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In mathematics, the Euler numbers are a sequence En of integers (sequence A122045 in the OEIS) defined by the Taylor series expansion , where cosh t is the hyperbolic cosine. The Euler numbers appear as a special value of the Euler polynomials. The odd-indexed Euler numbers are all zero. The even-indexed ones (sequence A028296 in the OEIS) have alternating signs. Some values are: E0 = 1E2 = −1E4 = 5E6 = −61E8 = 1,385E10 = −50,521E12 = 2,702,765E14 = −199,360,981E16 = 19,391,512,145E18 = −2,404,879,675,441

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  • Euler number
  • عدد أويلر
  • Eulersche Zahlen
  • Número de Euler
  • Nombre d'Euler
  • Numero di Eulero (teoria dei numeri)
  • オイラー数
  • Eulergetal (getaltheorie)
  • 欧拉数
  • Эйлеровы числа
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  • من أجل مزيد من الدقة، انظر إلى قائمة المواضيع المنسوبة إلى ليونهارد أويلر#أعداد أويلر. في نظرية الأعداد، أعداد أويلر هي متتالية En من الأعداد الصحيحة, معرفة بمتسلسلة تايلور التالية:
  • Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus definiert sind.Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k).
  • Pour les articles homonymes, voir Nombres d'Euler. Les nombres d'Euler En forment une suite d'entiers naturels définis par le développement en série de Taylor suivant : On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres zig-zag.
  • En matemáticas, en el área de la teoría de números, los números de Euler son una secuencia En de números enteros definidos por el siguiente desarrollo de la serie de Taylor: donde t es el ángulo del coseno hiperbólico. Los números de Euler aparecen como un valor especial en los polinomios de Euler. Algunos matemáticos alteran los desarrollos para así poder evitar los ceros derivados de los valores impares y para convertir todos los valores en números positivos. Los números de Euler aparecen en los desarrollos de Taylor de la secante y de la secante hiperbólica.
  • オイラー数は、双曲線正割関数のテイラー展開における展開係数として定義される。 形式的には、テイラー級数: における がオイラー数である。 この数列は整数であり、奇数項がすべて 0、偶数項の符号が交互に切り替わることが特徴である。 双曲線正割関数の代わりに、三角関数の正割関数: の展開級数 (セカント数) をオイラー数と呼ぶこともある。 なお、 の関係が成立し、必ず正の整数となる。
  • 歐拉數En是一個整數數列,由下列泰勒級數展開式定義: 奇數項的歐拉數皆為零,偶數項的歐拉數正負相間,開首為: E0 = 1 E2 = -1E4 = 5E6 = -61E8 = 1,385E10 = -50,521E12 = 2,702,765E14 = -199,360,981E16 = 19,391,512,145E18 = -2,404,879,675,441 (OEIS中的数列A028296) 部份作者會把數列中的奇數項移除,只替偶數項編序,並且把負號轉為正號。这里依從上段所用的慣例。 歐拉數在正割sec x和雙曲正割sech x的泰勒級數出現。雙曲正割就是定義中使用的函數。組合數學也會用到歐拉數。此外,在关于自然数负幂的交错和中也涉及到欧拉数。 歐拉多項式是以歐拉數構造。
  • Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа , являющиеся коэффициентами степенного ряда . Здесь ch(t) обозначает rиперболический косинус. Так как функция ch(t) чётная, то Начальные числа Эйлера с чётными индексами (последовательность A028296 в OEIS): E0 = 1E2 = −1E4 = 5E6 = −61E8 = 1358E10 = −50521 Эйлеровы числа связаны с числами Бернулли следующими соотношениями. (После раскрытия скобок степень числа B следует заменить на индекс.)
  • In mathematics, the Euler numbers are a sequence En of integers (sequence A122045 in the OEIS) defined by the Taylor series expansion , where cosh t is the hyperbolic cosine. The Euler numbers appear as a special value of the Euler polynomials. The odd-indexed Euler numbers are all zero. The even-indexed ones (sequence A028296 in the OEIS) have alternating signs. Some values are: E0 = 1E2 = −1E4 = 5E6 = −61E8 = 1,385E10 = −50,521E12 = 2,702,765E14 = −199,360,981E16 = 19,391,512,145E18 = −2,404,879,675,441
  • In matematica, ed in particolare in teoria dei numeri e in combinatoria, i numeri di Eulero En sono i componenti di una successione di interi che possono essere definiti dal seguente sviluppo in serie di Maclaurin della funzione secante iperbolica: dove con cosh t si denota la funzione coseno iperbolico. I numeri di Eulero di indice dispari sono tutti nulli. Quelli di indice pari hanno segno alternato. Alcuni valori sono: E0 = 1 E2 = −1E4 = 5E6 = −61E8 = 1 385E10 = −50 521E12 = 2 702 765E14 = −199 360 981E16 = 19 391 512 145E18 = −2 404 879 675 441
  • In de getaltheorie binnen de wiskunde, is een eulergetal En een geheel getal voorkomend in de maclaurinreeks–ontwikkeling van de secans hyperbolicus: met cosh(t) de cosinus hyperbolicus en sech(t) de secans hyperbolicus, beide hyperbolische functies. De eulergetallen met oneven index zijn alle gelijk aan nul. De opeenvolgende eulergetallen met een even index hebben een wisselend (alternerend) teken . De eerste termen van de rij zijn: De eulergetallen zijn vernoemd naar Leonhard Euler (1707-1783).
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  • In mathematics, the Euler numbers are a sequence En of integers (sequence A122045 in the OEIS) defined by the Taylor series expansion , where cosh t is the hyperbolic cosine. The Euler numbers appear as a special value of the Euler polynomials. The odd-indexed Euler numbers are all zero. The even-indexed ones (sequence A028296 in the OEIS) have alternating signs. Some values are: E0 = 1E2 = −1E4 = 5E6 = −61E8 = 1,385E10 = −50,521E12 = 2,702,765E14 = −199,360,981E16 = 19,391,512,145E18 = −2,404,879,675,441 Some authors re-index the sequence in order to omit the odd-numbered Euler numbers with value zero, and/or change all signs to positive. This article adheres to the convention adopted above. The Euler numbers appear in the Taylor series expansions of the secant and hyperbolic secant functions. The latter is the function in the definition. They also occur in combinatorics, specifically when counting the number of alternating permutations of a set with an even number of elements.
  • من أجل مزيد من الدقة، انظر إلى قائمة المواضيع المنسوبة إلى ليونهارد أويلر#أعداد أويلر. في نظرية الأعداد، أعداد أويلر هي متتالية En من الأعداد الصحيحة, معرفة بمتسلسلة تايلور التالية:
  • Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus definiert sind.Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k).
  • Pour les articles homonymes, voir Nombres d'Euler. Les nombres d'Euler En forment une suite d'entiers naturels définis par le développement en série de Taylor suivant : On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres zig-zag.
  • En matemáticas, en el área de la teoría de números, los números de Euler son una secuencia En de números enteros definidos por el siguiente desarrollo de la serie de Taylor: donde t es el ángulo del coseno hiperbólico. Los números de Euler aparecen como un valor especial en los polinomios de Euler. Algunos matemáticos alteran los desarrollos para así poder evitar los ceros derivados de los valores impares y para convertir todos los valores en números positivos. Los números de Euler aparecen en los desarrollos de Taylor de la secante y de la secante hiperbólica.
  • オイラー数は、双曲線正割関数のテイラー展開における展開係数として定義される。 形式的には、テイラー級数: における がオイラー数である。 この数列は整数であり、奇数項がすべて 0、偶数項の符号が交互に切り替わることが特徴である。 双曲線正割関数の代わりに、三角関数の正割関数: の展開級数 (セカント数) をオイラー数と呼ぶこともある。 なお、 の関係が成立し、必ず正の整数となる。
  • In matematica, ed in particolare in teoria dei numeri e in combinatoria, i numeri di Eulero En sono i componenti di una successione di interi che possono essere definiti dal seguente sviluppo in serie di Maclaurin della funzione secante iperbolica: dove con cosh t si denota la funzione coseno iperbolico. I numeri di Eulero di indice dispari sono tutti nulli. Quelli di indice pari hanno segno alternato. Alcuni valori sono: E0 = 1 E2 = −1E4 = 5E6 = −61E8 = 1 385E10 = −50 521E12 = 2 702 765E14 = −199 360 981E16 = 19 391 512 145E18 = −2 404 879 675 441 Regola pratica: se l'indice è divisibile per 4, allora il numero di Eulero è positivo. In caso contrario, è negativo. Alcuni autori re-indicizzano la successione per escludere i termini dispari (tutti nulli), e/o cambiano i segni per avere tutti i segni positivi. Qui non ci si attiene a tali convenzioni. È da notare che, a partire da E4, tutti i numeri di Eulero con segno positivo sono divisibili per 5. Quelli con segno negativo sono per la maggior parte numeri composti (scomponibili in fattori primi), ma alcuni sono numeri primi. Oltre a E4 = 5, unico numero di Eulero positivo primo, sono primi, per esempio, i numeri E6 = −61, ed E38 = −23 489 580 527 043 108 252 017 828 576 198 947 741. I numeri di Eulero compaiono anche negli sviluppi in serie di Maclaurin della secante. Essi inoltre forniscono valori speciali dei polinomi di Eulero e sono collegati ai numeri delle permutazioni alternate. Va ricordato che al nome di Eulero sono associate varie altre entità numeriche: * il numero e, * la costante di Eulero-Mascheroni, * la caratteristica di Eulero della topologia algebrica e della combinatoria dei poliedri, * la successione a due indici dei numeri euleriani, * il numero di Eulero (fisica) della fluidodinamica.
  • In de getaltheorie binnen de wiskunde, is een eulergetal En een geheel getal voorkomend in de maclaurinreeks–ontwikkeling van de secans hyperbolicus: met cosh(t) de cosinus hyperbolicus en sech(t) de secans hyperbolicus, beide hyperbolische functies. De eulergetallen met oneven index zijn alle gelijk aan nul. De opeenvolgende eulergetallen met een even index hebben een wisselend (alternerend) teken . De eerste termen van de rij zijn: Sommige auteurs hernummeren de rij, om de oneven eulergetallen met waarde nul kwijt te raken, en/of veranderen de schrijfwijze van de rij zodanig dat alle tekens positief worden. Hier wordt de hierboven gebruikte conventie aangehouden (Abramowitz en Stegun, 1972). De eulergetallen komen onder andere voor in de maclaurinreeks–ontwikkelingen van de secans– en secans–hyperbolicus–functies. De laatstgenoemde is de functie die voorkomt in de bovenstaande definitie. Deze functies komen ook voor in de combinatoriek, onder andere bij de alternerende permutatie. De eulergetallen zijn vernoemd naar Leonhard Euler (1707-1783).
  • 歐拉數En是一個整數數列,由下列泰勒級數展開式定義: 奇數項的歐拉數皆為零,偶數項的歐拉數正負相間,開首為: E0 = 1 E2 = -1E4 = 5E6 = -61E8 = 1,385E10 = -50,521E12 = 2,702,765E14 = -199,360,981E16 = 19,391,512,145E18 = -2,404,879,675,441 (OEIS中的数列A028296) 部份作者會把數列中的奇數項移除,只替偶數項編序,並且把負號轉為正號。这里依從上段所用的慣例。 歐拉數在正割sec x和雙曲正割sech x的泰勒級數出現。雙曲正割就是定義中使用的函數。組合數學也會用到歐拉數。此外,在关于自然数负幂的交错和中也涉及到欧拉数。 歐拉多項式是以歐拉數構造。
  • Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа , являющиеся коэффициентами степенного ряда . Здесь ch(t) обозначает rиперболический косинус. Так как функция ch(t) чётная, то Начальные числа Эйлера с чётными индексами (последовательность A028296 в OEIS): E0 = 1E2 = −1E4 = 5E6 = −61E8 = 1358E10 = −50521 Эйлеровы числа связаны с числами Бернулли следующими соотношениями. (После раскрытия скобок степень числа B следует заменить на индекс.)
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