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- The horse paradox is a falsidical paradox that arises from flawed demonstrations, which purport to use mathematical induction, of the statement All horses are the same color. The paradox does not truly exist, as these arguments have a crucial flaw that makes them incorrect. This example was used by George Pólya as an example of the subtle errors that can occur in attempts to prove statements by induction.
- Se denomina paradoja del caballo a la demostración (falsa) de la siguiente proposición: Todos los caballos son del mismo color. Para ello se usa el principio de inducción matemática. Como caso base, podemos observar que en un conjunto que contiene a un único caballo, todos los caballos son claramente del mismo color. Ahora suponemos que la proposición es cierta para todos los conjuntos de tamaño inferior a n y para los de tamaño n. Si hay n+1 caballos en un conjunto, retiramos un caballo para obtener un conjunto resultante de n caballos y, por la suposición de inducción, todos los caballos en ese conjunto son del mismo color. Queda demostrar que este color es el mismo al del caballo que hemos retirado. Pero es fácil, lo que tenemos que hacer es devolver el primer caballo, retirar otro y aplicar otra vez el principio de inducción a este conjunto de n caballos. Así todos los caballos en un conjunto de n+1 caballos son del mismo color. Por el principio de inducción, hemos establecido que todos los caballos son del mismo color. El fallo en la "demostración" anterior se puede localizar fácilmente si se piensa un poco: realiza la suposición implícita de que los dos subconjuntos de caballos a los que aplicamos la suposición de inducción tienen un elemento común, pero esto falla cuando n =2. Esta paradoja es simplemente el resultado de un razonamiento erróneo. Muestra así los problemas que se producen cuando se dejan de considerar casos específicos para los que una proposición general puede ser falsa.
- A ló-paradoxon a minden ló azonos színű állítás (téves) bizonyításán alapul (nem tévesztendő össze az analitikus filozófia ún. lóproblémájával, mely Gottlob Frege és Bano Kerry egy vitájában került elő).
- Paradoks koni – paradoks polegający na błędnym użyciu indukcji matematycznej. Udowodnimy, że wszystkie konie są jednej maści. Posłużymy się indukcją matematyczną względem liczby koni. Sprawdzamy pierwszy krok indukcyjny - zbiór złożony z jednego konia jest zbiorem koni jednej maści. Zakładamy teraz, że (dla ustalonego n) wszystkie konie w każdym zbiorze n-elementowym koni są jednej maści. Pokażemy, że w takim razie teza zachodzi także dla wszystkich zbiorów (n+1)-elementowych koni. Dodajmy do dowolnego n-elementowego zbioru nowego konia. Mamy zbiór (n+1)-elementowy. Teraz odprowadźmy z tego zbioru któregoś konia, ale nie tego, którego właśnie dodaliśmy. Otrzymujemy więc zbiór n-elementowy koni. Z założenia indukcyjnego wszystkie konie w tym zbiorze są jednej maści. W takim razie nowo dodany koń jest tej samej maści, co pozostałe. Teraz możemy z powrotem przyprowadzić konia usuniętego z naszego zbioru (który jest oczywiście tej samej maści, co pozostałe) i otrzymujemy zbiór (n+1)-elementowy koni jednej maści. Jest to nie tyle paradoks, co błędne użycie metody indukcji matematycznej. Zauważmy bowiem, że drugi krok indukcyjny przechodzi tylko dla zbiorów co najmniej dwuelementowych. Jeśli do zbioru jednoelementowego dodamy kolejnego konia, a później odejmiemy konia z owego początkowego zbioru, to nie mamy wcale gwarancji, że koń ów i koń dodany mają ten sam kolor. Taką gwarancję daje nam dopiero zbiór dwuelementowy. Indukcja nie zachodzi więc już dla <math>n=1</math>.
- O paradoxo do cavalo é um paradoxo que surge pela falsa demonstração da proposição: «Todos os cavalos são da mesma cor», para a qual se usa o princípio da indução matemática. Como caso de base, podemos observar que num conjunto que contém um único cavalo, todos os cavalos são claramente da mesma cor. Se supusermos que a proposição é verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior a n e para os de dimensão n, então se houver n+1 cavalos num conjunto, retiramos um deles para obter um conjunto resultante com n cavalos, e pela suposição de indução, todos os cavalos nesse conjunto são da mesma cor. Fica por demonstrar que esta cor é a mesma que a do cavalo que retiramos. O correcto a fazer é devolver o primeiro cavalo, retirar outro e aplicar outra vez o principio da indução a este conjunto de n cavalos. Assim todos os cavalos num conjunto de n+1 cavalos são da mesma cor. Pelo princípio de indução, estabelecemos que todos os cavalos são da mesma cor. O erro na "demonstração" anterior descobre-se ao analisar o raciocínio: faz-se a suposição implícita de que os dois subconjuntos de cavalos aos quais se aplicou a suposição de indução têm um elemento comum, mas isto falha quando n=2. Este paradoxo é simplesmente o resultado de um raciocínio erróneo. Mostra assim os problemas que se produzem quando se deixam de considerar casos específicos para os quais uma proposição geral pode ser falsa.
- Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство того, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.
- Hästparadoxen är en paradox i form av påståendet alla hästar har samma färg som uppstår ur följande logiska resonemang, med hjälp av matematisk induktion.
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- The horse paradox is a falsidical paradox that arises from flawed demonstrations, which purport to use mathematical induction, of the statement All horses are the same color. The paradox does not truly exist, as these arguments have a crucial flaw that makes them incorrect. This example was used by George Pólya as an example of the subtle errors that can occur in attempts to prove statements by induction.
- Se denomina paradoja del caballo a la demostración (falsa) de la siguiente proposición: Todos los caballos son del mismo color. Para ello se usa el principio de inducción matemática. Como caso base, podemos observar que en un conjunto que contiene a un único caballo, todos los caballos son claramente del mismo color. Ahora suponemos que la proposición es cierta para todos los conjuntos de tamaño inferior a n y para los de tamaño n.
- A ló-paradoxon a minden ló azonos színű állítás (téves) bizonyításán alapul (nem tévesztendő össze az analitikus filozófia ún. lóproblémájával, mely Gottlob Frege és Bano Kerry egy vitájában került elő).
- Paradoks koni – paradoks polegający na błędnym użyciu indukcji matematycznej. Udowodnimy, że wszystkie konie są jednej maści. Posłużymy się indukcją matematyczną względem liczby koni. Sprawdzamy pierwszy krok indukcyjny - zbiór złożony z jednego konia jest zbiorem koni jednej maści. Zakładamy teraz, że (dla ustalonego n) wszystkie konie w każdym zbiorze n-elementowym koni są jednej maści.
- O paradoxo do cavalo é um paradoxo que surge pela falsa demonstração da proposição: «Todos os cavalos são da mesma cor», para a qual se usa o princípio da indução matemática. Como caso de base, podemos observar que num conjunto que contém um único cavalo, todos os cavalos são claramente da mesma cor.
- Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство того, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа.
- Hästparadoxen är en paradox i form av påståendet alla hästar har samma färg som uppstår ur följande logiska resonemang, med hjälp av matematisk induktion.
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