In mathematics, an abelian category is a category in which morphisms and objects can be added and in which kernels and cokernels exist and have desirable properties. The motivating prototype example of an abelian category is the category of abelian groups, Ab. The theory originated in an effort to unify several cohomology theories by Alexander Grothendieck and independently in the slightly earlier work of David Buchsbaum. Abelian categories are very stable categories, for example they are regular and they satisfy the snake lemma. The class of Abelian categories is closed under several categorical constructions, for example, the category of chain complexes of an Abelian category, or the category of functors from a small category to an Abelian category are Abelian as well. These stability pr

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  • In mathematics, an abelian category is a category in which morphisms and objects can be added and in which kernels and cokernels exist and have desirable properties. The motivating prototype example of an abelian category is the category of abelian groups, Ab. The theory originated in an effort to unify several cohomology theories by Alexander Grothendieck and independently in the slightly earlier work of David Buchsbaum. Abelian categories are very stable categories, for example they are regular and they satisfy the snake lemma. The class of Abelian categories is closed under several categorical constructions, for example, the category of chain complexes of an Abelian category, or the category of functors from a small category to an Abelian category are Abelian as well. These stability properties make them inevitable in homological algebra and beyond; the theory has major applications in algebraic geometry, cohomology and pure category theory. Abelian categories are named for Niels Henrik Abel. (en)
  • Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie, die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält. In geringerem Umfang gilt dies auch für additive Kategorien. (de)
  • En matemáticas una categoría abeliana es una categoría en la cual los morfismos tienen estructura de grupo abeliano, existen tanto núcleos y conúcleos y tienen propiedades deseables. El ejemplo usual de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos Ab. La teoría tiene su origen como un intento de unificar varias teorías de cohomologia por Alexander Grothendieck. Las categorías abelianas son categorías muy estables, por ejemplo son regulares y satisfacen el lema de la serpiente. La clase de categorías abelianas es cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo la categoría de complejos de cadenas de una categoría abeliana o la categoría de funtores de una categoría pequeña abeliana es una categoría abeliana, estas propiedades estables son inevitables en álgebra homológica, está teoría tiene sus mayores aplicaciones en geometría algebraica, cohomologíay teoría de categorías. (es)
  • En mathématiques, les catégories abéliennes forment une famille de catégories qui contient celle des groupes abéliens. Leur étude systématique a été instituée par Alexandre Grothendieck pour éclairer les liens qui existent entre différentes théories cohomologiques, comme la cohomologie des faisceaux ou la cohomologie des groupes. Toute catégorie abélienne est additive. (fr)
  • アーベル圏(アーベルけん、英語: Abelian category)とはアレクサンドル・グロタンディークによって考案された、ホモロジー代数が展開できるよういくつかの公理を満たす圏である。元来、層係数のコホモロジー理論(層コホモロジー)と定数係数のコホモロジー理論は、定義および構成方法がまったくといっていいほど異なるにもかかわらず、理論の構造は酷似していた。そのため両者を統一的な観点から記述するために考案された。しかしながら知られているすべてのコホモロジー理論がアーベル圏上で展開できるわけではない。 (ja)
  • In de categorietheorie, een abstract deelgebied van de wiskunde, is een abelse categorie een categorie, waarin morfismen en objecten kunnen worden toegevoegd waarin kernen en cokernen bestaan en tevens gewenste eigenschappen hebben. Het motiverende prototypevoorbeeld van een abelse categorie is de categorie van abelse groepen, Ab. De theorie is ontstaan uit een voorzichtige poging door Alexander Grothendieck om verschillende cohomologietheorieën te verenigen. Abelse categorieën zijn zeer stabiele categorieën, bijvoorbeeld omdat ze regelmatig zijn en voldoen aan het slangenlemma. De klasse van abelse categorieën is gesloten onder verschillende categorische constructies, bijvoorbeeld, de categorie van ketencomplexen van een abelse categorie, of de categorie van functors van een kleine categorie om een abelse categorie zijn ook abels. Deze stabiliteitseigenschappen maken ze onvermijdelijk in de homologische algebra en daarbuiten; de theorie heeft belangrijke toepassingen in algebraïsche meetkunde, cohomologie en de zuivere categorietheorie. (nl)
  • Em matemática, uma categoria abeliana é uma categoria na qual morfismos e objetos podem ser adicionados e na qual núcleos e conúcleos existem e tem propriedades desejáveis. O exemplo de protótipo de uma categoria abeliana é a categoria de grupos abelianos, Ab. A teoria originou-se na tentativa de unificar diversas teorias de cohomologia por Alexander Grothendieck. Categorias abelianas são categorias muito estáveis, por exemplo elas são regulares e satisfazem o "lema da cobra". A classe de categorias abelianas é fechada sob diversas construções categóricas,, por exemplo, a categoria de complexos de cadeias de uma categoria abeliana, ou a categoria de functores de uma pequena categoria a uma categoria abeliana são abelianos também. Estas propriedades de estabilidade fazem-nas inevitáveis em álgebra homológica e além; a teoria tem maiores implicações em geometria algébrica, cohomologia e teoria das categorias pura. (pt)
  • Kategoria abelowa - kategoria spełniająca następujące warunki 1. * Istnieje obiekt zerowy. 2. * Każdy morfizm posiada jądro i kojądro. 3. * Wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne. 4. * Dla każdej pary obiektów istnieje produkt i koprodukt. Często w definicji dodatkowo zakłada się, że jest kategorią lewostronnie lokalnie małą. Dla kategorii abelowych założenie to jest równoważne prawostronnej lokalnej małości. Koprodukt obiektów A i B kategorii abelowej nazywany jest zwykle sumą prostą tych obiektów i oznaczany symboem (czasem ). (pl)
  • 在數學中,阿貝爾範疇(或稱交換範疇)是一個能對態射與對象取和,而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇;最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。 (zh)
  • Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми. (ru)
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  • Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie, die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält. In geringerem Umfang gilt dies auch für additive Kategorien. (de)
  • En mathématiques, les catégories abéliennes forment une famille de catégories qui contient celle des groupes abéliens. Leur étude systématique a été instituée par Alexandre Grothendieck pour éclairer les liens qui existent entre différentes théories cohomologiques, comme la cohomologie des faisceaux ou la cohomologie des groupes. Toute catégorie abélienne est additive. (fr)
  • アーベル圏(アーベルけん、英語: Abelian category)とはアレクサンドル・グロタンディークによって考案された、ホモロジー代数が展開できるよういくつかの公理を満たす圏である。元来、層係数のコホモロジー理論(層コホモロジー)と定数係数のコホモロジー理論は、定義および構成方法がまったくといっていいほど異なるにもかかわらず、理論の構造は酷似していた。そのため両者を統一的な観点から記述するために考案された。しかしながら知られているすべてのコホモロジー理論がアーベル圏上で展開できるわけではない。 (ja)
  • Kategoria abelowa - kategoria spełniająca następujące warunki 1. * Istnieje obiekt zerowy. 2. * Każdy morfizm posiada jądro i kojądro. 3. * Wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne. 4. * Dla każdej pary obiektów istnieje produkt i koprodukt. Często w definicji dodatkowo zakłada się, że jest kategorią lewostronnie lokalnie małą. Dla kategorii abelowych założenie to jest równoważne prawostronnej lokalnej małości. Koprodukt obiektów A i B kategorii abelowej nazywany jest zwykle sumą prostą tych obiektów i oznaczany symboem (czasem ). (pl)
  • 在數學中,阿貝爾範疇(或稱交換範疇)是一個能對態射與對象取和,而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇;最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。 (zh)
  • Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми. (ru)
  • In mathematics, an abelian category is a category in which morphisms and objects can be added and in which kernels and cokernels exist and have desirable properties. The motivating prototype example of an abelian category is the category of abelian groups, Ab. The theory originated in an effort to unify several cohomology theories by Alexander Grothendieck and independently in the slightly earlier work of David Buchsbaum. Abelian categories are very stable categories, for example they are regular and they satisfy the snake lemma. The class of Abelian categories is closed under several categorical constructions, for example, the category of chain complexes of an Abelian category, or the category of functors from a small category to an Abelian category are Abelian as well. These stability pr (en)
  • En matemáticas una categoría abeliana es una categoría en la cual los morfismos tienen estructura de grupo abeliano, existen tanto núcleos y conúcleos y tienen propiedades deseables. El ejemplo usual de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos Ab. La teoría tiene su origen como un intento de unificar varias teorías de cohomologia por Alexander Grothendieck. Las categorías abelianas son categorías muy estables, por ejemplo son regulares y satisfacen el lema de la serpiente. La clase de categorías abelianas es cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo la categoría de complejos de cadenas de una categoría abeliana o la categoría de funtores de una categoría pequeña abeliana es una categoría abeliana, estas propiedades estables son inevitables en álgebra hom (es)
  • In de categorietheorie, een abstract deelgebied van de wiskunde, is een abelse categorie een categorie, waarin morfismen en objecten kunnen worden toegevoegd waarin kernen en cokernen bestaan en tevens gewenste eigenschappen hebben. Het motiverende prototypevoorbeeld van een abelse categorie is de categorie van abelse groepen, Ab. De theorie is ontstaan uit een voorzichtige poging door Alexander Grothendieck om verschillende cohomologietheorieën te verenigen. Abelse categorieën zijn zeer stabiele categorieën, bijvoorbeeld omdat ze regelmatig zijn en voldoen aan het slangenlemma. De klasse van abelse categorieën is gesloten onder verschillende categorische constructies, bijvoorbeeld, de categorie van ketencomplexen van een abelse categorie, of de categorie van functors van een kleine catego (nl)
  • Em matemática, uma categoria abeliana é uma categoria na qual morfismos e objetos podem ser adicionados e na qual núcleos e conúcleos existem e tem propriedades desejáveis. O exemplo de protótipo de uma categoria abeliana é a categoria de grupos abelianos, Ab. A teoria originou-se na tentativa de unificar diversas teorias de cohomologia por Alexander Grothendieck. Categorias abelianas são categorias muito estáveis, por exemplo elas são regulares e satisfazem o "lema da cobra". A classe de categorias abelianas é fechada sob diversas construções categóricas,, por exemplo, a categoria de complexos de cadeias de uma categoria abeliana, ou a categoria de functores de uma pequena categoria a uma categoria abeliana são abelianos também. Estas propriedades de estabilidade fazem-nas inevitáveis em (pt)
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  • Abelian category (en)
  • Abelsche Kategorie (de)
  • Categoría abeliana (es)
  • Catégorie abélienne (fr)
  • アーベル圏 (ja)
  • Abelse categorie (nl)
  • Kategoria abelowa (pl)
  • Categoria abeliana (pt)
  • Абелева категория (ru)
  • 阿貝爾範疇 (zh)
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