In mathematics, the Kantorovich inequality is a particular case of the Cauchy–Schwarz inequality, which is itself a generalization of the triangle inequality. The triangle inequality states that the length of two sides of any triangle, added together, will be equal to or greater than the length of the third side. In simplest terms, the Kantorovich inequality translates the basic idea of the triangle inequality into the terms and notational conventions of linear programming. (See vector space, inner product, and normed vector space for other examples of how the basic ideas inherent in the triangle inequality—line segment and distance—can be generalized into a broader context.)
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| - Desigualtat de Kantoróvitx (ca)
- Kantorowitsch-Ungleichung (de)
- Inégalité de Kantorovitch (fr)
- Kantorovich inequality (en)
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| - Die Kantorowitsch-Ungleichung (englisch Kantorovich inequality) ist eine Ungleichung, die auf eine wissenschaftliche Publikation des sowjetischen Mathematikers Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch aus dem Jahre 1948 zurückgeht und sowohl dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis als auch dem der Numerischen Mathematik zugerechnet werden kann. Sie liefert eine Abschätzung für positiv definite und symmetrische Matrizen des reellen Matrizenrings und ist verwandt mit der Ungleichung von Schweitzer. Die Kantorowitsch-Ungleichung ist nicht zuletzt in der Numerischen Mathematik bedeutsam bei Konvergenzverhaltensuntersuchungen im Zusammenhang mit dem Gradientenverfahren und gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Arbeiten. (de)
- En matemàtiques, la desigualtat de Kantoróvitx és un cas particular de la desigualtat de Cauchy-Schwarz, que és una generalització de la desigualtat triangular. La desigualtat triangular afirma que les longituds de dos costats de tot trinagle, sumades, són més grans o iguals que la longitud del tercer costat. En termes més simples, la desigualtat de Kantoróvitx tradueix la idea bàsica de la desigualtat triangular en termes i convenis de notació de programació lineal. (Vegi's espai vectorial, espai prehilbertià i espai vectorial normat com a altres exemples de com les idees bàsiques inherents de la desigualtat triangular -segment lineal i distància- poden ser generalitzades a contextos més amplis). (ca)
- In mathematics, the Kantorovich inequality is a particular case of the Cauchy–Schwarz inequality, which is itself a generalization of the triangle inequality. The triangle inequality states that the length of two sides of any triangle, added together, will be equal to or greater than the length of the third side. In simplest terms, the Kantorovich inequality translates the basic idea of the triangle inequality into the terms and notational conventions of linear programming. (See vector space, inner product, and normed vector space for other examples of how the basic ideas inherent in the triangle inequality—line segment and distance—can be generalized into a broader context.) (en)
- En mathématiques, l'inégalité de Kantorovitch est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elle-même généralisation de l'inégalité triangulaire. Elle est nommée d'après le mathématicien et économiste soviétique Leonid Kantorovitch, lauréat du « prix Nobel d'économie » et pionnier de la programmation linéaire. L'inégalité triangulaire dit que la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle sera supérieure ou égale à la longueur du troisième côté. L'inégalité de Kantorovitch donne un résultat équivalent avec les termes et notations de la programmation linéaire. Soient Alors avec . . (fr)
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| - Cauchy-Schwarz inequality (en)
- Kantorovich Inequality (en)
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| - En matemàtiques, la desigualtat de Kantoróvitx és un cas particular de la desigualtat de Cauchy-Schwarz, que és una generalització de la desigualtat triangular. La desigualtat triangular afirma que les longituds de dos costats de tot trinagle, sumades, són més grans o iguals que la longitud del tercer costat. En termes més simples, la desigualtat de Kantoróvitx tradueix la idea bàsica de la desigualtat triangular en termes i convenis de notació de programació lineal. (Vegi's espai vectorial, espai prehilbertià i espai vectorial normat com a altres exemples de com les idees bàsiques inherents de la desigualtat triangular -segment lineal i distància- poden ser generalitzades a contextos més amplis). Més formalment, es pot expressar la desigualtat de Kantoróvitx com: SiguiSigui Llavors La desigualtat de Kantoróvitx és usada en anàlisi de convergència: fita la taxa de convergència del mètode de gradient descendent de Cauchy. Han aparegut enunciats equivalents a la desigualtat de Kantoróvitx en diferents camps. Per exemple, la desigualtat de Cauchy–Bunyakovsky-Schwarz i la desigualtat de Wielandt són equivalents a la desigualtat de Kantoróvitx i totes elles són, alhora, casos especials de la desigualtat de Hölder. La desigualtat de Kantoróvitx du el nom de l'economista i matemàtic rus Leonid Kantoróvitx, un pioner en el camp de la programació lineal que va guanyar el Premi Nobel d'Economia. També existeix la versió matricial de la desigualtat de Kantoróvitx, atribuïda a Marshall i Olkin. (ca)
- Die Kantorowitsch-Ungleichung (englisch Kantorovich inequality) ist eine Ungleichung, die auf eine wissenschaftliche Publikation des sowjetischen Mathematikers Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch aus dem Jahre 1948 zurückgeht und sowohl dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis als auch dem der Numerischen Mathematik zugerechnet werden kann. Sie liefert eine Abschätzung für positiv definite und symmetrische Matrizen des reellen Matrizenrings und ist verwandt mit der Ungleichung von Schweitzer. Die Kantorowitsch-Ungleichung ist nicht zuletzt in der Numerischen Mathematik bedeutsam bei Konvergenzverhaltensuntersuchungen im Zusammenhang mit dem Gradientenverfahren und gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Arbeiten. (de)
- In mathematics, the Kantorovich inequality is a particular case of the Cauchy–Schwarz inequality, which is itself a generalization of the triangle inequality. The triangle inequality states that the length of two sides of any triangle, added together, will be equal to or greater than the length of the third side. In simplest terms, the Kantorovich inequality translates the basic idea of the triangle inequality into the terms and notational conventions of linear programming. (See vector space, inner product, and normed vector space for other examples of how the basic ideas inherent in the triangle inequality—line segment and distance—can be generalized into a broader context.) More formally, the Kantorovich inequality can be expressed this way: LetLet Then The Kantorovich inequality is used in ; it bounds the convergence rate of Cauchy's steepest descent. Equivalents of the Kantorovich inequality have arisen in a number of different fields. For instance, the Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky inequality and the are equivalent to the Kantorovich inequality and all of these are, in turn, special cases of the Hölder inequality. The Kantorovich inequality is named after Soviet economist, mathematician, and Nobel Prize winner Leonid Kantorovich, a pioneer in the field of linear programming. There is also Matrix version of the Kantrovich inequality due to Marshall and Olkin (1990). A survey of its extensions and further matrix inequalities is given by Liu and Neudecker (1999). (en)
- En mathématiques, l'inégalité de Kantorovitch est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elle-même généralisation de l'inégalité triangulaire. Elle est nommée d'après le mathématicien et économiste soviétique Leonid Kantorovitch, lauréat du « prix Nobel d'économie » et pionnier de la programmation linéaire. L'inégalité triangulaire dit que la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle sera supérieure ou égale à la longueur du troisième côté. L'inégalité de Kantorovitch donne un résultat équivalent avec les termes et notations de la programmation linéaire. Inégalité de Kantorovitch (version scalaire) — Soit pour i = 1,...,n. Soient Alors Inégalité de Kantorovitch (version matricielle) — Soit , une matrice symétrique définie positive. Soit , respectivement la valeur propre la plus petite et la plus grande de A. Alors, pour tout vecteur : Démonstration de la version matricielle On supposera, sans perte de généralité, que la norme de x vaut 1. Sachant que , il existe une matrice orthogonale telle que est diagonale : avec , où les sont les valeurs propres de A. On pose . Les valeurs propres de la matrice 1⁄tA + t A−1 sont donc de la forme : . On étudie la fonction :
* Elle est convexe sur ;
* Elle atteint son minimum en λ=t, où elle vaut 2 ;
* . Ainsi, on a : . Par l'inégalité arithmético-géométrique, on a : ce qui permet de conclure. L'inégalité de Kantorovitch est utilisée en ; elle permet notamment de majorer la vitesse de convergence de la méthode de descente de Cauchy. Des équivalents de l'inégalité de Kantorovitch existent dans différents domaines. On citera l'inégalité de Wielandt et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elles-mêmes équivalentes à l'inégalité de Hölder. (fr)
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