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- In mathematics, the absolute value (or modulus) of a real number is its numerical value without regard to its sign. So, for example, 3 is the absolute value of both 3 and −3. The absolute value of a number <math>a is denoted by <math>|a|. Generalizations of the absolute value for real numbers occur in a wide variety of mathematical settings. For example an absolute value is also defined for the complex numbers, the quaternions, ordered rings, fields and vector spaces. The absolute value is closely related to the notions of magnitude, distance, and norm in various mathematical and physical contexts. thumb|360px|The graph of the absolute value function for real numbers.
- In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative, reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl <math>x wird meist mit <math>|x|, seltener mit <math>\operatorname{abs}(x) bezeichnet.
- En matemàtiques, donat un nombre real 'x' s'anomena "Valor Absolut de x" i es denota per |x| a la distància d'aquest nombre a l'origen de coordenades. En altres paraules, és el mateix nombre prescindint del signe algebraic (+ o -). Donat que es defineix com a una distància el seu valor sempre és estrictament positiu llevat del zero, que te valor absolut zero. Aquesta funció es pot definir a trossos com segueix: <math>|x|=\left\{\begin{matrix} -x & si & x < 0 \\ x & si & x \ge 0 \end{matrix}\right. </math> Molts llenguatges de programació contenen la funció ABS definida com <math> ABS(x)=|x|= +\sqrt{x^2} </math> Aquesta aplicació converteix tot nombre real d'entrada en positiu i per tant en calcula el Valor Absolut. Per a nombres no-reals (complexos, espais vectorials de dimensió superior a 1) el Valor Absolut s'anomena mòdul. El concepte "mòdul d'un vector" és el mateix, és la longitud del vector o distància entre el seu origen i el seu extrem.
- V matematice označuje pojem absolutní hodnota reálného čísla x (zapsaná jako |x|) hodnotu x bez znaménka. Absolutní hodnota tak určuje vzdálenost bodu na číselné ose od počátku (0). Například 3 je absolutní hodnotou jak čísla 3, tak čísla −3. 0 je absolutní hodnotou jen pro 0. Neboli: <math> |x| = \begin{cases} \ \;\, x &\mathrm{pro}\ x \ge 0\\ -x &\mathrm{pro}\ x < 0 \end{cases}
- En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3. El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. thumb|right|230px|Gráfica de la función valor absoluto
- Reaaliluvun itseisarvo on sen etäisyys lukusuoran nollasta riippumatta, onko luku positiivinen tai negatiivinen. Luvun <math>a</math> itseisarvoa merkitään <math>|a|</math>. Muodollinen määritelmä: |a|=\begin{cases} a, & \mbox{jos }a \ge 0 \\ -a, & \mbox{jos }a < 0 \end{cases}. Positiivisen reaaliluvun ja nollan itseisarvo on luku itse, negatiivisen reaaliluvun itseisarvo on luku kerrottuna luvulla −1. Esimerkiksi luvun kolme itseisarvo merkitään <math>|3|</math> ja se on 3. Miinus kahden itseisarvo puolestaan on kaksi, <math>|-2| = 2</math>. Helpoiten negatiivisesta luvusta itseisarvon saa laskettua poistamalla miinusmerkin. Kompleksiluvun itseisarvo on: <math>|c| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> Kvaternion itseisarvo vastaa vektorien euklidista pituutta: <math>|q| = |a + ib + jc + kd| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}
- En mathématiques, la valeur absolue (parfois appelée module) d'un nombre réel est sa valeur numérique sans tenir compte de son signe. En programmation informatique, l'identificateur utilisé pour désigner la valeur absolue est usuellement abs. Il existe de nombreuses généralisations de la valeur absolue dans des espaces plus abstraits. Cette notion est proche de celles de distance et de magnitude dans de nombreuses branches de la physique et des mathématiques.
- Fájl:Absolute value. png 260px Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív. Egy x szám abszolút értékét így jelölik: <math>|x|\,</math>. Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az <math>x \mapsto |x|\,</math> hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos <math>\scriptstyle</math> jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.
- In matematica, il valore assoluto (o modulo) di un numero reale o di un numero complesso <math>x</math> è una funzione che associa a <math>x</math> un numero reale non negativo. Se <math>x</math> è un numero reale, il suo valore assoluto è <math>x</math> stesso se <math>x</math> è non negativo, è <math>-x</math> se <math>x</math> è negativo. Ad esempio, il valore assoluto sia di <math>3</math> che di <math>-3</math> è <math>3</math>. Se <math>x</math> è un numero complesso, il suo valore assoluto è la lunghezza del segmento nel piano complesso che ha per estremi l'origine e <math>x</math>. Quest'ultima definizione coincide con la precedente se il numero complesso <math>x</math> è un numero reale. Il valore assoluto di un numero <math>x</math> si indica con <math>|x|</math>. Valore assoluto di un numero reale Nel caso di numeri reali, il valore assoluto si definisce come: <math>|x| := \left\\beginmatrix x, & \mboxse x\ge0 \\-x, & \mboxse x<0 \endmatrix\right. </math> oppure <math>|x| := \max\x,-x\</math> o mediante le parentesi di Iverson: <math>|x| := -x[x<0] + x[x>0]</math> . Se rappresentiamo i numeri reali sulla retta reale allora il valore assoluto di un numero può essere visto come la sua distanza dallo zero. Concetti che generalizzano quest'idea sono la nozione matematica di distanza e quella di norma, che talvolta usa la stessa notazione del valore assoluto. Proprietà Il valore assoluto ha le seguenti proprietà: |a| ≥ 0 |a| = 0 sse (se e solo se) a = 0. |ab| = |a||b| |a/b| = |a| / |b| (con b ≠ 0) |a+b| ≤ |a| + |b| |a−b| ≥ ||a| − |b|| |a−b| = 0 se e solo se a = b |a| ≤ b se −b ≤ a ≤ b |a| ≥ b se a ≤ −b <math>\vee</math> b ≤ a Le ultime due proprietà sono spesso sfruttate nella soluzione delle disequazioni del tipo: |x − 3| ≤ 9 −9 ≤ x−3 ≤ 9 −6 ≤ x ≤ 12 Un piccolo suggerimento: quando le disequazioni sono frazionarie, ovvero presentano espressioni con l'incognita al denominatore, questo non si elimina perché bisogna studiarne il segno. Che cosa invece accade con i valori assoluti in certi casi: prendiamo, ad esempio, in considerazione una frazione che ha per denominatore |x + 7| + 3. Si può notare che questa quantità è sicuramente positiva per ogni x appartenente a R, poiché x + 7 è sotto valore assoluto, quindi è una quantità sicuramente positiva. 3, che è seguito dal segno più è quindi anch'esso positivo. Ne concluderemo che il denominatore si può benissimo sbarrare, evitando così di complicarsi la vita nei calcoli e studiando solo il numeratore (si noti che non si deve neanche porre una condizione di esistenza, poiché se x + 7 si annulla, rimane sempre il 3). Se invece fosse stato |x + 7| - 3 non saremmo potuti inervenire come sopra, poiché x + 7, che è sotto valore assoluto, è una quantità sempre positiva, ma non si sa se lo è anche sommata al numero - 3. Quindi, in questo caso, il denominatore non si sarebbe potuto eliminare e avremmo dovuto studiarne il segno. Ancora, se invece fosse stato solo |x + 7| al denominatore, potevamo certamente eliminare l'espressione, perché sicuramente positiva, a patto però di porre x diverso da - 7, perché se la x assume quel valore il denominatore si annulla e la disequazione diviene impossibile. Numeri complessi Nel caso di un numero complesso <math>c</math> il valore assoluto o modulo è definito come <math>|c| = \sqrtRe(c)^2+Im(c)^2</math> dove <math>Re(c)</math> è la parte reale del numero e <math>Im(c)</math> la parte immaginaria. Dunque <math>|c|</math> è la distanza fra l'origine e <math>c</math> nel piano complesso. In maniera equivalente si può definire il valore assoluto o il modulo di <math>c\in\mathbb C</math> come <math>|c| = \sqrtc\,\overline c</math>, dove <math>\overline c</math> il complesso coniugato di <math>c</math>. Questa definizione di valore assoluto su <math>\mathbb C</math> soddisfa le proprietà dalla 1 alla 7 sopra indicate: infatti, identificando il campo complesso con lo spazio <math>\R^2</math>, essa non è altro che la norma euclidea del vettore <math>z=(Re,Im)</math>. Funzione modulo Per argomenti reali, la funzione valore assoluto f(x) = |x| è continua ovunque e derivabile per x ≠ 0. La funzione non è invertibile, in quanto non iniettiva: per ogni valore del codominio ci sono due numeri (un numero ed il suo opposto) con lo stesso valore assoluto (tranne che nel caso dello zero). Per argomenti complessi, la funzione è sempre continua ma non è mai differenziabile (si può vedere mostrando che non obbedisce alle equazioni di Cauchy-Riemann). Valore assoluto dei vettori Il valore assoluto o modulo di un vettore n-dimensionale v = (x1, x2,... , xn) è generalmente dato da: <math>\left | \mboxv \right | = \sqrtx_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2</math> Si noti che |v| è la lunghezza del vettore v e che oltre al termine valore assoluto si utilizza spesso il termine norma euclidea o pitagorica (in quanto in due dimensioni questa formula è proprio il teorema di Pitagora). L'utilizzo di questo termine si spiega con il fatto che il valore assoluto come scritto qui può considerarsi un caso particolare, all'interno dello spazio euclideo, della nozione di norma di un vettore di uno spazio normato o di una matrice: l'insieme dei reali e l'insieme dei complessi si possono infatti considerare spazi normati monodimensionali e insiemi di matrici 1 × 1. Linguaggi di programmazione informatica Nel linguaggio C il valore assoluto di un numero è calcolato dalle funzioni abs, labs, llabs (in C99), fabs, fabsf, e fabsl. Scrivere la versione della funzione per i numeri interi è banale, se non si considera il caso limite in cui venga immesso il più grande numero intero negativo: int abs(int i) if (i < 0) return -i; else return i; Le versioni per numeri a virgola mobile sono più complesse, in quanto devono tener conto dei codici speciali per l'infinito e not-a-number.
- 数学において、絶対値（ぜったいち、英語: absolute value）は数の「大きさ」の概念を与える規準の一つである。その数が 0 からどれだけ離れているかを知ることができる。
- Onder absolute waarde of modulus van een reëel getal of andere grootheid verstaat men in het algemeen de lengte of grootte daarvan, daarmee afziend van andere eigenschappen, zoals teken of richting.
- I matematikk er absoluttverdien eller tallverdien til et reelt tall den numeriske verdien til tallet uten hensyn til fortegnet. Dermed er for eksempel 3 absoluttverdien til både 3 og -3. Absoluttverdi er nært knyttet til ulike forhold som er relatert til størrelse og avstand i matematikk og fysikk. Absoluttverdien brukes til å definere lengden på en vektor.
- Wartość bezwzględna (moduł) – odległość danej liczby rzeczywistej, lub ogólniej liczby zespolonezespolonej, od zera. Przykładowo <math>1</math> jest wartością bezwzględną zarówno liczby rzeczywistej <math>1</math> jak i <math>-1</math> a także liczb zespolonych <math>i, -i</math> i innych. Funkcja przyporządkowująca liczbie rzeczywistej (zespolonej) jej wartość bezwzględną jest oznaczana przez <math>x</math> lub <math>abs(x)</math>. Pierwsze oznaczenie jest powszechnie stosowane w matematyce i fizyce, natomiast drugie jest stosowane przede wszystkim w programowanieprogramowaniu a także oprogramowaniu matematycznym. Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej można uogólnić na wiele innych zbiorów. Uogólnienia takie zwane są przestrzeń unormowananormami. I tak, norma jest definiowana także dla liczby zespoloneliczb zespolonych, kwaternionykwaternionów, wielu pierścień uporządkowanypierścieni uporządkowanych, ciało (matematyka)ciał, czy przestrzeń liniowaprzestrzeni liniowych. Wartość bezwzględna jest powiązana z pojęciem przestrzeń metrycznametryki.
- Valor absoluto é a distância de um ponto da reta real até sua origem definida da seguinte forma: |x|= X se, e somente se x for maior ou igual a zero ou |x|= -x se x for menor que zero. Podemos estender esse conceito para qualquer expressão que estiver dentro do módulo, por exemplo: Dada a função <math> f(x) = | x - 1 | + 2</math> : Para resolver esse problema, é preciso primeiro fazer o estudo do sinal da expressão que está dentro do módulo, igualando-a a zero, afim de saber para quais valores de x a expressão é negativa ou positiva: <math>x - 1 = 0 \longrightarrow x = 1</math> (raiz). Portanto, para todos os valores de x maiores ou iguais a 1, a expressão é positiva e para todos os valores de x menores a 1, a expressão é negativa. Como o módulo é sempre um valor absoluto (positivo), quando a expressão for negativa, basta acrescentar o sinal de menos, para torná-la positiva: <math>x \ge 1 \longrightarrow | x - 1 | = x - 1 \longrightarrow f(x) = x + 1</math> <math>x \le 1 \longrightarrow | x - 1 | = - (x - 1) \longrightarrow f(x) = -x + 3</math>
- Файл:Absolute value. png Абсолю́тная величина́ или мо́дуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом: если <math>x \geqslant 0</math>, то <math>|x|=x</math>; если <math>x < 0</math>, то <math>|x|=-x</math>. Абсолютная величина комплексного числа z = x + iy (x и y — реальные числа) — неотрицательное число, обозначаемое |z| и определяемое по формуле: <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> Модуль относится к числу элементарных функций. В математике широко используется тот факт, что геометрически <math>|x_1 - x_2|</math> равно расстоянию между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math> и, таким образом, может быть использовано как мера близости одной величины к другой. Модуль — непрерывная кусочно-линейная функция.
- Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal <math>\ x</math> betecknas <math>\ |x|</math> och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen. Absolutbeloppet av ett reellt tal <math>\ x</math> definieras av <math>|x|=\left\{\begin{matrix} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{matrix}\right. </math> Absolutbeloppet av ett komplext tal <math>\ z = a + bi</math> definieras av <math>|z| = \sqrt{zz^*}= \sqrt{a^2 + b^2}</math> För en vektor <math>\mathbf v = (x_1, x_2, ... , x_n)</math>, motsvarar vektorns längd vektorns absolutbelopp: <math>|\mathbf{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}</math> Längden för en vektor svarar dock vanligen mot dess norm, vilken betecknas <math>||\mathbf v||</math>.
- Matematikte, mutlak değer (ya da mutlak değer fonksiyonu) bir gerçel sayının işaretsiz sayısal değerini verir. Örneğin, 3; hem 3'ün hem de -3'ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu fonksiyonu ifade etmek için kullanılan matematiksel fonksiyon genelde abs(... )'dir . ama bu sadece mutlak değer fonksiyonunda geçerlidir Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılarla kullanımı dışında, geniş bir matematiksel kullanım alanı vardır. Örneğin, mutlak değer karmaşık sayılar gibi kümeler için de tanımlanabilir. Kısacası mutlak değer; bir sayının 0'la olan uzaklığıdır.
- абсолютна величина чи модуль - в математиці, величина, значення або число незалежно від знака. Абсолютна величина числа n записується |n| (іноді mod n) і визначається як додатній квадратний корінь з n². Наприклад, числа -5 і 5 мають однакову абсолютну величину: |5| = |-5| = 5.
- 在數學中，絕對值（或稱模）用來表示距離或數量的大小。絕對值的概念也可以定義在複數、有序環以及域上。
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| rdfs:comment
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- In mathematics, the absolute value (or modulus) of a real number is its numerical value without regard to its sign. So, for example, 3 is the absolute value of both 3 and −3. The absolute value of a number <math>a is denoted by <math>|a|. Generalizations of the absolute value for real numbers occur in a wide variety of mathematical settings. For example an absolute value is also defined for the complex numbers, the quaternions, ordered rings, fields and vector spaces.
- In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative, reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl <math>x wird meist mit <math>|x|, seltener mit <math>\operatorname{abs}(x) bezeichnet.
- En matemàtiques, donat un nombre real 'x' s'anomena "Valor Absolut de x" i es denota per |x| a la distància d'aquest nombre a l'origen de coordenades. En altres paraules, és el mateix nombre prescindint del signe algebraic (+ o -). Donat que es defineix com a una distància el seu valor sempre és estrictament positiu llevat del zero, que te valor absolut zero.
- V matematice označuje pojem absolutní hodnota reálného čísla x (zapsaná jako |x|) hodnotu x bez znaménka. Absolutní hodnota tak určuje vzdálenost bodu na číselné ose od počátku (0). Například 3 je absolutní hodnotou jak čísla 3, tak čísla −3. 0 je absolutní hodnotou jen pro 0. Neboli: <math> |x| = \begin{cases} \ \;\, x &\mathrm{pro}\ x \ge 0\\ -x &\mathrm{pro}\ x < 0 \end{cases}
- En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3. El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
- Reaaliluvun itseisarvo on sen etäisyys lukusuoran nollasta riippumatta, onko luku positiivinen tai negatiivinen. Luvun <math>a</math> itseisarvoa merkitään <math>|a|</math>. Muodollinen määritelmä: |a|=\begin{cases} a, & \mbox{jos }a \ge 0 \\ -a, & \mbox{jos }a < 0 \end{cases}. Positiivisen reaaliluvun ja nollan itseisarvo on luku itse, negatiivisen reaaliluvun itseisarvo on luku kerrottuna luvulla −1.
- En mathématiques, la valeur absolue (parfois appelée module) d'un nombre réel est sa valeur numérique sans tenir compte de son signe. En programmation informatique, l'identificateur utilisé pour désigner la valeur absolue est usuellement abs. Il existe de nombreuses généralisations de la valeur absolue dans des espaces plus abstraits. Cette notion est proche de celles de distance et de magnitude dans de nombreuses branches de la physique et des mathématiques.
- Fájl:Absolute value. png 260px Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív. Egy x szám abszolút értékét így jelölik: <math>|x|\,</math>.
- In matematica, il valore assoluto (o modulo) di un numero reale o di un numero complesso <math>x</math> è una funzione che associa a <math>x</math> un numero reale non negativo. Se <math>x</math> è un numero reale, il suo valore assoluto è <math>x</math> stesso se <math>x</math> è non negativo, è <math>-x</math> se <math>x</math> è negativo.
- 数学において、絶対値（ぜったいち、英語: absolute value）は数の「大きさ」の概念を与える規準の一つである。その数が 0 からどれだけ離れているかを知ることができる。
- Onder absolute waarde of modulus van een reëel getal of andere grootheid verstaat men in het algemeen de lengte of grootte daarvan, daarmee afziend van andere eigenschappen, zoals teken of richting.
- I matematikk er absoluttverdien eller tallverdien til et reelt tall den numeriske verdien til tallet uten hensyn til fortegnet. Dermed er for eksempel 3 absoluttverdien til både 3 og -3. Absoluttverdi er nært knyttet til ulike forhold som er relatert til størrelse og avstand i matematikk og fysikk. Absoluttverdien brukes til å definere lengden på en vektor.
- Wartość bezwzględna (moduł) – odległość danej liczby rzeczywistej, lub ogólniej liczby zespolonezespolonej, od zera. Przykładowo <math>1</math> jest wartością bezwzględną zarówno liczby rzeczywistej <math>1</math> jak i <math>-1</math> a także liczb zespolonych <math>i, -i</math> i innych.
- Valor absoluto é a distância de um ponto da reta real até sua origem definida da seguinte forma: |x|= X se, e somente se x for maior ou igual a zero ou |x|= -x se x for menor que zero.
- Файл:Absolute value. png Абсолю́тная величина́ или мо́дуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат.
- Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal <math>\ x</math> betecknas <math>\ |x|</math> och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen. Absolutbeloppet av ett reellt tal <math>\ x</math> definieras av <math>|x|=\left\{\begin{matrix} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{matrix}\right.
- Matematikte, mutlak değer (ya da mutlak değer fonksiyonu) bir gerçel sayının işaretsiz sayısal değerini verir. Örneğin, 3; hem 3'ün hem de -3'ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu fonksiyonu ifade etmek için kullanılan matematiksel fonksiyon genelde abs(... )'dir . ama bu sadece mutlak değer fonksiyonunda geçerlidir Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılarla kullanımı dışında, geniş bir matematiksel kullanım alanı vardır.
- абсолютна величина чи модуль - в математиці, величина, значення або число незалежно від знака. Абсолютна величина числа n записується |n| (іноді mod n) і визначається як додатній квадратний корінь з n². Наприклад, числа -5 і 5 мають однакову абсолютну величину: |5| = |-5| = 5.
- 在數學中，絕對值（或稱模）用來表示距離或數量的大小。絕對值的概念也可以定義在複數、有序環以及域上。
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