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In geometry, a Steiner chain is a set of n circles, all of which are tangent to two given non-intersecting circles (blue and red in Figure 1), where n is finite and each circle in the chain is tangent to the previous and next circles in the chain. In the usual closed Steiner chains, the first and last (nth) circles are also tangent to each other; by contrast, in open Steiner chains, they need not be. The given circles α and β do not intersect, but otherwise are unconstrained; the smaller circle may lie completely inside or outside of the larger circle. In these cases, the centers of Steiner-chain circles lie on an ellipse or a hyperbola, respectively.

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  • Steiner-Kette
  • Cadena de Steiner
  • Catena di Steiner
  • Chaîne de Steiner
  • Поризм Штейнера
  • Corrente de Steiner
  • Steiner chain
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  • En geometría, una cadena de Steiner es un conjunto de n círculos para lo que: 1. * n es finito 2. * los círculos son tangentes a otros dos círculos que no tocan 3. * cada círculo de la cadena es tangente al círculo anterior y al siguiente y 4. * el primer círculo y el último son tangentes. Según la porisma de Steiner, para dos círculos α y β que no tocan, si existe una cadena de Steiner, entonces es posible crear una cadena de Steiner comenzando con cualquier círculo tangente a α y β. Si δ es la distancia inversiva entre α y β y entonces existe una cadena de Steiner.
  • Eine Steiner-Kette (auch Steinersche Kreiskette) ist in der Geometrie eine zusammenhängende Folge endlich vieler, einander berührender Kreise, deren jeder außerdem zwei vorgegebene, sich nicht schneidende Kreise – im Folgenden „Ausgangskreise“ genannt – berührt. Die Steiner-Kette ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, der sie im 19. Jahrhundert definierte und viele ihrer Eigenschaften entdeckte und beschrieb.
  • Поризм Штейнера:Рассмотрим цепочку окружностей , каждая из которых касается двух соседних (касается и ) и двух данных непересекающихся окружностей и .Тогда для любой окружности , касающейся и (одинаковым образом, если и не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом — в противном случае), существует аналогичная цепочка из касающихся окружностей . Доказывается применением инверсии, которая переводит пару окружностей и в концентрические.
  • Em geometria, uma corrente de Steiner é um conjunto de n círculos, cada um deles tangente a dois círculos dados que não se intersectam (o azul e o vermelho na figura à direita), onde n é finito e cada círculo na corrente é tangente aos círculos anterior e seguinte da corrente. Nas correntes de Steiner "fechadas" habituais, o primeiro e o último (n-ésimo) círculo também são tangentes um ao outro; em contraste, em correntes de Steiner "abertas", eles não precisam ser. O nome corrente de Steiner refere-se a Jakob Steiner, que definiu-as no século 19 e descobriu muitas de suas propriedades.
  • Una catena di Steiner, in geometria, è una serie di cerchi tangenti a due circonferenze date e non intersecanti. Ogni cerchio che compone la catena è inoltre tangente al cerchio precedente e a quello successivo nella catena. Una catena di Steiner viene definita chiusa quando il primo e l'ultimo cerchio sono tangenti tra loro. Le due circonferenze necessarie alla costruzione della catena non devono intersecarsi, ma è questa l'unica prescrizione: il cerchio più piccolo può essere completamente interno oppure esterno al cerchio grande. In questi casi i centri dei cerchi che formano la catena giacciono su una ellisse e su una iperbole, rispettivamente.
  • In geometry, a Steiner chain is a set of n circles, all of which are tangent to two given non-intersecting circles (blue and red in Figure 1), where n is finite and each circle in the chain is tangent to the previous and next circles in the chain. In the usual closed Steiner chains, the first and last (nth) circles are also tangent to each other; by contrast, in open Steiner chains, they need not be. The given circles α and β do not intersect, but otherwise are unconstrained; the smaller circle may lie completely inside or outside of the larger circle. In these cases, the centers of Steiner-chain circles lie on an ellipse or a hyperbola, respectively.
  • En géométrie, une chaîne de Steiner est une suite d'un nombre fini de cercles, chacun tangent au précédent, et qui sont de plus tous tangents à deux cercles fixes - les « cercles de départ » - qui eux ne se coupent ni ne se touchent. Les chaînes de Steiner sont nommées ainsi d'après le mathématicien suisse Jakob Steiner (1796 - 1863). Un résultat fondamental est le porisme de Steiner qui dit : S'il existe une chaîne de Steiner fermée pour une paire de cercles de départ, alors il en existe une infinité.
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  • En geometría, una cadena de Steiner es un conjunto de n círculos para lo que: 1. * n es finito 2. * los círculos son tangentes a otros dos círculos que no tocan 3. * cada círculo de la cadena es tangente al círculo anterior y al siguiente y 4. * el primer círculo y el último son tangentes. Según la porisma de Steiner, para dos círculos α y β que no tocan, si existe una cadena de Steiner, entonces es posible crear una cadena de Steiner comenzando con cualquier círculo tangente a α y β. Si δ es la distancia inversiva entre α y β y entonces existe una cadena de Steiner.
  • Eine Steiner-Kette (auch Steinersche Kreiskette) ist in der Geometrie eine zusammenhängende Folge endlich vieler, einander berührender Kreise, deren jeder außerdem zwei vorgegebene, sich nicht schneidende Kreise – im Folgenden „Ausgangskreise“ genannt – berührt. Die Steiner-Kette ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, der sie im 19. Jahrhundert definierte und viele ihrer Eigenschaften entdeckte und beschrieb.
  • En géométrie, une chaîne de Steiner est une suite d'un nombre fini de cercles, chacun tangent au précédent, et qui sont de plus tous tangents à deux cercles fixes - les « cercles de départ » - qui eux ne se coupent ni ne se touchent. Les chaînes de Steiner sont nommées ainsi d'après le mathématicien suisse Jakob Steiner (1796 - 1863). Un résultat fondamental est le porisme de Steiner qui dit : S'il existe une chaîne de Steiner fermée pour une paire de cercles de départ, alors il en existe une infinité. Pour la construction de chaînes de Steiner, l'inversion est un outil puissant qui transforme une chaîne de Steiner en une autre chaîne de Steiner, en particulier en une chaîne de Steineer dont les cercles de départ sont concentriques. Des généralisations des chaînes de Steiner sont le hexlet de Soddy (en) et les chaînes de Pappus (en).
  • Una catena di Steiner, in geometria, è una serie di cerchi tangenti a due circonferenze date e non intersecanti. Ogni cerchio che compone la catena è inoltre tangente al cerchio precedente e a quello successivo nella catena. Una catena di Steiner viene definita chiusa quando il primo e l'ultimo cerchio sono tangenti tra loro. Le due circonferenze necessarie alla costruzione della catena non devono intersecarsi, ma è questa l'unica prescrizione: il cerchio più piccolo può essere completamente interno oppure esterno al cerchio grande. In questi casi i centri dei cerchi che formano la catena giacciono su una ellisse e su una iperbole, rispettivamente. Le catene di Steiner prendono il nome dal matematico svizzero Jakob Steiner, che le definì nel diciannovesimo secolo e scoprì molte loro proprietà. A lui si attribuisce anche la formulazione del porisma di Steiner. esso afferma che, se esiste almeno una catena chiusa di n cerchi per una coppia di circonferenze α e β, allora ne esistono infinite altre con lo stesso numero di cerchi.
  • Поризм Штейнера:Рассмотрим цепочку окружностей , каждая из которых касается двух соседних (касается и ) и двух данных непересекающихся окружностей и .Тогда для любой окружности , касающейся и (одинаковым образом, если и не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом — в противном случае), существует аналогичная цепочка из касающихся окружностей . Доказывается применением инверсии, которая переводит пару окружностей и в концентрические.
  • Em geometria, uma corrente de Steiner é um conjunto de n círculos, cada um deles tangente a dois círculos dados que não se intersectam (o azul e o vermelho na figura à direita), onde n é finito e cada círculo na corrente é tangente aos círculos anterior e seguinte da corrente. Nas correntes de Steiner "fechadas" habituais, o primeiro e o último (n-ésimo) círculo também são tangentes um ao outro; em contraste, em correntes de Steiner "abertas", eles não precisam ser. O nome corrente de Steiner refere-se a Jakob Steiner, que definiu-as no século 19 e descobriu muitas de suas propriedades.
  • In geometry, a Steiner chain is a set of n circles, all of which are tangent to two given non-intersecting circles (blue and red in Figure 1), where n is finite and each circle in the chain is tangent to the previous and next circles in the chain. In the usual closed Steiner chains, the first and last (nth) circles are also tangent to each other; by contrast, in open Steiner chains, they need not be. The given circles α and β do not intersect, but otherwise are unconstrained; the smaller circle may lie completely inside or outside of the larger circle. In these cases, the centers of Steiner-chain circles lie on an ellipse or a hyperbola, respectively. Steiner chains are named after Jakob Steiner, who defined them in the 19th century and discovered many of their properties. A fundamental result is Steiner's porism, which states: If at least one closed Steiner chain of n circles exists for two given circles α and β, then there is an infinite number of closed Steiner chains of n circles; and any circle tangent to α and β in the same way is a member of such a chain. "Tangent in the same way" means that the arbitrary circle is internally or externally tangent in the same way as a circle of the original Steiner chain. A porism is a type of theorem relating to the number of solutions and the conditions on it. Porisms often describe a geometrical figure that cannot exist unless a condition is met, but otherwise may exist in infinite number; another example is Poncelet's porism. The method of circle inversion is helpful in treating Steiner chains. Since it preserves tangencies, angles and circles, inversion transforms one Steiner chain into another of the same number of circles. One particular choice of inversion transforms the given circles α and β into concentric circles; in this case, all the circles of the Steiner chain have the same size and can "roll" around in the annulus between the circles similar to ball bearings. This standard configuration allows several properties of Steiner chains to be derived, e.g., its points of tangencies always lie on a circle. Several generalizations of Steiner chains exist, most notably Soddy's hexlet and Pappus chains.
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  • Steiner Chain
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  • SteinerChain
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