In operator theory, the Gelfand–Mazur theorem is a theorem named after Israel Gelfand and Stanisław Mazur which states that a Banach algebra with unit over the complex numbers in which every nonzero element is invertible is isometrically isomorphic to the complex numbers, i. e., the only complex Banach algebra that is a division algebra is the complex numbers C.
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| - Satz von Gelfand-Mazur (de)
- Gelfand–Mazur theorem (en)
- Théorème de Gelfand-Mazur (fr)
- Teorema di Gelfand-Mazur (it)
- ゲルファント＝マズールの定理 (ja)
- 겔판트-마주르 정리 (ko)
- Gelfand–Mazurs sats (sv)
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| - Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass die einzige -Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist. (de)
- Dans la théorie des opérateurs, le théorème de Gelfand-Mazur (démontré par Israel Gelfand et Stanisław Mazur) est le suivant : Théorème — Toute algèbre de Banach sur le corps des complexes qui est un corps est isomorphe au corps des complexes. (fr)
- 作用素環論において、ゲルファント＝マズールの定理(ゲルファント＝マズールのていり、英: Gelfand–Mazur theorem)とはバナッハ環の基本定理の一つである。単位元を持つ複素バナッハ環が可除環であれば、複素数体と同型であることを主張する。可換なバナッハ環におけるゲルファント理論において、基本的な役割を果たす。定理の名は、定理を導いたポーランドの数学者とロシアの数学者イズライル・ゲルファントに因む。1938年にマズールは実バナッハ環についての結果を証明なしで報告し、その後、1941年にゲルファントは複素バナッハ環における結果を示した。 (ja)
- Inom funktionalanalys är Gelfand–Mazurs sats en sats uppkallad efter Israel Gelfand och som säger följande: En komplex Banachalgebra med enhet 1 där varje element förutom noll är invertibelt är isometriskt isomorfiskt till mängden av komplexa tal. I andra ord är den enda komplexa Banachalgebran som är en mängden av komplexa tal C. (sv)
- In operator theory, the Gelfand–Mazur theorem is a theorem named after Israel Gelfand and Stanisław Mazur which states that a Banach algebra with unit over the complex numbers in which every nonzero element is invertible is isometrically isomorphic to the complex numbers, i. e., the only complex Banach algebra that is a division algebra is the complex numbers C. (en)
- In matematica, in particolare nell'area dell'analisi funzionale, il teorema di Gelfand-Mazur, così chiamato in onore di Israel Gelfand e Stanisław Mazur, è un teorema che stabilisce che ogni algebra di Banach complessa con unità che è anche un'algebra di divisione è isometricamente isomorfa all'algebra dei numeri complessi . (it)
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| - Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass die einzige -Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist. (de)
- In operator theory, the Gelfand–Mazur theorem is a theorem named after Israel Gelfand and Stanisław Mazur which states that a Banach algebra with unit over the complex numbers in which every nonzero element is invertible is isometrically isomorphic to the complex numbers, i. e., the only complex Banach algebra that is a division algebra is the complex numbers C. The theorem follows from the fact that the spectrum of any element of a complex Banach algebra is nonempty: for every element a of a complex Banach algebra A there is some complex number λ such that λ1 − a is not invertible. This is a consequence of the complex-analyticity of the resolvent function. By assumption, λ1 − a = 0. So a = λ · 1. This gives an isomorphism from A to C. The theorem can be strengthened to the claim that there are (up to isomorphism) exactly three real Banach division algebras: the field of reals R, the field of complex numbers C, and the division algebra of quaternions H. This result was proved first by Stanisław Mazur alone, but it was published in France without a proof, when the author refused the editor's request to shorten his proof. Gelfand (independently) published a proof of the complex case a few years later. (en)
- In matematica, in particolare nell'area dell'analisi funzionale, il teorema di Gelfand-Mazur, così chiamato in onore di Israel Gelfand e Stanisław Mazur, è un teorema che stabilisce che ogni algebra di Banach complessa con unità che è anche un'algebra di divisione è isometricamente isomorfa all'algebra dei numeri complessi . In altre parole, la sola algebra di Banach complessa che è anche un'algebra di divisione è , l'algebra dei complessi. Ciò segue dal fatto che, se è un'algebra di Banach complessa tale che ogni suo elemento non-nullo sia invertibile, allora lo spettro di ogni elemento di , che, come noto dalla teoria spettrale applicata alle algebre di Banach, è non-vuoto, contiene almeno un numero complesso tale che non è invertibile. Ma l'unico tale elemento in è 0, e quindi , ossia . Ciò fornisce l'isomorfismo tra e cercato. Un risultato più forte e difficile fu provato per primo soltanto da Stanislaw Mazur, ma fu pubblicato in Francia senza una dimostrazione, per il rifiuto da parte dell'autore della richiesta dell'editore di sintetizzare la già breve dimostrazione originale. Il teorema di Mazur asserisce che ci sono (a meno di isomorfismo) esattamente tre algebre di Banach reali che sono anche algebre di divisione: il campo dei reali , dei complessi , e quella non commutativa dei quaternioni . Gelfand ha dimostrato, indipendentemente, la versione più semplice e speciale del caso complesso alcuni anni dopo Mazur. Tuttavia è stato il lavoro di Gelfand ad influenzare gli sviluppi futuri nell'area. (it)
- Dans la théorie des opérateurs, le théorème de Gelfand-Mazur (démontré par Israel Gelfand et Stanisław Mazur) est le suivant : Théorème — Toute algèbre de Banach sur le corps des complexes qui est un corps est isomorphe au corps des complexes. (fr)
- 作用素環論において、ゲルファント＝マズールの定理(ゲルファント＝マズールのていり、英: Gelfand–Mazur theorem)とはバナッハ環の基本定理の一つである。単位元を持つ複素バナッハ環が可除環であれば、複素数体と同型であることを主張する。可換なバナッハ環におけるゲルファント理論において、基本的な役割を果たす。定理の名は、定理を導いたポーランドの数学者とロシアの数学者イズライル・ゲルファントに因む。1938年にマズールは実バナッハ環についての結果を証明なしで報告し、その後、1941年にゲルファントは複素バナッハ環における結果を示した。 (ja)
- Inom funktionalanalys är Gelfand–Mazurs sats en sats uppkallad efter Israel Gelfand och som säger följande: En komplex Banachalgebra med enhet 1 där varje element förutom noll är invertibelt är isometriskt isomorfiskt till mängden av komplexa tal. I andra ord är den enda komplexa Banachalgebran som är en mängden av komplexa tal C. (sv)
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