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In mathematical analysis, the Haar measure assigns an "invariant volume" to subsets of locally compact topological groups, consequently defining an integral for functions on those groups. This measure was introduced by Alfréd Haar in 1933, though its special case for Lie groups had been introduced by Adolf Hurwitz in 1897 under the name "invariant integral". Haar measures are used in many parts of analysis, number theory, group theory, representation theory, statistics, and ergodic theory.

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  • Haar measure
  • Haarsches Maß
  • Medida de Haar
  • Mesure de Haar
  • Misura di Haar
  • ハール測度
  • Haar-maat
  • Miara Haara
  • Мера Хаара
  • Medida de Haar
  • 哈尔测度
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  • In mathematical analysis, the Haar measure assigns an "invariant volume" to subsets of locally compact topological groups, consequently defining an integral for functions on those groups. This measure was introduced by Alfréd Haar in 1933, though its special case for Lie groups had been introduced by Adolf Hurwitz in 1897 under the name "invariant integral". Haar measures are used in many parts of analysis, number theory, group theory, representation theory, statistics, and ergodic theory.
  • Das Haarsche Maß wurde von Alfréd Haar in die Mathematik eingeführt, um Ergebnisse der Maßtheorie in der Gruppentheorie anwendbar zu machen. Es ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes. Das Lebesgue-Maß ist ein Maß auf dem euklidischen Raum, das unter Translationen invariant ist. Der euklidische Raum ist eine lokalkompakte topologische Gruppe bezüglich der Addition. Das Haarsche Maß ist für jede lokalkompakte (im Folgenden immer als hausdorffsch vorauszusetzende) topologische Gruppe definierbar, insbesondere also für jede Lie-Gruppe. Lokalkompakte Gruppen mit ihren Haarschen Maßen werden in der harmonischen Analyse untersucht.
  • En análisis matemático, la medida de Haar es una manera de asignar un "volumen invariante" a los subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos y de definir posteriormente una integral para las funciones sobre esos grupos. Esta medida fue introducida por Alfréd Haar, matemático húngaro, alrededor del año 1932. Véase también Dualidad de Pontryagin. Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis y de la teoría de números.
  • Nell'analisi matematica, la misura di Haar è un modo per assegnare un "volume invariante" ai sottoinsiemi di un gruppo topologico localmente compatto e di conseguenza definire un integrale per le funzioni su tale gruppo. Questa misura venne introdotta da Alfréd Haar, matematico ungherese, intorno al 1932. Le misure di Haar sono usate in molte aree dell'analisi e della teoria dei numeri.
  • In de wiskundige analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de haar-maat een manier om een "invariant volume" toe te kennen aan deelverzamelingen van lokaal compacte topologische groepen en vervolgens een integraal voor functies op deze groepen te definiëren. Deze maat werd omstreeks 1932 door de Hongaarse wiskundige Alfred Haar geïntroduceerd. Haar-maten worden in vele gebieden van de analyse en getaltheorie, en ook in de schattingstheorie gebruikt.
  • Miara Haara - niezmiennicza ze względu na działanie grupowe miara określona na lokalnie zwartej grupie topologicznej. Konsekwencją istnienia miary Haara na grupie lokalnie zwartej jest istnienie całki. Z tego względu ma liczne zastosowania w analizie i teorii liczb. Miara Haara nazwana została na cześć Alfreda Haara, węgierskiego matematyka, który jako pierwszy podał jej konstrukcję około roku 1932.
  • Пусть — локально компактная хаусдорфова топологическая группа. Левой мерой Хаара в называется мера , определенная на σ-кольце, порожденном всеми компактными множествами, не равная тождественно нулю, конечная на компактных множествах и такая, что для любых и из области определения . Правая мера Хаара определяется аналогично заменой условия на условие . В любой группе рассматриваемого типа существует и единственна (с точностью до мультипликативной положительной постоянной) левая мера Хаара.
  • Em análise matemática, a medida de Haar é uma forma de atribuir um volume invariante para subconjuntos de grupos localmente compactos e em seguida definir uma integral para funções nestes grupos. Esta medida foi criada pelo matemático húngaro Alfréd Haar em 1932. A medida de Haar é utilizada em diversas partes da análise matemática, teoria dos números e teoria da estimativa.
  • 数学分析中,哈尔测度(Haar measure)是赋予局域紧致拓扑群一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。 这个测度由匈牙利数学家 Alfréd Haar 于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析,数论,群论,表示论,估计理论和遍历理论的很多方面。
  • G を局所コンパクト群、B を G のコンパクト集合全体から生成される完全加法族とする。零でない非負値集合関数 μ: B → R+ ∪ {∞} で、以下の条件 1. * G のコンパクト集合 K の測度 μ(K) は有限値をとる。 2. * G の開集合 O の測度はコンパクト集合 K ⊂ O で内側から近似される(μ(O) = sup μ(K))。 3. * G の任意の部分集合 S の測度 μ(S) は開集合 O ⊃ S で外側から近似される(μ(S) = inf μ(O))。 4. * G の元 g による左移動作用に関して任意の集合 S の測度は不変である(μ(g(S)) = μ(S))。 を全て満たすものを測度空間 (G, B) 上の左ハール測度と呼ぶ。一般に条件の 2-3 が満たされる測度は正則 (regular) であるといい、また不変性をいう条件 4 を右移動作用に関する不変性あるいは両側不変性に取り替えて、右ハール測度やハール測度が定義される。
  • En mathématiques, une mesure de Haar sur un groupe localement compact est une mesure de Borel quasi-régulière non nulle invariante par translation à gauche. Autrement dit, pour toute partie borélienne B de G, et pour tout g dans G, on a : . L'existence d'une mesure de Haar est assurée dans tout groupe localement compact. Elle est finie sur les parties compactes de G. De plus, toute mesure borélienne complexe invariante par translations à gauche s'écrit où
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