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In mathematics, the Hodge star operator or Hodge dual is an important linear map introduced in general by W. V. D. Hodge. It is defined on the exterior algebra of a finite-dimensional oriented inner product space.

AttributesValues
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rdfs:label
  • Hodge dual
  • Hodge-Stern-Operator
  • Dual de Hodge
  • Dualité de Hodge
  • ホッジ双対
  • Звезда Ходжа
  • 霍奇对偶
rdfs:comment
  • In mathematics, the Hodge star operator or Hodge dual is an important linear map introduced in general by W. V. D. Hodge. It is defined on the exterior algebra of a finite-dimensional oriented inner product space.
  • En matemáticas, el operador estrella de Hodge en el espacio vectorial V es un operador lineal en el álgebra exterior de V, intercambiando los subespacios de k-vectores y el de n−k-vectores donde n = dim V, para 0 ≤ k ≤ n.
  • Der Hodge-Stern-Operator oder kurz Hodge-Operator ist ein Objekt aus der Differentialgeometrie. Er wurde von dem britischen Mathematiker William Vallance Douglas Hodge eingeführt. Der Operator ist ein Isomorphismus, welcher auf der äußeren Algebra eines endlichdimensionalen Prähilbertraums operiert oder allgemeiner auf dem Raum der Differentialformen.
  • 数学において、ホッジスター作用素(ホッジスターさようそ、Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対(ホッジそうつい、Hodge dual)は、ホッジ(Hodge)により導入された線型写像である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義されるk -ベクトルのなす空間からn-k-ベクトルのなす空間への線形同型である。 他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドルへの作用に拡張することができる。たとえば余接束の外積代数(すなわち、多様体上の微分形式の空間)に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス=ド・ラーム作用素を定義し、コンパクトなリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解を導くことができる。
  • 霍奇星算子在 k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对于下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是 后一个空间的维数是 又由二项式系数的对称性,这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构;但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向,给出了一个特定的同构,因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 k-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。 第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 V。在这种情形,帕斯卡三角形相关行是 1, 3, 3, 1 霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构,一个是 V 自己,另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见一节。叉积只是三维的特殊性质,但霍奇对偶在所有维数都有效。
  • Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q. Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.
  • En algèbre linéaire, l'opérateur de Hodge, introduit par William Vallance Douglas Hodge, est un opérateur sur l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l'élément auquel l'opérateur est appliqué. On parle ainsi d'étoile de Hodge. Si la dimension de l'espace est n, l'opérateur établit une correspondance entre les k-vecteurs et les (n-k)-vecteurs, appelée dualité de Hodge.
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