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In mathematics, the hyperoperation sequence is an infinite sequence of arithmetic operations (called hyperoperations) that starts with the unary operation of successor (n = 0), then continues with the binary operations of addition (n = 1), multiplication (n = 2), and exponentiation (n = 3), after which the sequence proceeds with further binary operations extending beyond exponentiation, using right-associativity. For the operations beyond exponentiation, the nth member of this sequence is named by Reuben Goodstein after the Greek prefix of n suffixed with -ation (such as tetration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc.) and can be written as using n − 2 arrows in Knuth's up-arrow notation.Each hyperoperation may be understood recursively in terms of the previous one by:

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  • Hyper-Operator
  • Hiperoperación
  • Hyperopération
  • Notazione a frecce di Knuth
  • ハイパー演算子
  • Hiperoperação
  • Гипероператор
  • 超运算
  • Hyperoperation
rdfs:comment
  • Der Hyper-Operator ist eine Fortsetzung der herkömmlichen mathematischen Operatoren der Addition, Multiplikation und Potenzierung. Er dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen.
  • La notazione a frecce di Knuth è un tipo di notazione numerica, creata dall'informatico Donald Knuth per scrivere numeri molto grandi che nelle normale notazioni a cifre o esponenziale sarebbero impossibili da scrivere, come il numero di Graham.
  • ハイパー演算子 (hyper operator) は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。
  • 超運算序列,是数学中一种二元运算的序列,前三项分别为加法、乘法、幂,一般來說,除了序列中第一項的加法運算之外,序列中每一項的運算都是重複的前一項的運算(例如乘法是重複的加法: ,冪是重複的乘法: )。这些运算通称为超运算(或稱為hyper運算符)。序列中的第n项称为超-n运算或第n級的超運算,其符號為[n]。英文則由鲁賓·古德斯坦(Reuben Goodstein)命名,當n≥4時,由n的希腊语前缀加上后缀-ation组成(例如超-4运算称为tetration,超-5运算称为pentation)。當n≥3 時,使用高德纳箭号表示法可将超-n运算的符號表示为(n-2)个箭头。 超运算可通过递归进行定义,對於所有正整數a,正整數b和正整數n: 除这一最常见的定义之外,超运算还有其他的变体。()
  • En matemáticas, la sucesión de hiperoperacioneses una sucesión infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones) que se inicia con la operación unaria sucesor (n = 0), siguiendo con las operaciones binarias de adición (n = 1), multiplicación (n = 2), y potenciación (n = 3), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por derecha. Para las operaciones más allá de la potenciación, el n-ésimo miembro de esta sucesión es nombrado por Rubén Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.) y puede ser escrito mediante el uso de n − 2 flechas en la notación flecha de Knuth.Cada hiperoperación puede ser en
  • En mathématiques, les hyperopérations (ou hyperopérateurs) constituent une suite infinie d'opérations qui prolonge logiquement la suite des opérations arithmétiques élémentaires : addition, multiplication et exponentiation. En termes simples et partant du constat suivant : 1. * addition : 2. * multiplication : 3. * exponentiation : Les hyperopérateurs visent à répondre à la question intuitive suivante : « Qu'y a-t-il au-delà de l'exponentiation ? ». . Chacune croît plus vite que la précédente.
  • Em matemática, a seqüencia de hiperoperações é uma seqüencia de operações binárias que iniciam com a adição, multiplicação e exponenciação, chamadas hiperoperações em geral. O n-ésimo membro desta seqüencia foi nomeado por Reuben Goodstein seguindo o prefixo grego de n acrescido do sufixo -ção (como em tetração, pentação) e pode ser escrito usando setas na Notação de Knuth. Cada hiperoperação é definida recursivamente em termos da anterior, como é o caso com a notação de seta para cima de Knuth. A parte da definição que faz isso é a regra recursiva da função de Ackermann:
  • В математике гиперопера́тор — это обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, на высшие порядки. Гипероператор порядка n с аргументами a и b (обозначаемый a(n)b) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка n-1 к последовательности из b одинаковых аргументов, каждый из которых равен a: * сложение a и b — увеличение числа a на количество единиц, равное b: * умножение a на b — сложение числа a с самим собой b раз: * ... * .
  • In mathematics, the hyperoperation sequence is an infinite sequence of arithmetic operations (called hyperoperations) that starts with the unary operation of successor (n = 0), then continues with the binary operations of addition (n = 1), multiplication (n = 2), and exponentiation (n = 3), after which the sequence proceeds with further binary operations extending beyond exponentiation, using right-associativity. For the operations beyond exponentiation, the nth member of this sequence is named by Reuben Goodstein after the Greek prefix of n suffixed with -ation (such as tetration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc.) and can be written as using n − 2 arrows in Knuth's up-arrow notation.Each hyperoperation may be understood recursively in terms of the previous one by:
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  • Hyperoperations
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  • Der Hyper-Operator ist eine Fortsetzung der herkömmlichen mathematischen Operatoren der Addition, Multiplikation und Potenzierung. Er dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen.
  • En mathématiques, les hyperopérations (ou hyperopérateurs) constituent une suite infinie d'opérations qui prolonge logiquement la suite des opérations arithmétiques élémentaires : addition, multiplication et exponentiation. En termes simples et partant du constat suivant : 1. * addition : 2. * multiplication : 3. * exponentiation : Les hyperopérateurs visent à répondre à la question intuitive suivante : « Qu'y a-t-il au-delà de l'exponentiation ? ». On montre qu'on peut créer des opérations de rang supérieur à l'exponentiation en les construisant de manière itérative d'après la précédente, et en utilisant l'égalité suivante (exprimée dans la notation des flèches de Knuth) : . Chacune croît plus vite que la précédente. Reuben Goodstein proposa de baptiser les opérations au-delà de l'exponentiation par tétration, pentation, etc. Des suites similaires ont historiquement porté diverses appellations, telles que la fonction d'Ackermann, la hiérarchie d'Ackermann, la hiérarchie de Grzegorczyk, (plus générale), la version de Goodstein de la fonction d'Ackermann, hyper-n, , , , .
  • En matemáticas, la sucesión de hiperoperacioneses una sucesión infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones) que se inicia con la operación unaria sucesor (n = 0), siguiendo con las operaciones binarias de adición (n = 1), multiplicación (n = 2), y potenciación (n = 3), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por derecha. Para las operaciones más allá de la potenciación, el n-ésimo miembro de esta sucesión es nombrado por Rubén Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.) y puede ser escrito mediante el uso de n − 2 flechas en la notación flecha de Knuth.Cada hiperoperación puede ser entendido de forma recursiva en términos de la anterior por: (m ≥ 0) Esto también puede ser definido de acuerdo a la regla de recursividad con parte de la definición, como en la versión flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann: (m ≥ -1) Esta puede ser usada fácilmente para mostrar números mucho más grandes que las que la notación científica puede, tales como el número de Skewes y el googolplex, pero hay algunos números que incluso ellos no pueden mostrar fácilmente, tales como el número de Graham y ÁRBOL(3). Esta repetición de la regla es común a muchas variantes de hiperoperaciones (ver a continuación).
  • La notazione a frecce di Knuth è un tipo di notazione numerica, creata dall'informatico Donald Knuth per scrivere numeri molto grandi che nelle normale notazioni a cifre o esponenziale sarebbero impossibili da scrivere, come il numero di Graham.
  • ハイパー演算子 (hyper operator) は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。
  • Em matemática, a seqüencia de hiperoperações é uma seqüencia de operações binárias que iniciam com a adição, multiplicação e exponenciação, chamadas hiperoperações em geral. O n-ésimo membro desta seqüencia foi nomeado por Reuben Goodstein seguindo o prefixo grego de n acrescido do sufixo -ção (como em tetração, pentação) e pode ser escrito usando setas na Notação de Knuth. Cada hiperoperação é definida recursivamente em termos da anterior, como é o caso com a notação de seta para cima de Knuth. A parte da definição que faz isso é a regra recursiva da função de Ackermann: que é comum a muitas variantes de hiperoperações (ver ).
  • В математике гиперопера́тор — это обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, на высшие порядки. Гипероператор порядка n с аргументами a и b (обозначаемый a(n)b) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка n-1 к последовательности из b одинаковых аргументов, каждый из которых равен a: * сложение a и b — увеличение числа a на количество единиц, равное b: * умножение a на b — сложение числа a с самим собой b раз: * возведение a в степень b — умножение числа a на само себя b раз: * ... * В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка n>2 не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно. В простейшем случае значения переменных a, b и n ограничиваются целыми неотрицательными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены. Разные математики обозначают гипероператоры по разному: * Кнут использует стрелки ; * Конвей использует стрелки .
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