de forma correta de suas premissas (dos axiomas), dependem das escolhas acuradas de seus axiomas e da corroboração dos mesmos frente aos fatos científicos conhecidos na época em que foram propostos, e frente aos que forem gradualmente descobertos em épocas futuras às suas proposições. Fatos novos, ao serem descobertos, podem levar à evolução das teorias mediante necessidade explicita de modificações em seus axiomas, que, conforme propostos no paradigma científico evoluído e ora válido, devem manter-se sempre corroborados pela íntegra dos fatos científicos conhecidos até a data em questão. Na engenharia, axiomas são aceitos sem provas formais e suas escolhas são negociadas a partir do ponto de vista utilitário e econômico. Podem também ser considerados como hipóteses na modelagem e mudados depois da validação do modelo. Declarações explícitas de axiomas é uma condição necessária para a computabilidade de uma teoria, modelo ou método. Neste caso, o axioma pode ser visto como um conceito relativo dependente de domínio, por exemplo, em cada programa de software, declarações iniciais podem ser consideradas como seus axiomas locais.
- Аксио́ма (др. -греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, принимаемое истинным без доказательств, и которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств в рамках какой-либо теории, дисциплины и т. д. . Аксиоматизация теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» (фактами) для построения любой науки, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения. Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).
- Ett axiom är en grundsats som kan accepteras utan bevis. Det är en sats som är självklart sann och inte själv behöver bevisas. Dessa självklarheter utgör logiska systems grund, som tillsammans kan bilda ett axiomsystem. Man kan härleda nya satser från dessa axiomsystem.
- 在傳統邏輯中，公理是無法被證明或決定對錯，但被設為不證自明的一個命題。因此，其真實被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「若a = b，則a+c = b+c」。 在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在兩者之下，公理是用来推导其他命题的起点。和定理不同，公理（除非過多）是不能由演繹原則來推導，也不能經由數學證明來決定對錯，只因為它們是起點；公理无法由任何其他地方推导而来（不然它們就會被歸為定理）。 邏輯公理通常是被視為普通真實的陳述（如 (A ∧ B) → A），而非邏輯公理（如a + b = b + a）則實際上是在一特定數學理論（如算術）中的規範性質。在後者的意思之下，公理又可被稱為「公設」。一般而言，非邏輯公理並不是一個不證自明的事實，而应该說是一個被用來推導以建構一個數學定律的形式邏輯表示式。要公理化一套知識，就是要去證明這套知識的主張都可以由一套少許明確的陳述（公理）推導出來。一般都可以有兩種以上的方法來公理化一個給定的數學領域。
- Un axiome désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l'Antiquité, un axiome était une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve.
|
| rdfs:comment
|
- In epistemologia, un assioma è una proposizione o un principio che viene assunto come vero perché ritenuto evidente o perché fornisce il punto di partenza di un quadro teorico di riferimento. L'insieme degli assiomi e dei concetti primitivi costituiscono il fondamento, il "punto di partenza", di ogni teoria deduttiva che si presenti come sistema assiomatico.
- 公理（こうり、Axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系という。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理（Axiom）、それに準じて要請される前提を公準（Postulate）として区別していたが、19世紀以降、数学の形式化が進むにつれ、両者はあまり厳密には区別されなくなっている。
- Et aksiom (gr. αξιωμα/aksioma, grunnsetning) er en grunnsetning som aksepteres uten bevis, enten den er allment akseptert eller den er selvinnlysende sann. Innenfor epistemologien (filosofi) er den selvinnlysende sann, mens den ikke trenger være det i matematikken.
- Ett axiom är en grundsats som kan accepteras utan bevis. Det är en sats som är självklart sann och inte själv behöver bevisas. Dessa självklarheter utgör logiska systems grund, som tillsammans kan bilda ett axiomsystem. Man kan härleda nya satser från dessa axiomsystem.
- 在傳統邏輯中，公理是無法被證明或決定對錯，但被設為不證自明的一個命題。因此，其真實被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「若a = b，則a+c = b+c」。 在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在兩者之下，公理是用来推导其他命题的起点。和定理不同，公理（除非過多）是不能由演繹原則來推導，也不能經由數學證明來決定對錯，只因為它們是起點；公理无法由任何其他地方推导而来（不然它們就會被歸為定理）。 邏輯公理通常是被視為普通真實的陳述（如 (A ∧ B) → A），而非邏輯公理（如a + b = b + a）則實際上是在一特定數學理論（如算術）中的規範性質。在後者的意思之下，公理又可被稱為「公設」。一般而言，非邏輯公理並不是一個不證自明的事實，而应该說是一個被用來推導以建構一個數學定律的形式邏輯表示式。要公理化一套知識，就是要去證明這套知識的主張都可以由一套少許明確的陳述（公理）推導出來。一般都可以有兩種以上的方法來公理化一個給定的數學領域。
- Ein Axiom ist ein nicht deduktiv abgeleiteter Grundsatz einer Theorie (Wissenschaft, eines axiomatischen Systems). Der Ausdruck „Axiom“ wird in drei Grundbedeutungen verwendet.
- In traditional logic, an axiom or postulate is a proposition that is not proved or demonstrated but considered to be either self-evident, or subject to necessary decision. That is to say, an axiom is a logical statement that is assumed to be true. Therefore, its truth is taken for granted, and serves as a starting point for deducing and inferring other (theory dependent) truths.
- Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados. En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.
- Aksiooma eli peruslause on matematiikassa peruskäsitteiden epäsuora määritelmä, jota käytetään päättelyssä muiden tulosten todistamiseen. Matematiikassa mikä tahansa ristiriidaton lausejoukko voidaan asettaa aksioomajärjestelmäksi. Toivottavaa on, että aksioomia ei voida johtaa toisista aksioomista vaan että aksioomajoukko on pienin mahdollinen peruskäsitteiden määrittelemiseen riittävä lausejoukko. Toivottavaa on myös, että aksioomista voidaan johtaa mahdollisimman paljon lauseita.
- In matematica si chiamano postulati o assiomi tutti e solo gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri. Generalmente forniscono il punto di partenza per delineare un quadro teorico come può essere quello della teoria degli insiemi, della geometria, dell'aritmetica, della teoria dei gruppi o nel calcolo delle probabilità. Nella logica matematica l'idea di assioma e dimostrazione viene completamente formalizzata.
- Een axioma (of postulaat) is in de wiskunde en logica sinds Euclides en Aristoteles een niet bewezen, maar als grondslag aanvaarde stelling. Een axioma dient zelf als grondslag van het bewijs van andere stellingen. Een axioma maakt deel uit van een deductief systeem. In de wiskundige logica heet een deductief systeem een theorie.
- Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna: Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii.
- Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria). Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados.
- Аксио́ма (др. -греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, принимаемое истинным без доказательств, и которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств в рамках какой-либо теории, дисциплины и т. д. . Аксиоматизация теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода.
- Un axiome désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l'Antiquité, un axiome était une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve.
|
