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In mathematics, the convolution theorem states that under suitableconditions the Fourier transform of a convolution is the pointwise product of Fourier transforms. In other words, convolution in one domain (e.g., time domain) equals point-wise multiplication in the other domain (e.g., frequency domain). Versions of the convolution theorem are true for various Fourier-related transforms.Let and be two functions with convolution . (Note that the asterisk denotes convolution in this context, and not multiplication. The tensor product symbol is sometimes used instead.)Let and and , respectively.Then and:

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  • Convolution theorem
  • Teorema de convolución
  • Teorema di convoluzione
  • Teorema da convolução
  • 卷积定理
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  • In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse. Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari.
  • 卷积定理指出,函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积,例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。 其中 表示f 的傅里叶变换。下面这种形式也成立: 借由傅里叶逆变换 ,也可以写成 注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确,变换可能由其它方式正规化,使得上面的关系式中出现其它的常数因子。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参见Mellin inversion theorem)等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为 的序列,按照卷积的定义进行计算,需要做 组对位乘法,其计算复杂度为 ;而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后,只需要一组对位乘法,利用傅里叶变换的快速算法之后,总的计算复杂度为 。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
  • In mathematics, the convolution theorem states that under suitableconditions the Fourier transform of a convolution is the pointwise product of Fourier transforms. In other words, convolution in one domain (e.g., time domain) equals point-wise multiplication in the other domain (e.g., frequency domain). Versions of the convolution theorem are true for various Fourier-related transforms.Let and be two functions with convolution . (Note that the asterisk denotes convolution in this context, and not multiplication. The tensor product symbol is sometimes used instead.)Let and and , respectively.Then and:
  • En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral). Sean y dos funciones cuya convolución se expresa con .(notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ).Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y Entonces
  • Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto ponto a ponto das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier. Sejam e duas funções e algumas vezes é usado no seu lugar.).Seja e são as transformadas de Fourier de e ou
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  • In mathematics, the convolution theorem states that under suitableconditions the Fourier transform of a convolution is the pointwise product of Fourier transforms. In other words, convolution in one domain (e.g., time domain) equals point-wise multiplication in the other domain (e.g., frequency domain). Versions of the convolution theorem are true for various Fourier-related transforms.Let and be two functions with convolution . (Note that the asterisk denotes convolution in this context, and not multiplication. The tensor product symbol is sometimes used instead.)Let denote the Fourier transform operator, so and are the Fourier transforms of and , respectively.Then where denotes point-wise multiplication. It also works the other way around: By applying the inverse Fourier transform , we can write: and: Note that the relationships above are only valid for the form of the Fourier transform shown in the section below. The transform may be normalized in other ways, in which case constant scaling factors (typically or ) will appear in the relationships above. This theorem also holds for the Laplace transform, the two-sided Laplace transform and, when suitably modified, for the Mellin transform and Hartley transform (see Mellin inversion theorem). It can be extended to the Fourier transform of abstract harmonic analysis defined over locally compact abelian groups. This formulation is especially useful for implementing a numerical convolution on a computer: The standard convolution algorithm has quadratic computational complexity. With the help of the convolution theorem and the fast Fourier transform, the complexity of the convolution can be reduced from O(n²) to O(n log n). This can be exploited to construct fast multiplication algorithms.
  • En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral). Sean y dos funciones cuya convolución se expresa con .(notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ).Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente. Entonces donde · indica producto punto. También puede afirmarse que: Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir:
  • In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse. Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari.
  • Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto ponto a ponto das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier. Sejam e duas funções e sua convolução (note-se que o asterisco aqui denota a operação de convolução, e não de multiplicação; o símbolo de produto tensorial algumas vezes é usado no seu lugar.).Seja o operador transformada de Fourier, tal que e são as transformadas de Fourier de e , respectivamente. Então onde o símbolo denota multiplicação ponto a ponto. A recíproca também é verdadeira: A respeito da transformada inversa de Fourier , podemos escrever: Note-se que as fórmulas acima são válidas apenas quando a transformada de Fourier aparece na forma mostrada na seção de abaixo. A transformada pode ser normalizada de outras formas, casos em que fatores de escalamento constantes (tipicamente ou ) aparecerão nas fórmulas. Este teorema também vale para a transformada de Laplace, a transformada de Laplace bilateral e, quando convenientemente modificada, para a transformada de Mellin e para a transformada de Hartley. Ele pode ser estendido para a transformada de Fourier usada em análise de harmônicos, definida sobre grupos abelianos localmente compactos. Esta formulação é especialmente útil na implementação numérica da operação de convolução em um computador digital. O algoritmo padrão para cálculo da convolução tem complexidade computacional quadrática; lançando mão do teorema da convolução e da transformada rápida de Fourier, a complexidade pode ser reduzida a O(n log n). Ele também pode ser explorado na construção de algoritmos mais rápidos para multiplicação de funções.
  • 卷积定理指出,函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积,例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。 其中 表示f 的傅里叶变换。下面这种形式也成立: 借由傅里叶逆变换 ,也可以写成 注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确,变换可能由其它方式正规化,使得上面的关系式中出现其它的常数因子。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参见Mellin inversion theorem)等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为 的序列,按照卷积的定义进行计算,需要做 组对位乘法,其计算复杂度为 ;而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后,只需要一组对位乘法,利用傅里叶变换的快速算法之后,总的计算复杂度为 。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
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