Clenshaw–Curtis quadrature and Fejér quadrature are methods for numerical integration, or "quadrature", that are based on an expansion of the integrand in terms of Chebyshev polynomials. Equivalently, they employ a change of variables and use a discrete cosine transform (DCT) approximation for the cosine series. Besides having fast-converging accuracy comparable to Gaussian quadrature rules, Clenshaw–Curtis quadrature naturally leads to (where different accuracy orders share points), which is important for both adaptive quadrature and multidimensional quadrature (cubature).
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| - Quadratura de Clenshaw-Curtis (ca)
- Clenshaw–Curtis quadrature (en)
- Méthode de quadrature de Clenshaw-Curtis (fr)
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| - La quadratura de Clenshaw–Curtis i les quadratures de Fejer són mètodes d'integració numèrica basats en l'expansió de l'integrant en termes dels polinomis de Txebixev. Un resum breu de l'algoritme és el següent: la funció que s'ha d'integrar és avaluada als extrems o arrels dels polinomis de Txebixev i aquests valors es fan servir per construir una aproximació polinòmica de la funció; aquesta és integrada exactament per donar una aproximació de la integral exacta que busquem. El càlcul dels pesos d'integració es pot fer mitjançant una DCT, que a través de la FFT es poden obtenir amb operacions. (ca)
- Clenshaw–Curtis quadrature and Fejér quadrature are methods for numerical integration, or "quadrature", that are based on an expansion of the integrand in terms of Chebyshev polynomials. Equivalently, they employ a change of variables and use a discrete cosine transform (DCT) approximation for the cosine series. Besides having fast-converging accuracy comparable to Gaussian quadrature rules, Clenshaw–Curtis quadrature naturally leads to (where different accuracy orders share points), which is important for both adaptive quadrature and multidimensional quadrature (cubature). (en)
- En analyse, les méthodes de quadrature de Clenshaw–Curtis et de quadrature de Fejér sont des méthodes d'intégration numérique s'appuyant sur le développement de la fonction à intégrer en polynômes de Tchebychev. De façon équivalente, ils emploient un changement de variable x = cos θ et utilisent une approximation de la transformée en cosinus discrète pour un développement en cosinus. En plus d'avoir des résultats de convergence rapide comparables à la quadrature de Gauss, la quadrature de Clenshaw–Curtis mène naturellement à des (où des points se retrouvent dans plusieurs ordres de précision), ce qui devient intéressant pour la et les méthodes de quadrature multidimensionnelles. (fr)
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| - La quadratura de Clenshaw–Curtis i les quadratures de Fejer són mètodes d'integració numèrica basats en l'expansió de l'integrant en termes dels polinomis de Txebixev. Un resum breu de l'algoritme és el següent: la funció que s'ha d'integrar és avaluada als extrems o arrels dels polinomis de Txebixev i aquests valors es fan servir per construir una aproximació polinòmica de la funció; aquesta és integrada exactament per donar una aproximació de la integral exacta que busquem. El càlcul dels pesos d'integració es pot fer mitjançant una DCT, que a través de la FFT es poden obtenir amb operacions. (ca)
- Clenshaw–Curtis quadrature and Fejér quadrature are methods for numerical integration, or "quadrature", that are based on an expansion of the integrand in terms of Chebyshev polynomials. Equivalently, they employ a change of variables and use a discrete cosine transform (DCT) approximation for the cosine series. Besides having fast-converging accuracy comparable to Gaussian quadrature rules, Clenshaw–Curtis quadrature naturally leads to (where different accuracy orders share points), which is important for both adaptive quadrature and multidimensional quadrature (cubature). Briefly, the function to be integrated is evaluated at the extrema or roots of a Chebyshev polynomial and these values are used to construct a polynomial approximation for the function. This polynomial is then integrated exactly. In practice, the integration weights for the value of the function at each node are precomputed, and this computation can be performed in time by means of fast Fourier transform-related algorithms for the DCT. (en)
- En analyse, les méthodes de quadrature de Clenshaw–Curtis et de quadrature de Fejér sont des méthodes d'intégration numérique s'appuyant sur le développement de la fonction à intégrer en polynômes de Tchebychev. De façon équivalente, ils emploient un changement de variable x = cos θ et utilisent une approximation de la transformée en cosinus discrète pour un développement en cosinus. En plus d'avoir des résultats de convergence rapide comparables à la quadrature de Gauss, la quadrature de Clenshaw–Curtis mène naturellement à des (où des points se retrouvent dans plusieurs ordres de précision), ce qui devient intéressant pour la et les méthodes de quadrature multidimensionnelles. En résumé, la fonction f(x) à intégrer est évaluée aux N extrema ou racines d'un polynôme de Tchebychev et ces valeurs sont utilisées pour construire une approximation polynomiale de la fonction. Ce polynôme est ensuite intégré de façon exacte. En pratique, les poids d'intégration en chaque nœud sont pré-calculés, en un temps en O(N log N) par des algorithmes de transformée de Fourier rapide adaptés à la TCD. (fr)
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