In mathematics, the Rayleigh quotient (/ˈreɪ.li/) for a given complex Hermitian matrix M and nonzero vector x is defined as: For real matrices and vectors, the condition of being Hermitian reduces to that of being symmetric, and the conjugate transpose to the usual transpose . Note that for any non-zero scalar c. Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is diagonalizable with only real eigenvalues. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value (the smallest eigenvalue of M) when x is (the corresponding eigenvector). Similarly, and .
| Attributes | Values |
|---|
| rdfs:label
| - خارج قسمة رايلي (ar)
- Rayleigh-Quotient (de)
- Quotient de Rayleigh (fr)
- Quoziente di Rayleigh (it)
- レイリー商 (ja)
- Quotiënt van Rayleigh (nl)
- Rayleigh quotient (en)
- Quociente de Rayleigh (pt)
- Отношение Рэлея (ru)
- Відношення Релея (uk)
|
| rdfs:comment
| - لتكن مصفوفة هرميتية و متّجهة غير منعدمة, خارج قسمة رايلي أو حاصل رايلي هوالكمية القياسية المعرّفة كالتالي حيث هو مرافق منقولة . (ar)
- Der Rayleigh-Quotient, auch Rayleigh-Koeffizient genannt, ist ein Objekt aus der linearen Algebra, das nach dem Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur numerischen Berechnung von Eigenwerten einer quadratischen Matrix verwendet. (de)
- Het quotiënt van Rayleigh is een scalaire functie van een vectoriële veranderlijke die kan gebruikt worden om uit geschatte eigenvectoren de eigenfrequenties te schatten van een conservatief natuurlijk systeem . Het quotiënt van Rayleigh is gedefinieerd door . Het Rayleighquotiënt is opgesteld door de Engelse natuurkundige John Rayleigh. (nl)
- In mathematics, the Rayleigh quotient (/ˈreɪ.li/) for a given complex Hermitian matrix M and nonzero vector x is defined as: For real matrices and vectors, the condition of being Hermitian reduces to that of being symmetric, and the conjugate transpose to the usual transpose . Note that for any non-zero scalar c. Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is diagonalizable with only real eigenvalues. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value (the smallest eigenvalue of M) when x is (the corresponding eigenvector). Similarly, and . (en)
- En mathématiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par où x* désigne le vecteur adjoint de x. Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur x* est simplement son transposé xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur réelle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes : Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique. (fr)
- 数学における、与えられた複素エルミート行列 M と零でないベクトル x に対するレイリー商（れいりーしょう、英: Rayleigh quotient）またはレイリー・リッツ比（レイリー・リッツひ、英: Rayleigh–Ritz ratio）は次のように定義される： 名称は物理学者のレイリー卿とヴァルター・リッツに因む。 実行列および実ベクトルについて、エルミート行列である条件は対称行列である条件に、共役転置 x* は単なる転置 xT に一致し、また任意の零でない実スカラー c に対してレイリー商は R(M, cx) = R(M, x) を満たす。エルミート（または実対称）行列の性質より、その固有値は実数であるから、レイリー商 R(M, x) の最小値は行列 M の最小の固有値 λmin に等しく、このときベクトル x は最小固有値に対応する固有ベクトル vmin に等しい。同様にレイリー商の最大値は行列 M の最大固有値 λmax に等しく、このときベクトル x は最大固有値に対応する固有ベクトル vmax に等しい。 レイリー商はにおいて行列のすべての固有値の厳密な値を求めることに利用される。また固有値計算アルゴリズムにおいて近似的な固有ベクトルから固有値の近似値を求めることにも利用される。具体的には、に基づく。 (ja)
- In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra lineare e dell'analisi funzionale, per una data matrice hermitiana e un vettore non nullo , il quoziente di Rayleigh è il numero reale: dove indica il vettore trasposto coniugato di . Anche se definito tramite quantità complesse, il quoziente di Rayleigh è sempre reale, essendo una forma hermitiana ed essendo , dove indica la norma euclidea. Come verifica, è sufficiente porre e osservare che, essendo , si ha: ma ciò implica che . L'immagine del quoziente di Rayleigh è lo spettro di , e il numero è il raggio spettrale. (it)
- Em matemática, para uma dada matriz complexa Hermitiana e um vetor não-nulo , o quociente de Rayleigh é definido como: Para matrizes reais, a condição de ser Hermitiana se reduz a ser simétrica, e para vetores reais o conjugado e transposto é simplesmente o vetor transposto . Note que para qualquer que seja o escalar . Lembre-se que uma matriz Hermitiana (ou real e simétrica)tem autovalores reais. Pode ser mostrado que o quociente de Rayleigh atinge seu valor mínimo (o menor autovalor de ) quando é (o autovetor correspondente). Analogamente, e . O quociente de Rayleigh é usado no teorema Min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Ele também pode ser usado em algoritmos para busca da aproximação de autovalores. Especificamente, ele é a base para a iteração do quocien (pt)
- В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы и ненулевого вектора отношение Рэлея определяется следующим образом: Для действительных матриц условие эрмитовости матрицы сводится к её симметричности, а эрмитово сопряжение векторов превращается в обычное транспонирование . Заметьте, что для любой вещественной константы . Напомним, что эрмитова (как и симметричная вещественная) матрица имеет вещественные собственные значения. Можно показать, что для матрицы отношение Рэлея достигает минимального значения (наименьшее собственное число матрицы ) когда равен (соответствующий собственный вектор). Подобным образом можно показать, что и . Отношение Рэлея используется в теореме Куранта-Фишера о минимаксе для получения всех значений собственных чисел. Используется оно и в алгоритмах (ru)
- У математиці для даної комплексної ермітової матриці і ненульового вектора відношення Релея визначають так: Для дійсних матриць умова ермітовості матриці зводиться до її симетричності, а ермітове спряження векторів перетворюється на звичайне транспонування . Зауважте, що для будь-якої дійсної константи . Нагадаємо, що ермітова (як і симетрична дійсна) матриця має дійсні власні значення. Можна показати, що для матриці відношення Релея досягає мінімального значення (найменше власне число матриці ) коли дорівнює (відповідний власний вектор). Так само можна показати, що і . Відношення Релея використано в теоремі Куранта — Фішера про мінімакс для отримання всіх значень власних чисел. Використовується воно і в алгоритмах знаходження власних значень матриці для отримання наближення власн (uk)
|
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| Link from a Wikipage to an external page
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| has abstract
| - لتكن مصفوفة هرميتية و متّجهة غير منعدمة, خارج قسمة رايلي أو حاصل رايلي هوالكمية القياسية المعرّفة كالتالي حيث هو مرافق منقولة . (ar)
- Der Rayleigh-Quotient, auch Rayleigh-Koeffizient genannt, ist ein Objekt aus der linearen Algebra, das nach dem Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur numerischen Berechnung von Eigenwerten einer quadratischen Matrix verwendet. (de)
- En mathématiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par où x* désigne le vecteur adjoint de x. Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur x* est simplement son transposé xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur réelle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes :
* il atteint un point critique (extremum ou point-selle) au voisinage des vecteurs propres de la matrice ;
* appliqué à un vecteur propre, le quotient de Rayleigh fournit la valeur propre correspondante. Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique. Le quotient de Rayleigh, dont la propriété d'extremum peut être reliée au principe du minimum de l'énergie potentielle en mécanique, a été étudié pour la première fois par Rayleigh (1877).Walter Ritz reprit l'idée en 1909 pour en faire la base d’une méthode d’approximation variationnelle. (fr)
- In mathematics, the Rayleigh quotient (/ˈreɪ.li/) for a given complex Hermitian matrix M and nonzero vector x is defined as: For real matrices and vectors, the condition of being Hermitian reduces to that of being symmetric, and the conjugate transpose to the usual transpose . Note that for any non-zero scalar c. Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is diagonalizable with only real eigenvalues. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value (the smallest eigenvalue of M) when x is (the corresponding eigenvector). Similarly, and . The Rayleigh quotient is used in the min-max theorem to get exact values of all eigenvalues. It is also used in eigenvalue algorithms (such as Rayleigh quotient iteration) to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. The range of the Rayleigh quotient (for any matrix, not necessarily Hermitian) is called a numerical range and contains its spectrum. When the matrix is Hermitian, the numerical radius is equal to the spectral norm. Still in functional analysis, is known as the spectral radius. In the context of C*-algebras or algebraic quantum mechanics, the function that to M associates the Rayleigh–Ritz quotient R(M,x) for a fixed x and M varying through the algebra would be referred to as "vector state" of the algebra. In quantum mechanics, the Rayleigh quotient gives the expectation value of the observable corresponding to the operator M for a system whose state is given by x. If we fix the complex matrix M, then the resulting Rayleigh quotient map (considered as a function of x) completely determines M via the polarization identity; indeed, this remains true even if we allow M to be non-Hermitian. (However, if we restrict the field of scalars to the real numbers, then the Rayleigh quotient only determines the symmetric part of M.) (en)
- In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra lineare e dell'analisi funzionale, per una data matrice hermitiana e un vettore non nullo , il quoziente di Rayleigh è il numero reale: dove indica il vettore trasposto coniugato di . Anche se definito tramite quantità complesse, il quoziente di Rayleigh è sempre reale, essendo una forma hermitiana ed essendo , dove indica la norma euclidea. Come verifica, è sufficiente porre e osservare che, essendo , si ha: ma ciò implica che . Si può dimostrare che il quoziente di Rayleigh assume il valore minimo , che è il più piccolo autovalore di , quando è il corrispondente autovettore . Analogamente, si ha e . L'immagine del quoziente di Rayleigh è lo spettro di , e il numero è il raggio spettrale. (it)
- 数学における、与えられた複素エルミート行列 M と零でないベクトル x に対するレイリー商（れいりーしょう、英: Rayleigh quotient）またはレイリー・リッツ比（レイリー・リッツひ、英: Rayleigh–Ritz ratio）は次のように定義される： 名称は物理学者のレイリー卿とヴァルター・リッツに因む。 実行列および実ベクトルについて、エルミート行列である条件は対称行列である条件に、共役転置 x* は単なる転置 xT に一致し、また任意の零でない実スカラー c に対してレイリー商は R(M, cx) = R(M, x) を満たす。エルミート（または実対称）行列の性質より、その固有値は実数であるから、レイリー商 R(M, x) の最小値は行列 M の最小の固有値 λmin に等しく、このときベクトル x は最小固有値に対応する固有ベクトル vmin に等しい。同様にレイリー商の最大値は行列 M の最大固有値 λmax に等しく、このときベクトル x は最大固有値に対応する固有ベクトル vmax に等しい。 レイリー商はにおいて行列のすべての固有値の厳密な値を求めることに利用される。また固有値計算アルゴリズムにおいて近似的な固有ベクトルから固有値の近似値を求めることにも利用される。具体的には、に基づく。 エルミート行列に限らない一般のレイリー商の値域はと呼ばれる（あるいは関数解析学においてはスペクトルという）。エルミート行列のレイリー商について、その数域はスペクトルノルムに等しい。関数解析学においては、λmax はスペクトル半径として知られる。C*代数や代数的量子力学の文脈では、固定された x と代数上で動く M に対するレイリー商 R(M, x) を、M の代数上のベクトル状態 (vector state) と見なすことがある。 (ja)
- Het quotiënt van Rayleigh is een scalaire functie van een vectoriële veranderlijke die kan gebruikt worden om uit geschatte eigenvectoren de eigenfrequenties te schatten van een conservatief natuurlijk systeem . Het quotiënt van Rayleigh is gedefinieerd door . Het Rayleighquotiënt is opgesteld door de Engelse natuurkundige John Rayleigh. (nl)
- Em matemática, para uma dada matriz complexa Hermitiana e um vetor não-nulo , o quociente de Rayleigh é definido como: Para matrizes reais, a condição de ser Hermitiana se reduz a ser simétrica, e para vetores reais o conjugado e transposto é simplesmente o vetor transposto . Note que para qualquer que seja o escalar . Lembre-se que uma matriz Hermitiana (ou real e simétrica)tem autovalores reais. Pode ser mostrado que o quociente de Rayleigh atinge seu valor mínimo (o menor autovalor de ) quando é (o autovetor correspondente). Analogamente, e . O quociente de Rayleigh é usado no teorema Min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Ele também pode ser usado em algoritmos para busca da aproximação de autovalores. Especificamente, ele é a base para a iteração do quociente de Rayleigh. (pt)
- В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы и ненулевого вектора отношение Рэлея определяется следующим образом: Для действительных матриц условие эрмитовости матрицы сводится к её симметричности, а эрмитово сопряжение векторов превращается в обычное транспонирование . Заметьте, что для любой вещественной константы . Напомним, что эрмитова (как и симметричная вещественная) матрица имеет вещественные собственные значения. Можно показать, что для матрицы отношение Рэлея достигает минимального значения (наименьшее собственное число матрицы ) когда равен (соответствующий собственный вектор). Подобным образом можно показать, что и . Отношение Рэлея используется в теореме Куранта-Фишера о минимаксе для получения всех значений собственных чисел. Используется оно и в алгоритмах нахождения собственных значений матрицы для получения приближения собственного значения из приближения собственного вектора. А именно, отношение является базой для . Множество значений отношения Рэлея называется . (ru)
- У математиці для даної комплексної ермітової матриці і ненульового вектора відношення Релея визначають так: Для дійсних матриць умова ермітовості матриці зводиться до її симетричності, а ермітове спряження векторів перетворюється на звичайне транспонування . Зауважте, що для будь-якої дійсної константи . Нагадаємо, що ермітова (як і симетрична дійсна) матриця має дійсні власні значення. Можна показати, що для матриці відношення Релея досягає мінімального значення (найменше власне число матриці ) коли дорівнює (відповідний власний вектор). Так само можна показати, що і . Відношення Релея використано в теоремі Куранта — Фішера про мінімакс для отримання всіх значень власних чисел. Використовується воно і в алгоритмах знаходження власних значень матриці для отримання наближення власного значення з наближення власного вектора. А саме, відношення є базою для ітерацій з відношенням Релея. Множину значень відношення Релея називають . (uk)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)