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In mathematics, Faulhaber's formula, named after Johann Faulhaber, expresses the sum of the p-th powers of the first n positive integers as a (p + 1)th-degree polynomial function of n, the coefficients involving Bernoulli numbers Bj. The formula says For example, the case p = 1 is There is also a similar (but somehow simpler) expression: using the idea of telescoping and the binomial theorem, one gets Pascal's identity: . This in particular yields the examples below, e.g., take k = 1 to get the first example.

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  • صيغة فاولهابر
  • Faulhabersche Formel
  • Fórmula de Faulhaber
  • Faulhaber's formula
  • Formule de Faulhaber
  • Somma di potenze di interi successivi
  • ファウルハーバーの公式
  • Formule van Faulhaber
  • 等幂求和
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  • Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber von D. E. Knuth, beschreibt, wie sich die Summe der ersten -ten Potenzen mit einem Polynom in vom Grad berechnen lässt. Die Koeffizienten des Polynoms können dabei mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen berechnet werden.
  • En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme comme une fonction polynomiale de n de degré p + 1, les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli : Les coefficients qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés ).
  • ファウルハーバーの公式(ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula)は、最初の n 個の k 乗数の和 を、ベルヌーイ数を用いて n の多項式で表す公式である。冪乗和についての研究をした、17世紀のドイツの数学者ヨハン・ファウルハーバーの名が冠されているが、ベルヌーイ数を発見して初めて公式を与えたのは関孝和およびヤコブ・ベルヌーイである。「ファウルハーバーの公式」という呼称は必ずしも一般的ではなく、ベルヌーイの公式、または内容を直接的に表現して冪乗和の公式などと呼ばれることもある。
  • 等幂求和,求幂数相同的变数之和 。
  • في الرياضيات, صيغة فاولابر, المسماة على اسم جوهان فاولابر, تعبر عن المجموع: بأنه دالة كثيرة الحدود في n, ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي. ملاحظة: تكون أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هي: حيث بدلا من ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا, بأن B1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع). تنص الصيغة أن (المعامل j يعمل فقط حتى p، وليس حتى p + 1).
  • In mathematics, Faulhaber's formula, named after Johann Faulhaber, expresses the sum of the p-th powers of the first n positive integers as a (p + 1)th-degree polynomial function of n, the coefficients involving Bernoulli numbers Bj. The formula says For example, the case p = 1 is There is also a similar (but somehow simpler) expression: using the idea of telescoping and the binomial theorem, one gets Pascal's identity: . This in particular yields the examples below, e.g., take k = 1 to get the first example.
  • En Matemáticas, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expresa la suma de las potencias de los primeros n números naturales como un polinomio en n de grado cuyos coeficientes se construyen a partir de los números de Bernoulli: . La fórmula es la siguiente: Faulhaber no conoció nunca esta fórmula general, lo que él sí que conoció fueron al menos los primeros 17 casos y el hecho de que, si el exponente es impar, entonces la suma es una función polinomial de la suma en el caso especial en el que el exponente sea 1. Él también hizo algunas generalizaciones (véase Knuth).
  • Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi dove m ed n denotano numeri interi positivi.Si osserva che la precedente espressione definisce una successione a due indiciinteri a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme . Si dimostra facilmente in vari modi che Risulta abbastanza agevole anche trovare che Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per induzione; la seconda è il teorema di Nicomaco. È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori n degli esponenti. . per pari, o a
  • In de wiskunde drukt de formule van Faulhaber, genoemd naar Johann Faulhaber, de som uit als een (p + 1)de-graads polynomiale functie van n, waar de coëfficiënten te maken hebben met Bernoulli-getallen. Merk op: in de meest gangbare conventie zijn de Bernoulli-getallen. Maar voor het moment volgen we een minder bekende conventie, dat , waar alle andere Bernoulli-getallen hetzelfde blijven als hierboven (zie hieronder voor meer hierover). De formule zegt (de index j loopt maar tot p, niet tot p + 1).
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  • في الرياضيات, صيغة فاولابر, المسماة على اسم جوهان فاولابر, تعبر عن المجموع: بأنه دالة كثيرة الحدود في n, ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي. ملاحظة: تكون أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هي: حيث بدلا من ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا, بأن B1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع). تنص الصيغة أن (المعامل j يعمل فقط حتى p، وليس حتى p + 1). لم يعلم فاولابر أن الصيغة بهذا الشكل. كان على الأقل قد عرف الـ17 حالة الأولى والحقيقة القائلة بأنه عندما يكون الأس فردي, فإن المجموع يصبح كثيرة حدود للمجموع في الخالة الخاصة حين يكون الأسis 1، كما كان أيضا قد علم ببعض التعميمات الجديرة بالملاحظة.إن اشتقاق صيغة فاولابر متوفر في كتاب الأرقام (The Book of Numbers) لـجون هورتون كونوي ورتشارد غاي.
  • En Matemáticas, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expresa la suma de las potencias de los primeros n números naturales como un polinomio en n de grado cuyos coeficientes se construyen a partir de los números de Bernoulli: . La fórmula es la siguiente: Faulhaber no conoció nunca esta fórmula general, lo que él sí que conoció fueron al menos los primeros 17 casos y el hecho de que, si el exponente es impar, entonces la suma es una función polinomial de la suma en el caso especial en el que el exponente sea 1. Él también hizo algunas generalizaciones (véase Knuth). La demostración de la fórmula de Faulhaber se puede encontrar en The Book of Numbers de John Horton Conway y Richard Guy.
  • Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber von D. E. Knuth, beschreibt, wie sich die Summe der ersten -ten Potenzen mit einem Polynom in vom Grad berechnen lässt. Die Koeffizienten des Polynoms können dabei mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen berechnet werden.
  • En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme comme une fonction polynomiale de n de degré p + 1, les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli : Les coefficients qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés ).
  • Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi dove m ed n denotano numeri interi positivi.Si osserva che la precedente espressione definisce una successione a due indiciinteri a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme . Si dimostra facilmente in vari modi che Risulta abbastanza agevole anche trovare che Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per induzione; la seconda è il teorema di Nicomaco. Si osserva che la somma delle potenze m-esime dei primi n interi positiviè data da un polinomio di grado m+1 nella n a coefficienti razionali.In effetti Carl Jacobi nel 1834 ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi. Si osserva anche che, soprattutto se n è elevato, la valutazione delle somme effettuata mediante il calcolo di questi polinomi è molto più agevole della valutazione effettuata servendosi direttamente della definizione. È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori n degli esponenti. Le espressioni per i successivi valori di n furono individuate da Johann Faulhaber e pubblicate nel 1631 e una espressione generale, conosciuta come formula di Faulhaber è stata dimostrata da Jacobi. In questa e altre formule intervengono i numeri di Bernoulli ed i polinomi di Bernoulli . La tavola delle espressioni polinomiali prosegue per m = 4, 5, ..., 10 nel seguente modo: I polinomi che si ottengono hanno come fattori per pari, o per dispari; inoltre sono simmetrici rispetto a , nel senso che se si sostituisce a , si ottiene lo stesso polinomio se è dispari o il polinomio opposto se è pari.
  • In mathematics, Faulhaber's formula, named after Johann Faulhaber, expresses the sum of the p-th powers of the first n positive integers as a (p + 1)th-degree polynomial function of n, the coefficients involving Bernoulli numbers Bj. The formula says For example, the case p = 1 is Faulhaber himself did not know the formula in this form, but only computed the first seventeen polynomials; the general form was established with the discovery of the Bernoulli numbers (see History section below). The derivation of Faulhaber's formula is available in The Book of Numbers by John Horton Conway and Richard K. Guy. There is also a similar (but somehow simpler) expression: using the idea of telescoping and the binomial theorem, one gets Pascal's identity: . This in particular yields the examples below, e.g., take k = 1 to get the first example.
  • In de wiskunde drukt de formule van Faulhaber, genoemd naar Johann Faulhaber, de som uit als een (p + 1)de-graads polynomiale functie van n, waar de coëfficiënten te maken hebben met Bernoulli-getallen. Merk op: in de meest gangbare conventie zijn de Bernoulli-getallen. Maar voor het moment volgen we een minder bekende conventie, dat , waar alle andere Bernoulli-getallen hetzelfde blijven als hierboven (zie hieronder voor meer hierover). De formule zegt (de index j loopt maar tot p, niet tot p + 1). In deze vorm kende Faulhaber de formule niet. Hij kende ten minste de eerste 17 gevallen en het feit dat wanneer de exponent oneven is, dat de som een polynomiale functie van de som is in het bijzondere geval dat de exponent gelijk is aan 1. Hij kende ook een aantal opmerkelijke veralgemeningen (zie Knuth). De afleiding van de formule van Faulhaber is beschikbaar in The Book of Numbers door John Horton Conway en Richard Guy.
  • ファウルハーバーの公式(ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula)は、最初の n 個の k 乗数の和 を、ベルヌーイ数を用いて n の多項式で表す公式である。冪乗和についての研究をした、17世紀のドイツの数学者ヨハン・ファウルハーバーの名が冠されているが、ベルヌーイ数を発見して初めて公式を与えたのは関孝和およびヤコブ・ベルヌーイである。「ファウルハーバーの公式」という呼称は必ずしも一般的ではなく、ベルヌーイの公式、または内容を直接的に表現して冪乗和の公式などと呼ばれることもある。
  • 等幂求和,求幂数相同的变数之和 。
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  • Carl Gustav Jacob Jacobi
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  • Faulhaber's formula
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