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In mathematics, the well-ordering theorem states that every set can be well-ordered. A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering. This is also known as Zermelo's theorem and is equivalent to the Axiom of Choice. Ernst Zermelo introduced the Axiom of Choice as an "unobjectionable logical principle" to prove the well-ordering theorem. This is important because it makes every set susceptible to the powerful technique of transfinite induction. The well-ordering theorem has consequences that may seem paradoxical, such as the Banach–Tarski paradox.

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  • Well-ordering theorem
  • Wohlordnungssatz
  • Théorème de Zermelo
  • Teorema del buon ordinamento
  • Welordeningsstelling
  • Twierdzenie Zermelo
  • 良序定理
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  • In mathematics, the well-ordering theorem states that every set can be well-ordered. A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering. This is also known as Zermelo's theorem and is equivalent to the Axiom of Choice. Ernst Zermelo introduced the Axiom of Choice as an "unobjectionable logical principle" to prove the well-ordering theorem. This is important because it makes every set susceptible to the powerful technique of transfinite induction. The well-ordering theorem has consequences that may seem paradoxical, such as the Banach–Tarski paradox.
  • En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre, est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo, qui affirme : Théorème de Zermelo — Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément. Ce théorème est équivalent à l'axiome du choix (et donc au lemme de Zorn).
  • In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de welordeningsstelling of het welordeningsprincipe de uitspraak dat elke verzameling welgeordend kan zijn. Deze stelling staat ook bekend als de stelling van Zermelo en is gelijkwaardig aan het keuzeaxioma. Ernst Zermelo voerde het keuzeaxioma als een "niet bezwaarlijk logisch principe" in om de welordeningsstelling te bewijzen. Dit is belangrijk omdat welgeordendheid de krachtige techniek van transfiniete inductie toepasbaar maakt voor een verzameling. De welordeningsstelling heeft gevolgen die paradoxaal kunnen lijken; een voorbeeld daarvan is de Banach-Tarski-paradox.
  • Twierdzenie Zermelo – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że każdy zbiór daje się dobrze uporządkować. Spotyka się również inną nazwę tego twierdzenia, bardziej oddającą jego treść: twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; korzysta się z niego w dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna. Formalnie twierdzenie Zermelo mówi, że dla dowolnego zbioru istnieje taki porządek że jest on dobrym porządkiem.
  • 在數學中,良序定理(英语:Well-ordering theorem)表示「所有集合都可以被良序排序」。这是非常重要的,因为它使所有集合均适用於超限归纳法。
  • Der Wohlordnungssatz, manchmal auch Wohlordnungsprinzip genannt, ist eine Aussage der Mengenlehre und besagt: Jede Menge kann wohlgeordnet werden. Dieses Theorem erlaubt die Anwendung der transfiniten Induktion auf jeder Menge.Der Wohlordnungssatz ist äquivalent zum Auswahlaxiom.
  • Il teorema del buon ordinamento (da non confondersi con il principio del buon ordinamento) afferma che ogni insieme può essere bene ordinato. La sua importanza è dovuta al fatto che esso rende possibile trattare ogni insieme con la tecnica dell'induzione transfinita, tecnica logicamente assai efficace. Georg Cantor considerava che questo enunciato fosse un "fondamentale principio del pensiero." Molti matematici, tuttavia, trovano difficile visualizzare un buon ordinamento di insiemi come
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  • In mathematics, the well-ordering theorem states that every set can be well-ordered. A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering. This is also known as Zermelo's theorem and is equivalent to the Axiom of Choice. Ernst Zermelo introduced the Axiom of Choice as an "unobjectionable logical principle" to prove the well-ordering theorem. This is important because it makes every set susceptible to the powerful technique of transfinite induction. The well-ordering theorem has consequences that may seem paradoxical, such as the Banach–Tarski paradox.
  • Der Wohlordnungssatz, manchmal auch Wohlordnungsprinzip genannt, ist eine Aussage der Mengenlehre und besagt: Jede Menge kann wohlgeordnet werden. Dieses Theorem erlaubt die Anwendung der transfiniten Induktion auf jeder Menge.Der Wohlordnungssatz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, hielt den Wohlordnungssatz für ein „grundlegendes Denkgesetz“. Vielen Mathematikern schien aber schwer vorstellbar, dass etwa auf der Menge der reellen Zahlen eine Wohlordnung existieren solle. So glaubte denn auch 1904 Julius König, dies widerlegt zu haben; Felix Hausdorff fand jedoch wenig später einen Fehler im Widerlegversuch. Ernst Zermelo führte das Auswahlaxiom als „unbedenkliches logisches Prinzip“ ein, um den Wohlordnungssatz zu beweisen; dieses stellte sich jedoch schnell als äquivalent zum Wohlordnungssatz heraus. Das Auswahlaxiom und somit der Wohlordnungssatz sind unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, d. h. sowohl der Satz als auch sein Gegenteil lassen sich widerspruchsfrei voraussetzen, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome voraussetzt. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre allein (inklusive des Auswahlaxioms) die explizite Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht zulassen.
  • En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre, est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo, qui affirme : Théorème de Zermelo — Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément. Ce théorème est équivalent à l'axiome du choix (et donc au lemme de Zorn).
  • Il teorema del buon ordinamento (da non confondersi con il principio del buon ordinamento) afferma che ogni insieme può essere bene ordinato. La sua importanza è dovuta al fatto che esso rende possibile trattare ogni insieme con la tecnica dell'induzione transfinita, tecnica logicamente assai efficace. Georg Cantor considerava che questo enunciato fosse un "fondamentale principio del pensiero." Molti matematici, tuttavia, trovano difficile visualizzare un buon ordinamento di insiemi come , insieme dei numeri reali. Nel 1904 Julius König annunciò di avere dimostrato che tale buon ordinamento non può esistere, ma successivamente Felix Hausdorff ha trovato un errore nella sua dimostrazione. Ernst Zermelo in seguito per dimostrare il teorema del buon ordinamento introdusse l'assioma della scelta ritenendolo un "principio logico non sottoponibile ad obiezioni" (per questo motivo ci si riferisce a questo teorema come Teorema di Zermelo). Oggi sappiamo che si può dire di più: il teorema del buon ordinamento è equivalente all'assioma della scelta: aggiungendo uno dei due enunciati agli assiomi di Zermelo-Fraenkel si può dimostrare l'altro. Il teorema del buon ordinamento ha conseguenze che possono apparire paradossali, come ad esempio il cosiddetto paradosso di Banach-Tarski.
  • In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de welordeningsstelling of het welordeningsprincipe de uitspraak dat elke verzameling welgeordend kan zijn. Deze stelling staat ook bekend als de stelling van Zermelo en is gelijkwaardig aan het keuzeaxioma. Ernst Zermelo voerde het keuzeaxioma als een "niet bezwaarlijk logisch principe" in om de welordeningsstelling te bewijzen. Dit is belangrijk omdat welgeordendheid de krachtige techniek van transfiniete inductie toepasbaar maakt voor een verzameling. De welordeningsstelling heeft gevolgen die paradoxaal kunnen lijken; een voorbeeld daarvan is de Banach-Tarski-paradox.
  • Twierdzenie Zermelo – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że każdy zbiór daje się dobrze uporządkować. Spotyka się również inną nazwę tego twierdzenia, bardziej oddającą jego treść: twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; korzysta się z niego w dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna. Formalnie twierdzenie Zermelo mówi, że dla dowolnego zbioru istnieje taki porządek że jest on dobrym porządkiem.
  • 在數學中,良序定理(英语:Well-ordering theorem)表示「所有集合都可以被良序排序」。这是非常重要的,因为它使所有集合均适用於超限归纳法。
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