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Mathematical induction is a mathematical proof technique, most commonly used to establish a given statement for all natural numbers, although it can be used to prove statements about any well-ordered set. It is a form of direct proof, and it is done in two steps. The first step, known as the base case, is to prove the given statement for the first natural number. The second step, known as the inductive step, is to prove that the given statement for any one natural number implies the given statement for the next natural number. From these two steps, mathematical induction is the rule from which we infer that the given statement is established for all natural numbers.

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  • Mathematical induction
  • استقراء رياضي
  • Vollständige Induktion
  • Inducción matemática
  • Raisonnement par récurrence
  • Principio d'induzione
  • 数学的帰納法
  • Volledige inductie
  • Indukcja matematyczna
  • Indução matemática
  • Математическая индукция
  • 数学归纳法
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  • Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, nach der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird, die größer oder gleich einem bestimmten Startwert sind. Da es sich um unendlich viele Zahlen handelt, kann solch ein Beweis nicht für alle Einzelfälle durchgeführt werden. Er wird daher in zwei Etappen durchgeführt: als Induktionsanfang für eine kleinste Zahl, für die man die Aussage zeigen will (meist 1 oder 0), und als Induktionsschritt, der aus der Aussage für eine variable Zahl die entsprechende Aussage für die nächste Zahl logisch ableitet. Dieses Beweisverfahren ist von grundlegender Bedeutung für die Arithmetik und Mengenlehre und damit für alle Gebiete der Mathematik.
  • En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants : * la propriété est satisfaite par l'entier 0 ; * chaque fois que cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, elle est également satisfaite par son successeur, c'est-à-dire par le nombre entier n + 1. Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.
  • En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento: El número entero tiene la propiedad . El hecho de que cualquier número entero también tenga la propiedad implica que también la tiene. Entonces todos los números enteros a partir de tienen la propiedad . La demostración está basada en el axioma denominado principio de la inducción matemática.
  • Il principio d'induzione è un enunciato sui numeri naturali che in matematica trova un ampio impiego nelle dimostrazioni, per provare che una certa proprietà è valida per tutti i numeri interi. L'idea intuitiva alla sua base è l'"effetto domino": affinché le tessere da domino disposte lungo una fila cadano tutte sono sufficienti due condizioni: * che cada la prima tessera * che ogni tessera sia posizionata in modo tale che cadendo provochi la caduta della successiva. Il principio d'induzione estende quest'idea al caso in cui la fila sia composta da infinite tessere.
  • 数学的帰納法(すうがくてききのうほう、英: mathematical induction)は自然数に関する命題P(n) が全てのn に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である。 1. * P(1) が成り立つ事を示す。 2. * 任意の自然数 k に対して、P(k) ⇒ P(k + 1) が成り立つ事を示す。 3. * 以上の議論から任意の自然数 n について P(n) が成り立つ事を結論づける。 上で1.と2.から3.を結論づける所が数学的帰納法に当たる。自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。 なお、数学的「帰納」法という名前がつけられているが、数学的帰納法を用いた証明は帰納ではなく、純粋に自然数の構造に依存した演繹論理の一種である。2. により次々と命題の正しさが"伝播"されていき、任意の自然数に対して命題が証明されていく様子が帰納のように見えるためこのような名前がつけられたにすぎない。
  • 数学归纳法(Mathematical Induction, MI)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法。 虽然数学归纳法名字中有“归纳”,但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法,它属于完全严谨的演绎推理法。事實上,所有數學證明都是演繹法。
  • Mathematical induction is a mathematical proof technique, most commonly used to establish a given statement for all natural numbers, although it can be used to prove statements about any well-ordered set. It is a form of direct proof, and it is done in two steps. The first step, known as the base case, is to prove the given statement for the first natural number. The second step, known as the inductive step, is to prove that the given statement for any one natural number implies the given statement for the next natural number. From these two steps, mathematical induction is the rule from which we infer that the given statement is established for all natural numbers.
  • الاستقراء الرياضي (بالإنجليزية: Mathematical induction) هو أحد أنواع البرهان الرياضي تستخدم عادة لبرهنة أنّ معادلة أو متباينة ما صحيحة لمجموعة لانهائية من الأعداد، كالأعداد الصحيحة. يعتمد البرهان على مبدأ وقوع أحجار الدومينو، ويتم على مرحلتين: في الأولى، يبرهن أنّ أوّل رقم في المجموعة يحقّق المطلوب، وفي الثانية نفرض أنّ المطلوب يتحقّق لعدد ما من المجموعة، ونبرهن، جبريًا، مثلاً، أنّه يتحقّق أيضًا للعدد الذي يليه في المجموعة استنادًا على الفرض وعلى الأساس.
  • In de wiskunde is volledige inductie een methode om te bewijzen dat een uitspraak geldig is voor alle natuurlijke getallen. Omdat er oneindig veel natuurlijke getallen zijn, kan een dergelijk bewijs niet voor elk getal afzonderlijk worden geleverd. Volledige inductie houdt in dat het bewijs wordt geleverd voor het getal 0 en dat wordt bewezen dat als de uitspraak geldig is voor enig natuurlijk getal, de uitspraak ook geldig is voor de opvolger van dit getal. Zonder dat voor ieder natuurlijk getal de uitspraak afzonderlijk is bewezen, kan men nu concluderen dat ze voor elk natuurlijk getal n geldig is. Uit de geldigheid voor 0 volgt immers de geldigheid voor 1 en uit de geldigheid voor 1 volgt die voor 2, enzovoort. Zo volgt de geldigheid voor ieder getal
  • Indukcja matematyczna – metoda dowodzenia twierdzeń o prawdziwości nieskończonej liczby stwierdzeń oraz definiowania rekurencyjnego (zob. ). W najbardziej typowych przypadkach dotyczą one liczb naturalnych.
  • Indução matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que um enunciado vale para todos os números naturais n e consiste de dois passos: 1. * A base: mostrar que o enunciado vale para n = 1 2. * O passo indutivo: mostrar que, se o enunciado vale para n=k, então o mesmo enunciado vale para n=k+1. 1. * O primeiro dominó cairá. 2. * Sempre que um dominó cair, seu próximo vizinho também cairá. então você pode concluir que todos os dominós cairão.
  • Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
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