Abstraction in mathematics is the process of extracting the underlying essence of a mathematical concept, removing any dependence on real world objects with which it might originally have been connected, and generalising it so that it has wider applications or matching among other abstract descriptions of equivalent phenomena. Many areas of mathematics began with the study of real world problems, before the underlying rules and concepts were identified and defined as abstract structures.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • Abstraction in mathematics is the process of extracting the underlying essence of a mathematical concept, removing any dependence on real world objects with which it might originally have been connected, and generalising it so that it has wider applications or matching among other abstract descriptions of equivalent phenomena. Many areas of mathematics began with the study of real world problems, before the underlying rules and concepts were identified and defined as abstract structures. For example, geometry has its origins in the calculation of distances and areas in the real world; statistics has its origins in the calculation of probabilities in gambling; and algebra started with methods of solving problems in arithmetic. Abstraction is an ongoing process in mathematics and the historical development of many mathematical topics exhibits a progression from the concrete to the abstract. Take the historical development of geometry as an example; the first steps in the abstraction of geometry were made by the ancient Greeks, with Euclid's Elements being the earliest extant documentation of the axioms of plane geometry -- though Proclus tells of an earlier axiomatisation by Hippocrates of Chios. In the 17th century Descartes introduced Cartesian co-ordinates which allowed the development of analytic geometry. Further steps in abstraction were taken by Lobachevsky, Bolyai, Riemann, and Gauss who generalised the concepts of geometry to develop non-Euclidean geometries. Later in the 19th century mathematicians generalised geometry even further, developing such areas as geometry in n dimensions, projective geometry, affine geometry and finite geometry. Finally Felix Klein's "Erlangen program" identified the underlying theme of all of these geometries, defining each of them as the study of properties invariant under a given group of symmetries. This level of abstraction revealed deep connections between geometry and abstract algebra. Two of the most highly abstract areas of modern mathematics are category theory and model theory. The advantages of abstraction are : It reveals deep connections between different areas of mathematics Known results in one area can suggest conjectures in a related area Techniques and methods from one area can be applied to prove results in a related area The main disadvantage of abstraction is that highly abstract concepts are more difficult to learn, and require a degree of mathematical maturity and experience before they can be assimilated.
  • Matematikte soyutlama matematiksel bir kavramın, başlangıçta ilişkili olabileceği herhangi bir gerçel dünya nesnesine olan bağımlılığı ortadan kaldırıp genelleştirerek daha geniş bir uygulama alanı sağlamak için, özünü çıkarma işlemidir. Matematikteki birçok araştırma alanı -alan için geçerli olan kurallar ve kavramlar soyut yapı olarak anlaşılmadan önce- gerçel dünya sorunlarının incelenmesi ile başlamıştır. Örneğin geometrinin kaynağı gerçel dünyadaki mesafelerin hesaplanmasına dayanmaktadır. İstatistik, şans oyunlarındaki olasılıkların hesaplanmasından doğmuştur ve cebir aritmetik problemlerinin çözme çabalarından ortaya çıkmıştır. Soyutlama matematik biliminde sürekli ilerleyen bir olgudur ve birçok matematiksel konunun gelişimi somuttan soyuta doğru bir ilerleme içerisindedir. Örneğin geometri dalının tarihsel gelişimini ele alacak olursak: Geometrinin soyutlaştırılması konusundaki ilk adım eski Yunanlılar tarafından gerçekleştirilmiştir ve (bildiğimiz kadarıya) Öklid, düzlemsel geometrinin aksiyomlarını ortaya koyan ilk kişi olmuştur. 17. yy'da Descartes kartezyen kordinatlarını tanımlayarak analitik geometrinin kurulmasına olanak tanımıştır. Soyutlaştırma yolundaki diğer adımlar Lobachevsky, Bolyai ve Gauss tarafından geometrinin Öklitçi olmayan geometrilere genelleştirilmesiyle sağlanmıştır. Daha sonra 19. yy matematikçileri geometriyi daha da soyutlaştırarak 'n' boyutlu geometri, projektif geometri, afin geometri ve sonlu geometri gibi kavramlar ortaya koymuştur. Son olarak Klein'in "Erlangen programı" tüm bu geometrilerin ana temasını ortaya koyarak bu dalları, belirli bir simetriler grubu altında değişmeyen özelliklerin incelenmesi şeklinde tanımlamıştır. Bu düzeydeki soyutlama geometri ile soyut cebir arasındaki derin bağlantıları açığa çıkarmıştır. Modern matematiğin en yüksek derecede soyut alanları kategori teorisi ve model teorisidir. Soyutlama yapmanın yararları: Matematiğin farklı alanları arasında derin bağlantılar olduğunu ortaya çıkarır Bir alanda bilinen sonuçlar ilişkili bir alanda sanılar ortaya konmasına yardımcı olabilir Bir alandaki teknikler ve yöntemler ilişkili bir alanda sonuçları tanıtlamak için kullanılabilir Soyutlamanın ana zorluğu, yüksek derecede soyut kavramları öğrenmenin güçlüğü ve özümsenmeden önce belirli bir matematiksel olgunluk ve deneyime gereksinim duyulmasıdır.
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:reference
rdfs:comment
  • Abstraction in mathematics is the process of extracting the underlying essence of a mathematical concept, removing any dependence on real world objects with which it might originally have been connected, and generalising it so that it has wider applications or matching among other abstract descriptions of equivalent phenomena. Many areas of mathematics began with the study of real world problems, before the underlying rules and concepts were identified and defined as abstract structures.
  • Matematikte soyutlama matematiksel bir kavramın, başlangıçta ilişkili olabileceği herhangi bir gerçel dünya nesnesine olan bağımlılığı ortadan kaldırıp genelleştirerek daha geniş bir uygulama alanı sağlamak için, özünü çıkarma işlemidir. Matematikteki birçok araştırma alanı -alan için geçerli olan kurallar ve kavramlar soyut yapı olarak anlaşılmadan önce- gerçel dünya sorunlarının incelenmesi ile başlamıştır.
rdfs:label
  • Abstraction (mathematics)
  • Matematiksel soyutlama
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpprop:disambiguates of
is dbpprop:redirect of