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In geometry, Pedoe's inequality (also Neuberg-Pedoe inequality), named after Daniel Pedoe (1910-1998) and Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840-1926), states that if a, b, and c are the lengths of the sides of a triangle with area ƒ, and A, B, and C are the lengths of the sides of a triangle with area F, then with equality if and only if the two triangles are similar with pairs of corresponding sides (A, a), (B, b), and (C, c). Pedoe's inequality is a generalization of Weitzenböck's inequality, which is the case in which one of the triangles is equilateral.

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  • متباينة بيدو
  • Pedoe's inequality
  • Ungleichung von Pedoe
  • Disuguaglianza di Pedoe
  • Ongelijkheid van Pedoe
  • Неравенство Пидо
  • Desigualdade de Pedoe
  • 佩多不等式
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  • في الهندسة الرياضية، تنص متراجحة بيدو التي سميت على اسم دانييل بيدو على ما يلي: إذا كانت a، b، وc هي أطولا أضلاع مثلث له مساحة f وA، B، وC هي أطوال أضلاع مثلث آخر له مساحة F هندها تتحقق المتراجحة التالية: حيث في هذه المتراجحة حالة التساوي تكون محققة فقط وفقط إذا كان المثلثان متشابهان.
  • In geometria, la disuguaglianza di Pedoe, che prende il nome da Dan Pedoe, afferma che se a, b e c sono le lunghezze dei lati di un triangolo di area f, e A, B e C sono le lunghezze dei lati di un triangolo di area F, allora: con l'uguaglianza se e solo se i due triangoli sono simili. Un fatto notevole è che oltre ad essere simmetrica rispetto ad a, b e c e analogamente rispetto ad A, B e C (come peraltro è ovvio), essa rimane immutata anche se si scambiano a con A, b con B oppure c con C.
  • Неравенство Пидо. Пусть , , и , , — длины сторон треугольников и , и — их площади. Тогда причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны.
  • 幾何學的佩多不等式,是關連兩個三角形的不等式,以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出:如果第一個三角形的邊長為 ,面積為 ,第二個三角形的邊長為 ,面積為 ,那麼: , 等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形,對應邊成比例;也就是 。
  • In geometry, Pedoe's inequality (also Neuberg-Pedoe inequality), named after Daniel Pedoe (1910-1998) and Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840-1926), states that if a, b, and c are the lengths of the sides of a triangle with area ƒ, and A, B, and C are the lengths of the sides of a triangle with area F, then with equality if and only if the two triangles are similar with pairs of corresponding sides (A, a), (B, b), and (C, c). Pedoe's inequality is a generalization of Weitzenböck's inequality, which is the case in which one of the triangles is equilateral.
  • Die Ungleichung von Pedoe oder auch Ungleichung von Neuberg-Pedoe, benannt nach Daniel Pedoe und Joseph Neuberg, ist eine geometrische Aussage über die Seitenlängen und die Flächeninhalte zweier Dreiecke. Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt f und A, B und C die Seitenlängen eines weiteren Dreiecks mit dem Flächeninhalt F, so gilt folgende Ungleichung: Dabei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.
  • De ongelijkheid van Pedoe is een ongelijkheid in de meetkunde vernoemd naar Daniel Pedoe (1910-1998). Als a, b en c de lengtes van de zijden van een driehoek zijn met oppervlakte o en A, B en C de lengtes van de zijden van een driehoek met oppervlakte O dan geldt waarbij het gelijkteken geldt dan en slechts dan als de twee driehoeken gelijkvormig zijn. De uitdrukking aan de linkerkant van de ongelijkheid is op twee manieren symmetrisch:
  • Em Geometria, a desigualdade de Pedoe, assim chamada após Daniel Pedoe, afirma que se a, b, e c são as medidas dos lados de um triângulo de área ƒ, e A, B, e C são as medidas dos lados de um triângulo de área F, então com a igualdade se e somente se os dois triângulos são semelhantes. A expressão à esquerda não é apenas simétrica em qualquer uma das seis permutações sobre o conjunto de pares { (A, a), (B, b), (C, c) }, mas também — talvez não tão obviamente — permanece o mesmo se a é trocado (permutado) com A, b com B, c com C. Em outras palavras, é uma função simétrica do par de triângulos.
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  • في الهندسة الرياضية، تنص متراجحة بيدو التي سميت على اسم دانييل بيدو على ما يلي: إذا كانت a، b، وc هي أطولا أضلاع مثلث له مساحة f وA، B، وC هي أطوال أضلاع مثلث آخر له مساحة F هندها تتحقق المتراجحة التالية: حيث في هذه المتراجحة حالة التساوي تكون محققة فقط وفقط إذا كان المثلثان متشابهان.
  • In geometry, Pedoe's inequality (also Neuberg-Pedoe inequality), named after Daniel Pedoe (1910-1998) and Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840-1926), states that if a, b, and c are the lengths of the sides of a triangle with area ƒ, and A, B, and C are the lengths of the sides of a triangle with area F, then with equality if and only if the two triangles are similar with pairs of corresponding sides (A, a), (B, b), and (C, c). The expression on the left is not only symmetric under any of the six permutations of the set { (A, a), (B, b), (C, c) } of pairs, but also—perhaps not so obviously—remains the same if a is interchanged with A and b with B and c with C. In other words, it is a symmetric function of the pair of triangles. Pedoe's inequality is a generalization of Weitzenböck's inequality, which is the case in which one of the triangles is equilateral. Pedoe discovered the inequality in 1941 and published it subsequentially in several articles. Later he learned, that the inequality was already known to Neuberg in the 19th century, who however did not prove that the equality implies the similarity of the two triangles.
  • Die Ungleichung von Pedoe oder auch Ungleichung von Neuberg-Pedoe, benannt nach Daniel Pedoe und Joseph Neuberg, ist eine geometrische Aussage über die Seitenlängen und die Flächeninhalte zweier Dreiecke. Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt f und A, B und C die Seitenlängen eines weiteren Dreiecks mit dem Flächeninhalt F, so gilt folgende Ungleichung: Dabei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind. Man beachte, dass der Rechenausdruck auf der linken Seite nicht nur bezüglich der sechs Permutationen der Menge { (A,a), (B,b), (C,c) } von geordneten Paaren symmetrisch ist, sondern auch — vielleicht weniger offensichtlich — bezüglich der Vertauschung von A mit a, B mit b und C mit c. Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine symmetrische Funktion des gegebenen Paares von Dreiecken. Diese Ungleichung verallgemeinert die Ungleichung von Weitzenböck. Diese erhält man, wenn eines der beiden Dreiecke gleichseitig ist, denn dann kürzt sich die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks aus der Ungleichung heraus und übrig bleibt die Ungleichung von Weitzenböck für das zweite Dreieck. Pedoe fand die Ungleichung 1941 und publizierte sie in mehreren Artikeln. Später stellte sich dann heraus, dass die Ungleichung bereits im 19. Jahrhundert von Neuberg entdeckt worden war, wobei dieser jedoch noch nicht bewiesen hatte, dass aus der Gleichheit, die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke folgt.
  • In geometria, la disuguaglianza di Pedoe, che prende il nome da Dan Pedoe, afferma che se a, b e c sono le lunghezze dei lati di un triangolo di area f, e A, B e C sono le lunghezze dei lati di un triangolo di area F, allora: con l'uguaglianza se e solo se i due triangoli sono simili. Un fatto notevole è che oltre ad essere simmetrica rispetto ad a, b e c e analogamente rispetto ad A, B e C (come peraltro è ovvio), essa rimane immutata anche se si scambiano a con A, b con B oppure c con C.
  • De ongelijkheid van Pedoe is een ongelijkheid in de meetkunde vernoemd naar Daniel Pedoe (1910-1998). Als a, b en c de lengtes van de zijden van een driehoek zijn met oppervlakte o en A, B en C de lengtes van de zijden van een driehoek met oppervlakte O dan geldt waarbij het gelijkteken geldt dan en slechts dan als de twee driehoeken gelijkvormig zijn. De uitdrukking aan de linkerkant van de ongelijkheid is op twee manieren symmetrisch: * De uitdrukking is invariant onder elk van de zes permutaties van de drie paren (A,a), (B,b), (C,c); * De uitdrukking is ook invariant onder verwisseling van (a, b, c) en (A, B, C).
  • Неравенство Пидо. Пусть , , и , , — длины сторон треугольников и , и — их площади. Тогда причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны.
  • 幾何學的佩多不等式,是關連兩個三角形的不等式,以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出:如果第一個三角形的邊長為 ,面積為 ,第二個三角形的邊長為 ,面積為 ,那麼: , 等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形,對應邊成比例;也就是 。
  • Em Geometria, a desigualdade de Pedoe, assim chamada após Daniel Pedoe, afirma que se a, b, e c são as medidas dos lados de um triângulo de área ƒ, e A, B, e C são as medidas dos lados de um triângulo de área F, então com a igualdade se e somente se os dois triângulos são semelhantes. A expressão à esquerda não é apenas simétrica em qualquer uma das seis permutações sobre o conjunto de pares { (A, a), (B, b), (C, c) }, mas também — talvez não tão obviamente — permanece o mesmo se a é trocado (permutado) com A, b com B, c com C. Em outras palavras, é uma função simétrica do par de triângulos. A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck e da desigualdade de Hadwiger–Finsler.
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