About: Herbrand–Ribet theorem     Goto   Sponge   NotDistinct   Permalink

An Entity of Type : yago:WikicatMathematicalTheorems, within Data Space : dbpedia.org associated with source document(s)
QRcode icon
http://dbpedia.org/describe/?url=http%3A%2F%2Fdbpedia.org%2Fresource%2FHerbrand%E2%80%93Ribet_theorem

In mathematics, the Herbrand–Ribet theorem is a result on the class group of certain number fields. It is a strengthening of Ernst Kummer's theorem to the effect that the prime p divides the class number of the cyclotomic field of p-th roots of unity if and only if p divides the numerator of the n-th Bernoulli number Bn for some n, 0 < n < p − 1. The Herbrand–Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn.

AttributesValues
rdf:type
rdfs:label
  • Herbrand–Ribet theorem
  • Teorema de Herbrand-Ribet
  • Théorème de Herbrand-Ribet
  • Stelling van Herbrand-Ribet
rdfs:comment
  • In mathematics, the Herbrand–Ribet theorem is a result on the class group of certain number fields. It is a strengthening of Ernst Kummer's theorem to the effect that the prime p divides the class number of the cyclotomic field of p-th roots of unity if and only if p divides the numerator of the n-th Bernoulli number Bn for some n, 0 < n < p − 1. The Herbrand–Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn.
  • En matemáticas, el Teorema de Herbrand–Ribet es un resultado del número de clase de ciertos campos de números. Es un refuerzo del teorema de Kummer en el sentido que el número primo p divide el número de clase del campo ciclotómico de la p-iésimas raíces de la unidad si y solo si p divide al numerador del n-ésimo número de Bernoulli Bn para algún n, 0 < n < p − 1. El teorema de Herbrand–Ribet especifica en particular, cuando es que p divide a Bn. El grupo de Galois Σ del campo ciclotómico de las p-iésimas raíces de la unidad de un primo p, con
  • Le théorème de Herbrand-Ribet renforce le théorème de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de Bn. Le groupe de Galois du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec , est constitué des éléments , où est défini par le fait que . si
  • In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Herbrand-Ribet een resultaat voor het klassegetal van bepaalde getallenlichamen. Het is een versterking van de stelling van Ernst Kummer in de zin dat het priemgetal het klassegetal van het cyclotomisch veld van de -e eenheidswortel dan en slechts dan deelt, als de teller van het -e Bernoulli-getal deelt voor enige . De stelling van Herbrand-Ribet geeft in het bijzonder aan wat het betekent als een deler is van zo'n . De galoisgroep van het cyclotomisch lichaam van de -e eenheidswortels voor een oneven priemgetal met , waar
sameAs
dct:subject
Wikipage page ID
Wikipage revision ID
Link from a Wikipage to another Wikipage
foaf:isPrimaryTopicOf
prov:wasDerivedFrom
has abstract
  • In mathematics, the Herbrand–Ribet theorem is a result on the class group of certain number fields. It is a strengthening of Ernst Kummer's theorem to the effect that the prime p divides the class number of the cyclotomic field of p-th roots of unity if and only if p divides the numerator of the n-th Bernoulli number Bn for some n, 0 < n < p − 1. The Herbrand–Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn.
  • Le théorème de Herbrand-Ribet renforce le théorème de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de Bn. Le groupe de Galois du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec , est constitué des éléments , où est défini par le fait que . Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques ℤp, nous avons racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans ℤp en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. Le p-composant du groupe de classes, c'est-à-dire le sous-groupe de ce groupe formé par les éléments dont les ordres sont des puissances de p, est un ℤp-module, et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneau ℤp[Σ] vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme Nous pouvons maintenant séparer la p-composante du groupe G des classes d'idéaux de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors . Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli . La partie exprimant p divise si est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si divise alors est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines -ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.
  • En matemáticas, el Teorema de Herbrand–Ribet es un resultado del número de clase de ciertos campos de números. Es un refuerzo del teorema de Kummer en el sentido que el número primo p divide el número de clase del campo ciclotómico de la p-iésimas raíces de la unidad si y solo si p divide al numerador del n-ésimo número de Bernoulli Bn para algún n, 0 < n < p − 1. El teorema de Herbrand–Ribet especifica en particular, cuando es que p divide a Bn. El grupo de Galois Σ del campo ciclotómico de las p-iésimas raíces de la unidad de un primo p, con , consiste de p − 1 elementos del grupo σa, donde σa está definido por . De acuerdo al pequeño teorema de Fermat, en el anillo de los enteros p-ádicos se tienen p − 1 raíces de la unidad, cada una de las cuales es congruente mod p con algún número en el rango entre 1 y p − 1; por lo tanto se puede definir un carácter de Dirichlet ω (el carácter de Teichmüller) con valores en si se requiere que para n coprimos a p, ω(n) sea congruente con n módulo p. La parte p del grupo de clase es un -módulo, y se pueden aplicar elementos en el anillo de grupo a él y obtener elementos del grupo de clase. Definiendo un elemento de idempotencia del anillo de grupo para cada n desde 1 hasta p − 1, como Podemos dividir la parte p del grupo de clase ideal G de por medio de sus idempotentes; si G es el grupo de clase ideal, entonces Gn = εn(G). Entonces se tiene el teorema de Herbrand–Ribet: Gn es notrivial si y solo si p divide al número de Bernoulli Bp−n. Las parte que dice que p divide Bp−n si Gn no es trivial es el aporte de Herbrand. El inverso, que si p divide Bp−n entonces Gn no es trivial se debe a Kenneth Ribet, y es significativamente más difícil. Por la teoría de campos de clase, esto sólo puede ser verdadero si existe una extensión no-ramificada del campo de las p-ésimas raíces de la unidad por una extensión cíclica de grado p que se comporta en la forma especificada bajo la acción de Σ; Ribet demostró esto construyendo esta extensión utilizando métodos de la teoría de las formas modulares. Una demostración más simple del aporte de Ribet al teorema de Herbrand se puede consultar en el libro de Washington. Barry Mazur y Andrew Wiles, ampliaron y desarrollaron los métodos de Ribet en sus trabajos por demostrar la Conjetura principal de la Teoría de Iwasawa, un corolario de la cual es el refuerzo del teorema de Herbrand-Ribet: la potencia de p que divide Bp−n es exactamente la potencia de p que divide el orden de Gn.
  • In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Herbrand-Ribet een resultaat voor het klassegetal van bepaalde getallenlichamen. Het is een versterking van de stelling van Ernst Kummer in de zin dat het priemgetal het klassegetal van het cyclotomisch veld van de -e eenheidswortel dan en slechts dan deelt, als de teller van het -e Bernoulli-getal deelt voor enige . De stelling van Herbrand-Ribet geeft in het bijzonder aan wat het betekent als een deler is van zo'n . De galoisgroep van het cyclotomisch lichaam van de -e eenheidswortels voor een oneven priemgetal met bestaat uit de groepselementen , waar . Als een gevolg van de kleine stelling van Fermat zijn er in de ring van -adische gehele getallen eenheidswortels, die elk modulo congruent zijn aan een van de getallen 1 tot en met . Wij kunnen daarom een Dirichlet-karakter ω definiëren; (het Teichmüller-karakter) met waarden in door te eisen dat voor n relatief priem met p, ω(n) modulo p congruent is met n. Het p-e deel van de klassegroep is een -module (aangezien het p-primair is), dus een module over de groepsring . We definiëren idempotente elementen van de groepsring voor elk n van 1 tot p - 1, zodanig dat Het is relatief eenvoudig in te zien dat en , waarin de Kronecker-delta is. Dit stelt ons in staat de p gedeelten van de ideale klassegroep G van Q(ζ) op te breken door gebruik te maken van idempotente elementen; als G de ideale klasgroep is en Gn = εn (G), dan hebben wij . De stelling van Herbrand-Ribet stelt dat Gn dan en slechts dan niet-triviaal is als p deler is van het Bernoulli-getal Bp-n Het deel dat zegt dat p deelt op Bp-n als Gn niet triviaal is, is te danken aan Jacques Herbrand. Het omgekeerde, dat als p deler is van Bp-n, dat dan Gn niet-triviaal is, is te danken aan Kenneth Ribet, en is aanzienlijk moeilijker. Vanwege de klasseveldtheorie kan dit alleen maar waar zijn, als er een onvertakte uitbreiding van het veld van p-e eenheidswortels bestaat door een cyclisch uitbreiding van de graad p, dat zich op de aangegeven wijze gedraagt onder de actie van Σ. Ribet bewijst dit door daadwerkelijk een dergelijke uitbreiding te construeren met behulp van methoden uit de theorie van de modulaire vormen. Een meer elementair bewijs van Ribets omkering van de stelling van Herbrand, een gevolg van de theorie van de Euler-systemen, kan worden gevonden in het boek van Washington Ribets methoden werden verder ontwikkeld door Barry Mazur en Andrew Wiles, dit met het oog op het bewijs van het hoofdvermoeden van de Iwasawa-theorie, waarvan een corollarium een versterking van de stelling van Herbrand-Ribet betekent: de macht van de p die Bp-n deelt is precies gelijk aan de macht van p die de orde van Gn deelt.
http://purl.org/voc/vrank#hasRank
http://purl.org/li...ics/gold/hypernym
is differentFrom of
is sameAs of
is Link from a Wikipage to another Wikipage of
is Wikipage redirect of
is foaf:primaryTopic of
is known for of
Faceted Search & Find service v1.17_git39 as of Aug 09 2019


Alternative Linked Data Documents: PivotViewer | iSPARQL | ODE     Content Formats:       RDF       ODATA       Microdata      About   
This material is Open Knowledge   W3C Semantic Web Technology [RDF Data] Valid XHTML + RDFa
OpenLink Virtuoso version 07.20.3232 as of Aug 9 2019, on Linux (x86_64-generic-linux-glibc25), Single-Server Edition (61 GB total memory)
Data on this page belongs to its respective rights holders.
Virtuoso Faceted Browser Copyright © 2009-2019 OpenLink Software