The Crooks fluctuation theorem (CFT), sometimes known as the Crooks equation, is an equation in statistical mechanics that relates the work done on a system during a non-equilibrium transformation to the free energy difference between the final and the initial state of the transformation. During the non-equilibrium transformation the system is at constant volume and in contact with a heat reservoir. The CFT is named after the chemist Gavin E. Crooks (then at University of California, Berkeley) who discovered it in 1998. The CFT equation reads as follows: The CFT implies the Jarzynski equality.
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| - Crooks-Fluktuationstheorem (de)
- Crooks fluctuation theorem (en)
- クルックスの揺動定理 (ja)
- Crooks涨落定理 (zh)
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| - The Crooks fluctuation theorem (CFT), sometimes known as the Crooks equation, is an equation in statistical mechanics that relates the work done on a system during a non-equilibrium transformation to the free energy difference between the final and the initial state of the transformation. During the non-equilibrium transformation the system is at constant volume and in contact with a heat reservoir. The CFT is named after the chemist Gavin E. Crooks (then at University of California, Berkeley) who discovered it in 1998. The CFT equation reads as follows: The CFT implies the Jarzynski equality. (en)
- Das Fluktuationstheorem von Crooks, oder kürzer Crooks-Fluktuationstheorem (CFT), ist eine Gleichung der statistischen Physik, genauer der Nichtgleichgewichtsthermodynamik. Gegenstand des Theorems ist die Entwicklung eines physikalischen Systems in der Zeit von einem Anfangszustand zu einem Endzustand und die umgekehrte Entwicklung mit vertauschtem Anfangs- und Endzustand. Es können dabei auch externe Parameter auf das System einwirken, deren Werte dann beim Rückwärtsprozess in umgekehrter Reihenfolge auftreten. (de)
- クルックスの揺動定理（クルックスのようどうていり、英: Crooks fluctuation theorem、略称CFT; クルックスの揺らぎの定理）は、非平衡変換中に系に成された仕事と変換の終状態と始状態との間の自由エネルギー差を結び付ける統計力学における方程式である。クルックス方程式（Crooks equation、略称CE）と呼ばれることもある。非平衡変換中に、系は定積であり、と接触している。CFTは、1998年にこれを発見したにちなんで名付けられた。 CFTの最も一般的言明は、時空間軌跡の確率と軌跡の時間反転の確率を結び付ける。本定理は、もし系の動力学がを満たすならば、エントロピーを生成することを考えると、順方向の時間軌跡の方が逆方向よりも指数関数的に可能性が高い、と述べる。 構成粒子の直交座標（例えば、2つの粒子間の距離）の関数として系の一般的反応座標を定義すると、反応座標経路に沿った全ての点を、とがの2つのアンサンブルに対応するようなパラメータによって特徴付けることができる。任意の時間スケジューリングに従ってがゼロから1に外部的に駆動される動的過程は「順方向変換」と呼ばれるのに対して、時間反転経路は「逆方向変換」と呼ばれる。これらの定義を所与として、CFTは以下の5つの量の間の関係を定める。 CFT方程式は次の通りである。 CFTはジャルジンスキー等式を必然的に含む。 (ja)
- Crooks涨落定理（或称Crooks方程）是一个统计力学中的关系，讲的是在一个非平衡过程中（保持系统体积不变并与热库接触），初态末态自由能之差与在此过程中对系统做功的关系，由化学家（当时在加州大学）于1998年提出。 具体而言，涨落定理讲的是，考虑态空间中一条轨迹，其时间反演轨迹记为，那么，如果这个系统的演化满足，则正向轨迹与反演轨迹出现的几率为： . 是熵产生。 考虑非平衡系统中的一个演化过程，以参数来标记， 和 分别对应于初态和末态（分别是两个由微观态构成的统计综），从到的演化过程被称作“正向”演化，其时间反演路径被称作“逆向”演化。Crooks方程讨论的是以下几个物理量之间的关系：
* ：指的是初态（即）系统处于微观态，且通过“正向”演化在末态（）到达微观态的联合几率
* ：指的是系统在末态（）处于微观态，且通过“逆向”演化在初态（）到达微观态的联合几率
* ，这里是Boltzmann常数，是热库的温度
* ，指的是在正向演化过程中(从到)对系统做的功
* ，指的是微观态和的Helmholtz自由能之差。 这样Crooks涨落定理就写为： 在上面的方程中，表示在正向演化中的耗散功。若演化过程无穷缓慢，则正反向的几率与相等，这也就回归到平衡热力学的变换，这时，而耗散功为零 = 0。 Crooks涨落关系还可以推导出Jarzynski恒等式. (zh)
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| - Das Fluktuationstheorem von Crooks, oder kürzer Crooks-Fluktuationstheorem (CFT), ist eine Gleichung der statistischen Physik, genauer der Nichtgleichgewichtsthermodynamik. Gegenstand des Theorems ist die Entwicklung eines physikalischen Systems in der Zeit von einem Anfangszustand zu einem Endzustand und die umgekehrte Entwicklung mit vertauschtem Anfangs- und Endzustand. Es können dabei auch externe Parameter auf das System einwirken, deren Werte dann beim Rückwärtsprozess in umgekehrter Reihenfolge auftreten. Das Theorem erlaubt es, das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten für solche Vorwärts- und Rückwärtsprozesse durch einfachere Größen auszudrücken. Das CFT ist benannt nach dem Chemiker , der es 1998 entdeckte. (de)
- The Crooks fluctuation theorem (CFT), sometimes known as the Crooks equation, is an equation in statistical mechanics that relates the work done on a system during a non-equilibrium transformation to the free energy difference between the final and the initial state of the transformation. During the non-equilibrium transformation the system is at constant volume and in contact with a heat reservoir. The CFT is named after the chemist Gavin E. Crooks (then at University of California, Berkeley) who discovered it in 1998. The most general statement of the CFT relates the probability of a space-time trajectory to the time-reversal of the trajectory . The theorem says if the dynamics of the system satisfies microscopic reversibility, then the forward time trajectory is exponentially more likely than the reverse, given that it produces entropy, If one defines a generic reaction coordinate of the system as a function of the Cartesian coordinates of the constituent particles ( e.g. , a distance between two particles), one can characterize every point along the reaction coordinate path by a parameter , such that and correspond to two ensembles of microstates for which the reaction coordinate is constrained to different values. A dynamical process where is externally driven from zero to one, according to an arbitrary time scheduling, will be referred as forward transformation , while the time reversal path will be indicated as backwardtransformation. Given these definitions, the CFT sets a relation between the following five quantities:
* , i.e. the joint probability of taking a microstate from the canonical ensemble corresponding to and of performing the forward transformation to the microstate corresponding to ;
* , i.e. the joint probability of taking the microstate from the canonical ensemble corresponding to and of performing the backward transformation to the microstate corresponding to ;
* , where is the Boltzmann constant and the temperature of the reservoir;
* , i.e. the work done on the system during the forward transformation (from to );
* , i.e. the Helmholtz free energy difference between the state and , represented by the canonical distribution of microstates having and , respectively. The CFT equation reads as follows: In the previous equation the difference corresponds to the work dissipated in the forward transformation, . The probabilities and become identical when the transformation is performed at infinitely slow speed, i.e. for equilibrium transformations. In such cases, and Using the time reversal relation , and grouping together all the trajectories yielding the same work (in the forward and backward transformation), i.e. determining the probability distribution (or density) of an amount of work being exerted by a random system trajectory from to , we can write the above equation in terms of the work distribution functions as follows Note that for the backward transformation, the work distribution function must be evaluated by taking the work with the opposite sign. The two work distributions for the forward and backward processes cross at . This phenomenon has been experimentally verified using optical tweezers for theprocess of unfolding and refolding of a small RNA hairpin and an RNA three-helix junction. The CFT implies the Jarzynski equality. (en)
- クルックスの揺動定理（クルックスのようどうていり、英: Crooks fluctuation theorem、略称CFT; クルックスの揺らぎの定理）は、非平衡変換中に系に成された仕事と変換の終状態と始状態との間の自由エネルギー差を結び付ける統計力学における方程式である。クルックス方程式（Crooks equation、略称CE）と呼ばれることもある。非平衡変換中に、系は定積であり、と接触している。CFTは、1998年にこれを発見したにちなんで名付けられた。 CFTの最も一般的言明は、時空間軌跡の確率と軌跡の時間反転の確率を結び付ける。本定理は、もし系の動力学がを満たすならば、エントロピーを生成することを考えると、順方向の時間軌跡の方が逆方向よりも指数関数的に可能性が高い、と述べる。 構成粒子の直交座標（例えば、2つの粒子間の距離）の関数として系の一般的反応座標を定義すると、反応座標経路に沿った全ての点を、とがの2つのアンサンブルに対応するようなパラメータによって特徴付けることができる。任意の時間スケジューリングに従ってがゼロから1に外部的に駆動される動的過程は「順方向変換」と呼ばれるのに対して、時間反転経路は「逆方向変換」と呼ばれる。これらの定義を所与として、CFTは以下の5つの量の間の関係を定める。
* 、すなわち、に対応する正準集団（カノニカルアンサンブル）から微視的状態を取る同時確率と、に対応する微視的状態への順方向変換を実行する同時確率;
* 、すなわち、に対応する正準集団から微視的状態を取る同時確率と、に対応する微視的状態への逆方向変換を実行する同時確率;
* 。はボルツマン定数、は熱浴の温度;
* 、すなわち、順方向変換（から）中に系に成される仕事;
* 、すなわち、状態ととの間のヘルムホルツの自由エネルギー差。およぎを有する微視的状態の正準分布によって表わされる。 CFT方程式は次の通りである。 この方程式において、差は順方向変換中に散逸した仕事に対応する。確率およびはこの変換が無限に遅い速さで行われた時、すなわち平衡変換時に同一となる。こういった場合、、となる。 時間反転関係を使い、（順方向変換と逆方向変換で）同じ仕事を得る全ての軌跡をグループ化する、すなわちからへのランダムな系の軌跡によって行使される仕事の量の確率分布（または密度）を決定すると、上記の方程式を仕事分布関数の観点から以下のように書くことができる。 ここで留意すべきは、逆方向変換について、仕事分布関数は逆符号を持つ仕事を取ることにとて評価されなければならない点である。順方向および逆方向過程に対する2つの仕事分布はで交差する。この現象は小さなRNAヘアピンおよびRNA三重らせん連結のアンフォールディングおよびフォールディング（折り畳み）の過程について光ピンセットを使って実験的に検証されている。 CFTはジャルジンスキー等式を必然的に含む。 (ja)
- Crooks涨落定理（或称Crooks方程）是一个统计力学中的关系，讲的是在一个非平衡过程中（保持系统体积不变并与热库接触），初态末态自由能之差与在此过程中对系统做功的关系，由化学家（当时在加州大学）于1998年提出。 具体而言，涨落定理讲的是，考虑态空间中一条轨迹，其时间反演轨迹记为，那么，如果这个系统的演化满足，则正向轨迹与反演轨迹出现的几率为： . 是熵产生。 考虑非平衡系统中的一个演化过程，以参数来标记， 和 分别对应于初态和末态（分别是两个由微观态构成的统计综），从到的演化过程被称作“正向”演化，其时间反演路径被称作“逆向”演化。Crooks方程讨论的是以下几个物理量之间的关系：
* ：指的是初态（即）系统处于微观态，且通过“正向”演化在末态（）到达微观态的联合几率
* ：指的是系统在末态（）处于微观态，且通过“逆向”演化在初态（）到达微观态的联合几率
* ，这里是Boltzmann常数，是热库的温度
* ，指的是在正向演化过程中(从到)对系统做的功
* ，指的是微观态和的Helmholtz自由能之差。 这样Crooks涨落定理就写为： 在上面的方程中，表示在正向演化中的耗散功。若演化过程无穷缓慢，则正反向的几率与相等，这也就回归到平衡热力学的变换，这时，而耗散功为零 = 0。 在时间反演变换下，我们总有，于是我们可以把所有能给出相同大小的功的路径加和在一起，上面的关系就可以写为做功大小的几率分布： 注意到逆向演化的过程中的做功带着一个负号。于是正向和反向做功的分布函数会在处相交，这种现象已经在用光镊折叠RNA的实验中得到验证。 Crooks涨落关系还可以推导出Jarzynski恒等式. (zh)
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