In mathematics, Abel's theorem for power series relates a limit of a power series to the sum of its coefficients. It is named after Norwegian mathematician Niels Henrik Abel.
| Property | Value |
|---|
| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, Abel's theorem for power series relates a limit of a power series to the sum of its coefficients. It is named after Norwegian mathematician Niels Henrik Abel.
- Der Abelsche Grenzwertsatz beschreibt unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Ränder des Konvergenzintervalls fortsetzen lässt. Sei <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe <math> \sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math> gleichmäßig auf dem Intervall <math>[0,1]</math> und die durch sie definierte Funktion <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math> ist stetig auf <math>[0,1]</math> mit <math>f(1)=\sum_{n=0}^\infty a_n </math>.
- Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières. {{Théorème|Soit <math>\textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n</math> une série entière de rayon de convergence égal à <math>R</math>. Si <math>\textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n</math> converge, alors : <math>\lim_{x\to R^-} f(x) = \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n</math>. {{démonstration|contenu= Quitte à effectuer un changement de variables linéaire <math>u=x/R</math>, on peut considérer uniquement le cas <math>R=1</math>. La démonstration repose sur la méthode classique de la transformation d'Abel, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales. Notons <math>S_n</math> les sommes partielles de la série <math>\textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n</math> (avec la convention <math>S_{-1}=0</math>) et <math>l</math> sa somme, alors : <math>\sum_{n=0}^{N}(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N}S_n(x^n-x^{n+1}) + S_Nx^{N+1} </math> Pour tout <math>x<1</math>, on a donc prouvé que <math>\textstyle f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n </math>. Prenons <math>N_0</math> tel que <math>|S_n-l|<\epsilon</math> pour tout <math>n\geqslant N_0</math>, alors pour <math>0<x<1</math>: <math>(1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l-\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n \leqslant f(x) \leqslant (1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l+\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n </math> Comme d'une part la suite <math>S_n</math> est bornée car convergente, et d'autre part <math>\textstyle\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n = \frac{x^{N_0+1{1-x}</math>, on obtient : <math>-M (1-x^{N_0+1}) + (l-\varepsilon)x^{N_0+1} \leqslant f(x) \leqslant M (1-x^{N_0+1}) + (l+\varepsilon)x^{N_0+1} </math> Les membres de gauche et de droite tendent respectivement vers <math>l-\epsilon</math> et <math>l+\epsilon</math> quand <math>x</math> tend vers 1. Remarque : dans le cas où la série <math>\sum_{n \geqslant 0} a_n R^n</math> est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème. En effet, sous cette condition, <math>\sum_{n \geqslant 0} a_n x^n</math> converge normalement donc uniformément sur [0, R]; on retrouve immédiatement : <math>\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{x \to R^-}(a_n x^n) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n</math> {{Exemple|num=(1)| Soit <math>\textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)</math>. Comme <math>\textstyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1{n}</math> converge, on en déduit que : <math>\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 = \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1{n}</math> {{Exemple|num=(2)| Soit <math>\textstyle g(x)= \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1{2n+1} = \arctan (x)</math>. Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que <math>\textstyle\sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math> converge, d'où : <math>\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>
- In matematica, il teorema di Abel o teorema della convergenza radiale di Abel mette in relazione il limite di una serie di potenze con la somma dei suoi coefficienti. Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.
- In de reële analyse is de stelling van Abel een stelling voor machtreeksen met niet-negatieve coëfficiënten, waarin de limiet van de machtreeks wordt gerelateerd aan de som van de coëfficiënten. De stelling is genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.
- I reell analyse i matematikk relaterer Abels teorem for potensserier, grensen for en potensserie til summen av dens koeffisienter. Abels teorem er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.
- Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – Niech <math>(a_n)_{n\in\N}\in\R^{\N}</math>. Jeżeli szereg <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n </math> jest zbieżny oraz <math>f: (-1,1)\rightarrow \R</math> jest dana wzorem <math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math> to wówczas <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n = \lim_{x\to 1^{-}}f(x) </math>
- 阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。
|
| dbpprop:author
| |
| dbpprop:hasPhotoCollection
| |
| dbpprop:id
| |
| dbpprop:relatedInstance
| |
| dbpprop:title
|
- Abel summability
- Abel summation method
|
| dbpprop:urlname
| |
| dbpprop:wikiPageUsesTemplate
| |
| rdfs:comment
|
- In mathematics, Abel's theorem for power series relates a limit of a power series to the sum of its coefficients. It is named after Norwegian mathematician Niels Henrik Abel.
- Der Abelsche Grenzwertsatz beschreibt unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Ränder des Konvergenzintervalls fortsetzen lässt. Sei <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> eine konvergente Reihe reeller Zahlen.
- Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières. {{Théorème|Soit <math>\textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n</math> une série entière de rayon de convergence égal à <math>R</math>. Si <math>\textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n</math> converge, alors : <math>\lim_{x\to R^-} f(x) = \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n</math>.
- In matematica, il teorema di Abel o teorema della convergenza radiale di Abel mette in relazione il limite di una serie di potenze con la somma dei suoi coefficienti. Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.
- In de reële analyse is de stelling van Abel een stelling voor machtreeksen met niet-negatieve coëfficiënten, waarin de limiet van de machtreeks wordt gerelateerd aan de som van de coëfficiënten. De stelling is genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.
- I reell analyse i matematikk relaterer Abels teorem for potensserier, grensen for en potensserie til summen av dens koeffisienter. Abels teorem er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.
- Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – Niech <math>(a_n)_{n\in\N}\in\R^{\N}</math>. Jeżeli szereg <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n </math> jest zbieżny oraz <math>f: (-1,1)\rightarrow \R</math> jest dana wzorem <math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math> to wówczas <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n = \lim_{x\to 1^{-}}f(x) </math>
- 阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。
|
| rdfs:label
|
- Abel's theorem
- Abelscher Grenzwertsatz
- Théorème d'Abel (analyse)
- Teorema di Abel
- Stelling van Abel
- Abels teorem
- Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych
- 阿贝尔定理
|
| owl:sameAs
| |
| skos:subject
| |
| foaf:page
| |
| is dbpedia-owl:Person/knownFor
of | |
| is dbpedia-owl:knownFor
of | |
| is dbpprop:knownFor
of | |
| is dbpprop:redirect
of | |
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
