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Linear logic is a substructural logic proposed by Jean-Yves Girard as a refinement of classical and intuitionistic logic, joining the dualities of the former with many of the constructive properties of the latter. Although the logic has also been studied for its own sake, more broadly, ideas from linear logic have been influential in fields such as programming languages, game semantics, and quantum physics, as well as linguistics, particularly because of its emphasis on resource-boundedness, duality, and interaction.

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  • Linear logic
  • Logique linéaire
  • 線形論理
  • 线性逻辑
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  • Linear logic is a substructural logic proposed by Jean-Yves Girard as a refinement of classical and intuitionistic logic, joining the dualities of the former with many of the constructive properties of the latter. Although the logic has also been studied for its own sake, more broadly, ideas from linear logic have been influential in fields such as programming languages, game semantics, and quantum physics, as well as linguistics, particularly because of its emphasis on resource-boundedness, duality, and interaction.
  • En logique mathématique et plus précisément en théorie de la démonstration, la logique linéaire, inventée par le logicien Jean-Yves Girard en 1986, est un système formel qui, du point de vue logique, décompose et analyse les logiques classique et intuitionniste et, du point de vue calculatoire, est un système de type pour le lambda-calcul permettant de spécifier certains usages des ressources.
  • 線形論理(せんけいろんり、英: Linear logic)は、「弱化(weakning)規則」と「縮約(contraction)規則」という構造規則を否定した部分構造論理の一種である。「資源としての仮説 (hypotheses as resources)」という解釈をする。すなわち、全ての仮説は証明において「一回だけ」消費される。古典論理や直観論理のような論理体系では、仮説(前提)は必要に応じて何度でも使える。例えば、A と A ⇒ B という命題から A ∧ B という結論を導出するのは、次のようになる。 1. * A と A ⇒ B を前提とするモーダスポネンス(あるいは自然演繹でいう含意の除去)により、B が得られる。 2. * 前提 A と (1) の論理積から A ∧ B が得られる。 これをシークエントで表すと、A, A ⇒ B ⊢ A ∧ B となる。上記の証明ではどちらの行でも、A が真であるという事実を「消費」している。この真理の「気軽さ」は形式手法では一般に必須である。 このような活動を通常の論理でうまく表せないのは、クリームやバターなどの「資源」全般の性質によるものである。ある量の資源は、真理のように好きなように使ったり始末したりできず、全ての「状態変化」について注意深く見ていかなければならない。バター作りを正確に表すと、次のようになる。
  • 在数理逻辑中,线性逻辑是拒绝“弱化”和“收缩”的结构规则的一种亚结构逻辑。对此解释是“假设是资源”:在证明中所有假设必须被消费“精确一次”。这区别于平常的逻辑比如经典逻辑或直觉逻辑,那里统治判断是“真理”,它可以按需要被自由的使用多次。例如,从命题A和A ⇒ B能按如下步骤得出结果A ∧ B: 1. * (1)在假定A和A ⇒ B上应用肯定前件(或蕴涵除去)得到结论B。 2. * (2)A和(1)的合取的得到结论A ∧ B。 这经常被符号化表示为相继式:A, A ⇒ B B。在上述证明中"消费"了A为真的事实;这种真理的"自由"通常是在形式化数学中所需要的。 但是,真理经常在应用于关于这个世界的陈述的时候太抽象或不实用。比如,假设我有一夸脱的牛奶,我能用它制作一磅奶酪。如果我决定把我的所有牛奶都制成奶酪,我就不能下结论说我有牛奶和奶酪二者! 上面的逻辑模式让我们得到结论:牛奶, 牛奶⇒奶酪 牛奶∧奶酪(这里的牛奶表示命题"我有一夸脱牛奶",等等)。普通逻辑建模这个活动失败是由于牛奶、奶酪一般是资源:资源的数量不像真理是可以随意使用和支配的自由事实,而是必须在所有"状态变更"中仔细计量的。关于牛奶制奶酪活动的准确陈述是: 从一夸脱牛奶和从一夸脱牛奶转换出一磅奶酪的过程,我们获得一磅奶酪。 在线性逻辑中我们写为:牛奶, 牛奶奶酪
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  • Linear logic is a substructural logic proposed by Jean-Yves Girard as a refinement of classical and intuitionistic logic, joining the dualities of the former with many of the constructive properties of the latter. Although the logic has also been studied for its own sake, more broadly, ideas from linear logic have been influential in fields such as programming languages, game semantics, and quantum physics, as well as linguistics, particularly because of its emphasis on resource-boundedness, duality, and interaction. Linear logic lends itself to many different presentations, explanations and intuitions.Proof-theoretically, it derives from an analysis of classical sequent calculus in which uses of (the structural rules) contraction and weakening are carefully controlled. Operationally, this means that logical deduction is no longer merely about an ever-expanding collection of persistent "truths", but also a way of manipulating resources that cannot always be duplicated or thrown away at will. In terms of simple denotational models, linear logic may be seen as refining the interpretation of intuitionistic logic by replacing cartesian closed categories by symmetric monoidal categories, or the interpretation of classical logic by replacing boolean algebras by C*-algebras.
  • En logique mathématique et plus précisément en théorie de la démonstration, la logique linéaire, inventée par le logicien Jean-Yves Girard en 1986, est un système formel qui, du point de vue logique, décompose et analyse les logiques classique et intuitionniste et, du point de vue calculatoire, est un système de type pour le lambda-calcul permettant de spécifier certains usages des ressources. La logique classique telle que nous la connaissons n'étudie pas les aspects les plus élémentaires du raisonnement. Sa structure peut être décomposée dans des systèmes formels plus élémentaires qui décrivent des étapes plus fines de la déduction ; en particulier, il est possible de s'intéresser à des logiques où certaines règles de la logique classique n'existent pas. De telles logiques sont appelées des logiques sous structurelles. L'une de ces logiques sous structurelle est la logique linéaire ; il lui manque en particulier la règle de contraction de la logique classique qui dit en gros que si on peut faire un raisonnement avec une même hypothèse invoquée deux fois, on peut faire le même raisonnement sans dupliquer cette hypothèse et la règle d'affaiblissement qui permet d'éliminer de l'ensemble des hypothèses une hypothèse inutilisée dans le raisonnement.
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