Wigner's 6-j symbols were introduced by Eugene Paul Wigner in 1940, and published in 1965. They are related to Racah's W-coefficients by \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6). They have higher symmetry than Racah's W-coefficients.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • Wigner's 6-j symbols were introduced by Eugene Paul Wigner in 1940, and published in 1965. They are related to Racah's W-coefficients by \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6). They have higher symmetry than Racah's W-coefficients. Symmetry relations The <math>6-j symbol is invariant under the permutation of any two columns: \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_2 & j_1 & j_3\\ j_5 & j_4 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_3 & j_2\\ j_4 & j_6 & j_5 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_3 & j_2 & j_1\\ j_6 & j_5 & j_4 \end{Bmatrix}. The <math>6-j symbol is also invariant if upper and lower arguments are interchanged in any two columns: \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_5 & j_3\\ j_1 & j_2 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_5 & j_6\\ j_4 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_2 & j_6\\ j_1 & j_5 & j_3 \end{Bmatrix}. The <math>6-j symbol \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} is zero unless <math>j_1, <math>j_2, and <math>j_3 satisfy triangle conditions, i.e. , j_1 |j_2-j_3|, \ldots, j_2+j_3. In combination with the symmetry relation for interchanging upper and lower arguments this shows that triangle conditions must also be satisfied for <math>(j_1,j_5,j_6), <math>(j_4,j_2,j_6), and <math>(j_4,j_5,j_3). Special case When <math>j_60 the expression for the 6-j symbol is: \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & 0 \end{Bmatrix} \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3). The function <math>\Delta(j_1,j_2,j_3) is equal to 1 when <math>(j_1,j_2,j_3) satisfy the triangle conditions, and zero otherwise. The symmetry relations can be used to find the expression when another <math>j is equal to zero. Orthogonality relation The 6-j symbols satisfy this orthogonality relation: \sum_{j_3} (2j_3+1) \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6' \end{Bmatrix} \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6). See also Clebsch-Gordan coefficient 3-jm symbol Racah W-coefficient 9-j symbol References Boisvert, Ronald F. ; Clark, Charles W. ; Lozier, Daniel M. et al. , eds. (2008), "6-j symbol", Digital Library of Mathematical Functions, N.I.S.T. External links Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator (Gives exact answer) Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science
  • ウィグナーの6j記号は、1940年にユージン・ウィグナーによって定義され、1965年に発表された。ラカー係数と次のような関係にある。 \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6). ラカー係数よりも高い対称性を持っている。 対称性 6j記号は任意の二つの列の交換に対して不変である。 \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_2 & j_1 & j_3\\ j_5 & j_4 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_3 & j_2\\ j_4 & j_6 & j_5 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_3 & j_2 & j_1\\ j_6 & j_5 & j_4 \end{Bmatrix}. 任意の2つの列における上下の要素を入れ替えても不変である。 \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_5 & j_3\\ j_1 & j_2 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_5 & j_6\\ j_4 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_2 & j_6\\ j_1 & j_5 & j_3 \end{Bmatrix}. 6j記号 \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} は、<math>j_1、<math>j_2、<math>j_3に対して、以下の三角不等式を満たさない場合は0となる。 j_1 |j_2-j_3|, \ldots, j_2+j_3. 上下の要素の入れ替えに対する対称性とあわせて考えると、<math>(j_1,j_5,j_6)、<math>(j_4,j_2,j_6)、<math>(j_4,j_5,j_3)に対しても三角不等式が満たされなければならない。 特殊な場合 <math>j_60となる場合、6j記号は次のようになる。 \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & 0 \end{Bmatrix} \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3). <math>(j_1,j_2,j_3)が三角不等式を満たす場合、<math>\Delta(j_1,j_2,j_3)は1となり、それ以外は0となる。この対称性の関係は、どれかの<math>jが0となる場合の導出に用いられる。 直交性 6j記号は次の直交関係を満たす。 \sum_{j_3} (2j_3+1) \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6' \end{Bmatrix} \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6). 参考 クレプシュ＝ゴルダン係数 3j記号 ラカー係数 文献 外部リンク Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator (Gives exact answer) Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science
  • 6-j символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940, и опубликованы в 1965. Понятие 6-j символа возникает при квантовомеханическом сложении трёх моментов импульса, а именно, три угловых момента можно сложить тремя способами (типами связи), получив при этом одно и то же значение результирующего момента j и его проекции m: \begin{matrix} 1)& j_1 + j_2 j_{12}\quad j_{12} + j_3 j\\ 2)& j_2 + j_3 j_{23}\quad j_{1} + j_{23} j\\ 3)& j_1 + j_3 j_{13}\quad j_{13} + j_2 j \end{matrix} Переход от одной схемы связи к другой задаётся унитарным преобразованием, связывающим состояния с одинаковыми значениями полного момента j и его проекции m. Коэффициенты этого преобразования отличаются от 6-j символов только нормировочными и фазовыми множителями. Эти множители выбираются таким образом, чтобы 6-j символы обладали наиболее простыми свойствами симметрии. 6-j символы выражаются через W-коэффициенты Рака следующим образом \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6). и обладают большей симметрией, чем W-коэффициенты Рака. Свойства симметрии 6-j символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов: \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_2 & j_1 & j_3\\ j_5 & j_4 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_3 & j_2\\ j_4 & j_6 & j_5 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_3 & j_2 & j_1\\ j_6 & j_5 & j_4 \end{Bmatrix}. 6-j символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах: \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_5 & j_3\\ j_1 & j_2 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_5 & j_6\\ j_4 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_2 & j_6\\ j_1 & j_5 & j_3 \end{Bmatrix}. 6-j символ \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} не равен нулю только если j_1, j_2, и j_3 удовлетворяют условию треугольника, т. е. , j_1 |j_2-j_3|, \ldots, j_2+j_3. Вместе с свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также (j_1,j_5,j_6), (j_4,j_2,j_6), и (j_4,j_5,j_3). Частные случаи Если j_60 выражение для 6-j символа принимает вид: \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & 0 \end{Bmatrix} \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3). Функция \Delta(j_1,j_2,j_3) равна 1, если (j_1,j_2,j_3) удовлетворяют условию треугольника и равны нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда другой из j равен нулю. Соотношения ортогональности 6-j символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности: \sum_{j_3} (2j_3+1) \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6' \end{Bmatrix} \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6). Явные выражения 6-j символы могут быть выражены в явном виде различными способами: в виде конечных сумм через R-символ (формула Баргмана) через обобщённые гипергеометрические функции через 3-j символы в виде квазибиномов в виде интегралов от характеров представлений группы вращений В качестве примера приведём выражение для 6-j символов в виде конечных сумм: \begin{Bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{Bmatrix}(-1)^{a+c+d+f}\frac{\Delta(abc)\Delta(bdf)}{\Delta(aef)\Delta(cde)}\times \quad\times\sum_n(-1)^n\frac{(a-b+d+e-n)!(-b+c+e+f-n)!(a+c+d+f+1-n)!}{n!(a-b+c-n)!(-b+d+f-n)!(a+e+f+1-n)!(c+d+e+1-n)!} где суммирование ведётся по всем n при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения. Смотри также Коэффициенты Клебша-Гордана 3-j символ W-коэффициент Рака 9-j символ Литература Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963 Варшалович Д. А. , Москалёв А. Н. , Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. Ссылки Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (Даёт точный ответ) онлайн калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3-j и 6-j символов (численно) калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)
dbpprop:first
  • Leonard C.
dbpprop:id
  • 34 (xsd:integer)
dbpprop:last
  • Maximon
dbpprop:reference
dbpprop:title
  • 3j,6j,9j Symbols
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdfs:comment
  • Wigner's 6-j symbols were introduced by Eugene Paul Wigner in 1940, and published in 1965. They are related to Racah's W-coefficients by \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6). They have higher symmetry than Racah's W-coefficients.
  • ウィグナーの6j記号は、1940年にユージン・ウィグナーによって定義され、1965年に発表された。ラカー係数と次のような関係にある。 \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6).
  • 6-j символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940, и опубликованы в 1965.
rdfs:label
  • 6-j symbol
  • 6j記号
  • 6-j символ
skos:subject
foaf:page
is dbpedia-owl:Person/knownFor of
is dbpedia-owl:knownFor of
is dbpprop:knownFor of
is dbpprop:redirect of