In complex analysis, Runge's theorem (also known as Runge's approximation theorem) is named after the German mathematician Carl Runge who first proved it in the year 1885. It states the following: Denoting by C the set of complex numbers, let K be a compact subset of C and let f be a function which is holomorphic on an open set containing K. If A is a set containing at least one complex number from every bounded connected component of C\K then there exists a sequence of rational functions which converges uniformly to f on K and such that all the poles of the functions are in A.
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| - Runge-Theorie (de)
- Théorème de Runge (fr)
- ルンゲの定理 (ja)
- 룽게의 정리 (ko)
- Twierdzenie Rungego (pl)
- Runge's theorem (en)
- Теорема Рунге (ru)
- Теорема Рунге (uk)
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| rdfs:comment
| - In der Funktionentheorie beschäftigt sich die Runge-Theorie mit der Frage, wann auf einem Teilgebiet holomorphe Funktionen durch auf einem größeren Gebiet holomorphe Funktionen approximiert werden können. Sie wurde wesentlich von Carl Runge entwickelt, der 1885 seinen Approximationssatz veröffentlichte. (de)
- En mathématiques, le théorème d'approximation de Runge est un résultat clé dans le domaine de l'analyse complexe, dû au mathématicien allemand Carl Runge. Il permet d'approximer une fonction holomorphe par des fonctions rationnelles, uniformément sur un compact. Il joue dans ce domaine un rôle un peu analogue à celui joué par le théorème de Stone-Weierstrass en analyse réelle. (fr)
- 복소해석학에서 룽게의 정리(영어: Runge's theorem) 또는 룽게의 근사 정리(Runge's approximation theorem는 1885년에 정리를 증명한 독일의 수학자 카를 다비트 톨메 룽게(독일어: Carl David Tolmé Runge)의 이름을 따서 명명된 정리이다. (ko)
- Twierdzenie Rungego – twierdzenie mówiące, że jeżeli K jest zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, którego dopełnienie jest spójne, to każda funkcja analityczna określona na pewnym otoczeniu zbioru K jest granicą jednostajną ciągu wielomianów na K. (pl)
- Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году. (ru)
- Теорема Рунге (також апроксимаційна теорема Рунге) в комплексному аналізі — твердження про можливість рівномірного наближення голоморфної функції раціональними функціями або многочленами. Доведена німецьким математиком Карлом Рунге у 1885 році. (uk)
- In complex analysis, Runge's theorem (also known as Runge's approximation theorem) is named after the German mathematician Carl Runge who first proved it in the year 1885. It states the following: Denoting by C the set of complex numbers, let K be a compact subset of C and let f be a function which is holomorphic on an open set containing K. If A is a set containing at least one complex number from every bounded connected component of C\K then there exists a sequence of rational functions which converges uniformly to f on K and such that all the poles of the functions are in A. (en)
- 複素解析では、ルンゲの定理（英: Runge's theorem）（ルンゲの近似定理（英: Runge's approximation theorem）としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲの名前に因む。この定理は以下の内容である。 C を複素数の集合、K を C のコンパクト部分集合、f を K を含む開集合上で正則な函数とする。 中のすべての有界連結な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ一様収束する有理函数列 が存在し、函数 のすべての極は A の元である。 A のすべての複素数が有理函数列 の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。 この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、 の有界連結な成分の中から任意の複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。 が連結集合（K が単連結であることと同値）である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。 (ja)
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| - In der Funktionentheorie beschäftigt sich die Runge-Theorie mit der Frage, wann auf einem Teilgebiet holomorphe Funktionen durch auf einem größeren Gebiet holomorphe Funktionen approximiert werden können. Sie wurde wesentlich von Carl Runge entwickelt, der 1885 seinen Approximationssatz veröffentlichte. (de)
- En mathématiques, le théorème d'approximation de Runge est un résultat clé dans le domaine de l'analyse complexe, dû au mathématicien allemand Carl Runge. Il permet d'approximer une fonction holomorphe par des fonctions rationnelles, uniformément sur un compact. Il joue dans ce domaine un rôle un peu analogue à celui joué par le théorème de Stone-Weierstrass en analyse réelle. (fr)
- In complex analysis, Runge's theorem (also known as Runge's approximation theorem) is named after the German mathematician Carl Runge who first proved it in the year 1885. It states the following: Denoting by C the set of complex numbers, let K be a compact subset of C and let f be a function which is holomorphic on an open set containing K. If A is a set containing at least one complex number from every bounded connected component of C\K then there exists a sequence of rational functions which converges uniformly to f on K and such that all the poles of the functions are in A. Note that not every complex number in A needs to be a pole of every rational function of the sequence . We merely know that for all members of that do have poles, those poles lie in A. One aspect that makes this theorem so powerful is that one can choose the set A arbitrarily. In other words, one can choose any complex numbers from the bounded connected components of C\K and the theorem guarantees the existence of a sequence of rational functions with poles only amongst those chosen numbers. For the special case in which C\K is a connected set (in particular when K is simply-connected), the set A in the theorem will clearly be empty. Since rational functions with no poles are simply polynomials, we get the following corollary: If K is a compact subset of C such that C\K is a connected set, and f is a holomorphic function on an open set containing K, then there exists a sequence of polynomials that approaches f uniformly on K (the assumptions can be relaxed, see Mergelyan's theorem). Runge's theorem generalises as follows: one can take A to be a subset of the Riemann sphere C∪{∞} and require that A intersect also the unbounded connected component of K (which now contains ∞). That is, in the formulation given above, the rational functions may turn out to have a pole at infinity, while in the more general formulation the pole can be chosen instead anywhere in the unbounded connected component of C\K. (en)
- 複素解析では、ルンゲの定理（英: Runge's theorem）（ルンゲの近似定理（英: Runge's approximation theorem）としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲの名前に因む。この定理は以下の内容である。 C を複素数の集合、K を C のコンパクト部分集合、f を K を含む開集合上で正則な函数とする。 中のすべての有界連結な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ一様収束する有理函数列 が存在し、函数 のすべての極は A の元である。 A のすべての複素数が有理函数列 の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。 この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、 の有界連結な成分の中から任意の複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。 が連結集合（K が単連結であることと同値）である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。 が連結集合であるような C のコンパクト部分集合を K として、f が K 上の正則函数であれば、K 上で f に一様収束する多項式の列 が存在する。 ルンゲの定理は次のように一般化される。A をリーマン球面 C∪{∞} の部分集合とし、A が K の非有界な連結成分（∞ を含む）と交わるとすると、上の定式化において、有理函数は無限遠点に極を持つことが分かる。一方、さらに一般的な定式化の中では、極は K の非有界な連結成分のどこにでも選ぶことができる。 (ja)
- 복소해석학에서 룽게의 정리(영어: Runge's theorem) 또는 룽게의 근사 정리(Runge's approximation theorem는 1885년에 정리를 증명한 독일의 수학자 카를 다비트 톨메 룽게(독일어: Carl David Tolmé Runge)의 이름을 따서 명명된 정리이다. (ko)
- Twierdzenie Rungego – twierdzenie mówiące, że jeżeli K jest zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, którego dopełnienie jest spójne, to każda funkcja analityczna określona na pewnym otoczeniu zbioru K jest granicą jednostajną ciągu wielomianów na K. (pl)
- Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году. (ru)
- Теорема Рунге (також апроксимаційна теорема Рунге) в комплексному аналізі — твердження про можливість рівномірного наближення голоморфної функції раціональними функціями або многочленами. Доведена німецьким математиком Карлом Рунге у 1885 році. (uk)
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