| dbpedia-owl:abstract
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- Der Begriff der Antikette (engl. antichain) ist ein Begriff der Mengenlehre und gehört zum Umfeld des Begriffs der Ordnungsrelation. Die Definition dieses Begriffs ist wie folgt: Eine Teilmenge A einer geordneten Menge (M, R) ist eine Antikette, wenn A in Bezug auf die gegebene Ordnungsrelation R die Eigenschaft hat, dass für je zwei Elemente a und b von A weder a R b noch b R a gilt. Das heißt: Betrachtet man die Ordnungsrelation R nur "innerhalb" der Teilmenge A, so findet man dort keine zwei miteinander in Relation stehenden Elemente. Innerhalb der Antikette A ist also die Situation entgegengesetzt der Situation, welche in einer Kette der geordneten Menge (M, R) gegeben ist. Dies motiviert die Begriffsbildung. Beispiel: Man betrachte die natürlichen Zahlen als zu Grunde gelegte Menge M und als Ordnungsrelation R die bekannte Teilerrelation. Für zwei natürliche Zahlen a und b ist also a R b gleichbedeutend damit, dass a Teiler von b ist. Dann ist in dieser geordneten Menge die Menge aller Primzahlen und überhaupt jede Menge von Primzahlen eine Antikette. Die Begriffe Antikette und Kette gehören zum Kernbestand des Teils der Mathematik, welcher sich mit der Klärung von Fragestellungen zu Ordnungsrelationen befasst. Hier ist insbesondere die Kombinatorik der endlichen geordneten Mengen zu erwähnen. Zu deren zentralen Ergebnissen zählen Sätze wie der Satz von Sperner oder auch der Satz von Dilworth, welcher seinerseits mit dem bekannten Heiratssatz (auch als Satz von Hall bezeichnet) logisch äquivalent ist.
- En matemáticas, una anticadena en un conjunto parcialmente ordenado A es un subconjunto de S tal que cada par de miembros de A es incomparable, es decir, para cualquier x, y en A, ni x ≤ y ni y ≤ x. El teorema de Dilworth establece que la no existencia de una anticadena de tamaño n+1 en S es una condición necesaria y suficiente para que S sea la unión de n órdenes totales o cadenas. Esto motiva preguntas sobre el tamaño de la anticadena máxima. Por ejemplo, en el conjunto de partes de un conjunto finito X, ordenado por la inclusión, una anticadena máxima es descrita por el lema de Sperner, como los subconjuntos de tamaño 'mediano',|X|/2 en caso de que |X| sea par, y, o bien de (|X|+1)/2 o bien (|X|-1)/2 cuando |X| sea impar; la cardinalidad es el relevante coeficiente binomial.
- Matematiikassa, erityisesti järjestysteoriassa, antiketju on kahden osittain järjestetyn joukon välinen relaatio. Olkoon S osittain järjestetty joukko S:n kaksi alkiota a ja b ovat vertailullisia jo a ≤ b tai b ≤ a. S:n ketju C on pareittain vertailullinen S:n osajoukko, eli kaikki C:n alkioit x ja y ovat vertailullisia. Toisaalta S:n antiketju on pareittain vertailemattoimien alkioiden muodostama S:n osajoukko. Siten A on S:n antiketju jos A on S:n osajoukko jolle jokainen kahden A:n alkion muodostama pari on vertailematon, eli kaikilla A:n alkioilla x ja y A ei ole voimassa x ≤ y eikä y ≤ x. Dilworthin lauseen mukaan kokoa n+1 olevaa antiketjua A S:ssä ei ole jos ja vain jos S on yhdiste n täysin järjestetystä joukosta. Lauseen perusteella voidaan arvioida maksimaalisen antiketjun kokoa. Spernerin lauseen mukaan äärellisen n-alkioisen joukon X, joka on järjestetty osajoukkorelaation suhteen, on maksimaalisen antiketjun koko enintään .
- Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.
- In mathematics, in the area of order theory, an antichain is a subset of a partially ordered set such that any two elements in the subset are incomparable. (Some authors use the term "antichain" to mean strong antichain, a subset such that there is no element of the poset smaller than 2 distinct elements of the antichain. ) Let S be a partially ordered set. We say two elements a and b of a partially ordered set are comparable if a ≤ b or b ≤ a. If two elements are not comparable, we say they are incomparable; that is, x and y are incomparable if neither x ≤ y nor y ≤ x. A chain in S is a subset C of S in which each pair of elements is comparable; that is, C is totally ordered. An antichain in S is a subset A of S in which each pair of different elements is incomparable; that is, there is no order relation between any two different elements in A.
- En mathématiques, plus précisément en théorie des ordres, une antichaîne d'un ensemble E muni d'une relation d'ordre (notée ici ≤) est une partie A de E telle que Autrement dit, dans un ensemble ordonné, une antichaîne est une partie dont les éléments sont deux à deux incomparables. La largeur d'un ordre est le maximum des cardinaux de ses antichaînes .
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- Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.
- Der Begriff der Antikette (engl. antichain) ist ein Begriff der Mengenlehre und gehört zum Umfeld des Begriffs der Ordnungsrelation. Die Definition dieses Begriffs ist wie folgt: Eine Teilmenge A einer geordneten Menge (M, R) ist eine Antikette, wenn A in Bezug auf die gegebene Ordnungsrelation R die Eigenschaft hat, dass für je zwei Elemente a und b von A weder a R b noch b R a gilt.
- En matemáticas, una anticadena en un conjunto parcialmente ordenado A es un subconjunto de S tal que cada par de miembros de A es incomparable, es decir, para cualquier x, y en A, ni x ≤ y ni y ≤ x. El teorema de Dilworth establece que la no existencia de una anticadena de tamaño n+1 en S es una condición necesaria y suficiente para que S sea la unión de n órdenes totales o cadenas. Esto motiva preguntas sobre el tamaño de la anticadena máxima.
- Matematiikassa, erityisesti järjestysteoriassa, antiketju on kahden osittain järjestetyn joukon välinen relaatio. Olkoon S osittain järjestetty joukko S:n kaksi alkiota a ja b ovat vertailullisia jo a ≤ b tai b ≤ a. S:n ketju C on pareittain vertailullinen S:n osajoukko, eli kaikki C:n alkioit x ja y ovat vertailullisia. Toisaalta S:n antiketju on pareittain vertailemattoimien alkioiden muodostama S:n osajoukko.
- In mathematics, in the area of order theory, an antichain is a subset of a partially ordered set such that any two elements in the subset are incomparable. (Some authors use the term "antichain" to mean strong antichain, a subset such that there is no element of the poset smaller than 2 distinct elements of the antichain. ) Let S be a partially ordered set. We say two elements a and b of a partially ordered set are comparable if a ≤ b or b ≤ a.
- En mathématiques, plus précisément en théorie des ordres, une antichaîne d'un ensemble E muni d'une relation d'ordre (notée ici ≤) est une partie A de E telle que Autrement dit, dans un ensemble ordonné, une antichaîne est une partie dont les éléments sont deux à deux incomparables. La largeur d'un ordre est le maximum des cardinaux de ses antichaînes .
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