| rdfs:comment
| - En la topología geométrica, el toro de Clifford es un tipo especial de toro dentro de R4. Alternativamente, puede ser visto como un toro dentro de C2, puesto que C2 es topológicamente el mismo espacio que R4 . Además, cada punto del toro Clifford se encuentra a una distancia fija desde el origen, por lo que también puede ser visto como estar dentro de una 3-esfera. El toro de Clifford es un ejemplo de toro cuadrado, ya que es isométrico a un cuadrado con lados de longitud 2p y con los lados opuestos identificados. (es)
- Cliffordův torus (pojmenovaný po Williamu Kingdonu Cliffordovi) je v nejjednodušší a nejsymetričtější ploché vložení kartézského součinu dvou jednotkových kružnic S 1a a S 1b (ve stejném smyslu, v němž je „plochý“ povrch válce). Cliffordův torus nepatří do prostoru R3, ale do R4. Pro pochopení, proč je nestačí R3, je třeba si všimnout, že pokud S 1a i S 1b existují ve vlastních nezávislých vložených prostorech R 2a a R 2b , výsledný součinový prostor bude R4, nikoli R3. Historicky oblíbená představa, že kartézský součin dvou kružnic je R3-torus, naopak vyžaduje vysoce asymetrickou aplikaci operátoru rotace na druhou kružnici, aby tato kružnice měla pouze jednu nezávislou osu z, když pro první kružnici byly použity osy x a y. (cs)
- In geometric topology, the Clifford torus is the simplest and most symmetric flat embedding of the cartesian product of two circles S1a and S1b (in the same sense that the surface of a cylinder is "flat"). It is named after William Kingdon Clifford. It resides in R4, as opposed to in R3. To see why R4 is necessary, note that if S1a and S1b each exists in its own independent embedding space R2a and R2b, the resulting product space will be R4 rather than R3. The historically popular view that the cartesian product of two circles is an R3 torus in contrast requires the highly asymmetric application of a rotation operator to the second circle, since that circle will only have one independent axis z available to it after the first circle consumes x and y. (en)
- En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, le tore de Clifford, nommé d'après William Kingdon Clifford, est le plongement le plus simple et le plus symétrique du 2-tore (c'est-à-dire du produit cartésien de deux cercles) dans l'espace R4. Projeté dans l'espace à trois dimensions (par exemple en projection stéréographique) il conserve sa topologie (et peut même s'identifier au tore ordinaire), mais il est impossible de conserver son absence de courbure. (fr)
- Тор Клиффорда — это простейшее и наиболее симметричное вложение в евклидово пространство прямого произведения двух окружностей и . Он располагается в R4, а не в R3. Чтобы видеть, почему требуется R4, заметим, что если и лежат в их собственных независимых пространствах вложения и , результирующее пространство произведения будет R4, а не R3. Исторически популярное рассмотрение прямого произведения двух окружностей как тора в R3, в качестве контраста, требует довольно высокой асимметрии оператора вращения для второй окружности, поскольку окружность имеет только одну независимую ось z, в то время как для первой окружности имеется две оси — x и y. (ru)
|
| has abstract
| - Cliffordův torus (pojmenovaný po Williamu Kingdonu Cliffordovi) je v nejjednodušší a nejsymetričtější ploché vložení kartézského součinu dvou jednotkových kružnic S 1a a S 1b (ve stejném smyslu, v němž je „plochý“ povrch válce). Cliffordův torus nepatří do prostoru R3, ale do R4. Pro pochopení, proč je nestačí R3, je třeba si všimnout, že pokud S 1a i S 1b existují ve vlastních nezávislých vložených prostorech R 2a a R 2b , výsledný součinový prostor bude R4, nikoli R3. Historicky oblíbená představa, že kartézský součin dvou kružnic je R3-torus, naopak vyžaduje vysoce asymetrickou aplikaci operátoru rotace na druhou kružnici, aby tato kružnice měla pouze jednu nezávislou osu z, když pro první kružnici byly použity osy x a y. Jinak řečeno, vložení toru do R3 je asymetrická projekce, která snižuje počet rozměrů maximálně symetrického Cliffordova toru vloženého do R4, obdobná projekci hran krychle na list papíru. Taková projekce vytváří obraz s menším počtem rozměrů, který sice přesně zachycuje propojení hran krychle, ale vyžaduje výběr a odstranění jedné ze tří plně symetrických a zaměnitelných os krychle. Pokud obě kružnice S 1a a S 1b mají poloměr , jejich součin vytvářející Cliffordův torus se přesně vejde do jednotkové 3-sféry S3, která je 3rozměrnou podvarietou R4. Je-li to matematicky pohodlné, můžeme předpokládat, že Cliffordův torus je umístěný v C2, protože C2 je topologicky ekvivalentní s R4. Cliffordův torus je příkladem čtvercového toru, protože je izometrií čtverce se ztotožněnými opačnými stranami. Je také znám jako Eukleidovský 2-torus (“2“ je jeho topologický rozměr); obrazec zvolený tak, aby zachovával Eukleidovskou geometrii[ujasnit] jako, pokud ono byly plochý, zatímco povrch běžné „Americké koblihy“-tvarován torus je kladně zakřivený na vnější hranici a záporně zakřivený na vnitřní. Přestože má jinou geometrii než standardní vložení toru do trojrozměrného eukleidovského prostoru, může být čtvercový torus také vložen do trojrozměrného prostoru podle ; jedno možné vložení mění standardní torus na fraktální množinu vlnek běžících ve dvou kolmých směrech po povrchu. (cs)
- In geometric topology, the Clifford torus is the simplest and most symmetric flat embedding of the cartesian product of two circles S1a and S1b (in the same sense that the surface of a cylinder is "flat"). It is named after William Kingdon Clifford. It resides in R4, as opposed to in R3. To see why R4 is necessary, note that if S1a and S1b each exists in its own independent embedding space R2a and R2b, the resulting product space will be R4 rather than R3. The historically popular view that the cartesian product of two circles is an R3 torus in contrast requires the highly asymmetric application of a rotation operator to the second circle, since that circle will only have one independent axis z available to it after the first circle consumes x and y. Stated another way, a torus embedded in R3 is an asymmetric reduced-dimension projection of the maximally symmetric Clifford torus embedded in R4. The relationship is similar to that of projecting the edges of a cube onto a sheet of paper. Such a projection creates a lower-dimensional image that accurately captures the connectivity of the cube edges, but also requires the arbitrary selection and removal of one of the three fully symmetric and interchangeable axes of the cube. If S1a and S1b each has a radius of , their Clifford torus product will fit perfectly within the unit 3-sphere S3, which is a 3-dimensional submanifold of R4. When mathematically convenient, the Clifford torus can be viewed as residing inside the complex coordinate space C2, since C2 is topologically equivalent to R4. The Clifford torus is an example of a square torus, because it is isometric to a square with opposite sides identified. It is further known as a Euclidean 2-torus (the "2" is its topological dimension); figures drawn on it obey Euclidean geometry as if it were flat, whereas the surface of a common "doughnut"-shaped torus is positively curved on the outer rim and negatively curved on the inner. Although having a different geometry than the standard embedding of a torus in three-dimensional Euclidean space, the square torus can also be embedded into three-dimensional space, by the Nash embedding theorem; one possible embedding modifies the standard torus by a fractal set of ripples running in two perpendicular directions along the surface. (en)
- En la topología geométrica, el toro de Clifford es un tipo especial de toro dentro de R4. Alternativamente, puede ser visto como un toro dentro de C2, puesto que C2 es topológicamente el mismo espacio que R4 . Además, cada punto del toro Clifford se encuentra a una distancia fija desde el origen, por lo que también puede ser visto como estar dentro de una 3-esfera. El toro de Clifford es un ejemplo de toro cuadrado, ya que es isométrico a un cuadrado con lados de longitud 2p y con los lados opuestos identificados. (es)
- En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, le tore de Clifford, nommé d'après William Kingdon Clifford, est le plongement le plus simple et le plus symétrique du 2-tore (c'est-à-dire du produit cartésien de deux cercles) dans l'espace R4. Projeté dans l'espace à trois dimensions (par exemple en projection stéréographique) il conserve sa topologie (et peut même s'identifier au tore ordinaire), mais il est impossible de conserver son absence de courbure. En prenant pour les deux cercles le rayon , le tore de Clifford peut s'identifier à un sous-ensemble de la 3-sphère unité ; on peut aussi le représenter dans le plan C2 comme l'ensemble des points dont les deux coordonnées sont de module 1. Le tore de Clifford est obtenu (en tant que variété riemanienne) en identifiant les bords opposé d'un carré ; la géométrie correspondante est donc euclidienne. (fr)
- Тор Клиффорда — это простейшее и наиболее симметричное вложение в евклидово пространство прямого произведения двух окружностей и . Он располагается в R4, а не в R3. Чтобы видеть, почему требуется R4, заметим, что если и лежат в их собственных независимых пространствах вложения и , результирующее пространство произведения будет R4, а не R3. Исторически популярное рассмотрение прямого произведения двух окружностей как тора в R3, в качестве контраста, требует довольно высокой асимметрии оператора вращения для второй окружности, поскольку окружность имеет только одну независимую ось z, в то время как для первой окружности имеется две оси — x и y. Говоря иначе, тор в R3 является асимметричной проекцией с уменьшением размерности тора Клиффорда максимальной симметрии в R4. Связь похожа на проекцию рёбер куба на лист бумаги. Такая проекция создаёт образ меньшей размерности, который аккуратно показывает связь рёбер куба, но требует также удаления произвольно выбранной одной из трёх осей симметрии куба. Если каждая из окружностей и имеет радиус, их произведение в виде тора Клиффорда прекрасно размещается на 3-сфере S3, которая является 3-мерным подмногообразием R4. Тор Клиффорда можно рассматривать как располагающийся в C2, поскольку пространство C2 топологически эквивалентно R4. Тор Клиффорда является примером квадратного тора, поскольку он изометричен квадрату с отождествлёнными противоположными сторонами. Он известен как евклидов 2-тор (здесь «2» — топологическая размерность). Фигуры, нарисованные на нём, подчиняются евклидовой геометрии как если бы он был плоским, в то время как поверхность тора в виде «пончика» имеет положительную кривизну по внешнему ободу и отрицательную по внутреннему. Хотя квадратный тор имеет отличную от стандартного вложения в евклидово пространство геометрию, согласно теореме Нэша о вложениях, его можно вложить в трёхмерное пространство. Одно такое вложение модифицирует стандартный тор фрактальным множеством волн, пробегающих в двух перпендикулярных направлениях вдоль поверхности. (ru)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)
