In mathematics, specifically in the calculus of variations, a variation δf of a function f can be concentrated on an arbitrarily small interval, but not a single point.Accordingly, the necessary condition of extremum (functional derivative equal zero) appears in a weak formulation (variational form) integrated with an arbitrary function δf. The fundamental lemma of the calculus of variations is typically used to transform this weak formulation into the strong formulation (differential equation), free of the integration with arbitrary function. The proof usually exploits the possibility to choose δf concentrated on an interval on which f keeps sign (positive or negative). Several versions of the lemma are in use. Basic versions are easy to formulate and prove. More powerful versions are use
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| - Fundamentallemma der Variationsrechnung (de)
- Fundamental lemma of calculus of variations (en)
- Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni (it)
- Lemme fondamental du calcul des variations (fr)
- Lema fundamental do cálculo das variações (pt)
- Основная лемма вариационного исчисления (ru)
- 變分法基本引理 (zh)
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| - Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Friedrich Ludwig Stegmann l'a énoncé en 1854 et justifié par un argument très succinct et incorrect ; auparavant, Joseph-Louis Lagrange l'avait tenu pour allant de soi et ses successeurs jusqu'à Stegmann auraient fait de même. Des démonstrations correctes ont été obtenues par Eduard Heine en 1870 et Paul David Gustave du Bois-Reymond en 1879. Des généralisations très importantes de ce lemme ont été réalisées : par Du Bois-Reymond, en 1879 également (lemme de Du Bois-Reymond) ; et par Alfréd Haar, entre 1926 et 1929 (lemme de Haar). Ces différents lemmes et leurs applications sont présentés dans ce qui suit. (fr)
- In matematica, in particolare nel calcolo delle variazioni, il Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni è un lemma che consente di trasformare un problema di variazioni dalla forma debole (variazionale) alla forma forte (differenziale), al fine di poter applicare tutti gli strumenti matematici del calcolo differenziale al problema. Un importante esempio di applicazione del lemma è la derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange dal principio variazionale di Hamilton. (it)
- Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать. (ru)
- Em matemática, em especial em cálculo das variações, o lema fundamental dos cálculos da variações ou do cálculo variacional é uma lema que é tipicamente utilizado para transformar um problema em sua (forma variacional) na sua forma forte (equação diferencial). Seja f uma função de classe no intervalo [a,b]. Supomos ainda que para toda função h que de classe em [a,b] com h(a) = h(b) = 0. Então, o lema fundamental do cálculo das variações afirma que f(x) é identicamente nula no intervalo aberto (a,b). (pt)
- 在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從（weak formulation）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。 (zh)
- In der Variationsrechnung spielt das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit Fundamentalsatz der Variationsrechnung benannt, fällt jedoch nicht mit diesem zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird. In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage: (de)
- In mathematics, specifically in the calculus of variations, a variation δf of a function f can be concentrated on an arbitrarily small interval, but not a single point.Accordingly, the necessary condition of extremum (functional derivative equal zero) appears in a weak formulation (variational form) integrated with an arbitrary function δf. The fundamental lemma of the calculus of variations is typically used to transform this weak formulation into the strong formulation (differential equation), free of the integration with arbitrary function. The proof usually exploits the possibility to choose δf concentrated on an interval on which f keeps sign (positive or negative). Several versions of the lemma are in use. Basic versions are easy to formulate and prove. More powerful versions are use (en)
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| - In der Variationsrechnung spielt das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit Fundamentalsatz der Variationsrechnung benannt, fällt jedoch nicht mit diesem zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird. In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage: Sei ein kompaktes reelles Intervall und sei eine stetige Funktion.Es gelte für jede stetig differenzierbare Funktion mit :Dann ist die Nullfunktion. Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht, lautet wie folgt: Sei eine offene Teilmenge des und sei eine lokal integrierbare Funktion.Es gelte für jede unendlich oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger:Dann gilt fast überall. Für eine unmittelbare Anwendung beachte, dass eine lokal integrierbare Funktion durch die Formel eine Distribution auf definiert. Nach obigem Lemma sind zwei solche Distributionen und genau dann gleich, wenn und fast überall übereinstimmen (zum Beweis betrachte man ). (de)
- In mathematics, specifically in the calculus of variations, a variation δf of a function f can be concentrated on an arbitrarily small interval, but not a single point.Accordingly, the necessary condition of extremum (functional derivative equal zero) appears in a weak formulation (variational form) integrated with an arbitrary function δf. The fundamental lemma of the calculus of variations is typically used to transform this weak formulation into the strong formulation (differential equation), free of the integration with arbitrary function. The proof usually exploits the possibility to choose δf concentrated on an interval on which f keeps sign (positive or negative). Several versions of the lemma are in use. Basic versions are easy to formulate and prove. More powerful versions are used when needed. (en)
- Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Friedrich Ludwig Stegmann l'a énoncé en 1854 et justifié par un argument très succinct et incorrect ; auparavant, Joseph-Louis Lagrange l'avait tenu pour allant de soi et ses successeurs jusqu'à Stegmann auraient fait de même. Des démonstrations correctes ont été obtenues par Eduard Heine en 1870 et Paul David Gustave du Bois-Reymond en 1879. Des généralisations très importantes de ce lemme ont été réalisées : par Du Bois-Reymond, en 1879 également (lemme de Du Bois-Reymond) ; et par Alfréd Haar, entre 1926 et 1929 (lemme de Haar). Ces différents lemmes et leurs applications sont présentés dans ce qui suit. (fr)
- In matematica, in particolare nel calcolo delle variazioni, il Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni è un lemma che consente di trasformare un problema di variazioni dalla forma debole (variazionale) alla forma forte (differenziale), al fine di poter applicare tutti gli strumenti matematici del calcolo differenziale al problema. Un importante esempio di applicazione del lemma è la derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange dal principio variazionale di Hamilton. (it)
- Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать. (ru)
- Em matemática, em especial em cálculo das variações, o lema fundamental dos cálculos da variações ou do cálculo variacional é uma lema que é tipicamente utilizado para transformar um problema em sua (forma variacional) na sua forma forte (equação diferencial). Seja f uma função de classe no intervalo [a,b]. Supomos ainda que para toda função h que de classe em [a,b] com h(a) = h(b) = 0. Então, o lema fundamental do cálculo das variações afirma que f(x) é identicamente nula no intervalo aberto (a,b). (pt)
- 在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從（weak formulation）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。 (zh)
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