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| - Der Büschelsatz (engl.: bundle theorem) ist im einfachsten Fall eine Aussage über 6 Kreise und 8 Punkte in der euklidischen Ebene. In der allgemeinen Form beschreibt er eine die ovoidalen Möbius-Ebenen kennzeichnende Eigenschaft, d. h., nur die ovoidalen unter den Möbius-Ebenen erfüllen diesen Satz. Man sollte den Büschelsatz nicht mit dem Satz von Miquel verwechseln. In jeder ovoidalen Möbius-Ebene gilt der Büschelsatz:
* Sind verschiedene Punkte und sind 5 der 6 Quadrupel konzyklisch (liegen auf einem Zykel) auf wenigstens 4 Zykel , dann ist auch das 6. Quadrupel konzyklisch. (de)
- In Euclidean geometry, the bundle theorem is a statement about six circles and eight points in the Euclidean plane. In general incidence geometry, it is a similar property that a Möbius plane may or may not satisfy. According to Kahn's Theorem, it is fulfilled by "ovoidal" Möbius planes only; thus, it is the analog for Möbius planes of Desargues' Theorem for projective planes. Bundle theorem. If for eight different points five of the six quadruples are concyclic (contained in a cycle) on at least four cycles , then the sixth quadruple is also concyclic. (en)
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| - In Euclidean geometry, the bundle theorem is a statement about six circles and eight points in the Euclidean plane. In general incidence geometry, it is a similar property that a Möbius plane may or may not satisfy. According to Kahn's Theorem, it is fulfilled by "ovoidal" Möbius planes only; thus, it is the analog for Möbius planes of Desargues' Theorem for projective planes. Bundle theorem. If for eight different points five of the six quadruples are concyclic (contained in a cycle) on at least four cycles , then the sixth quadruple is also concyclic. The bundle theorem should not be confused with Miquel's theorem. An ovoidal Möbius plane in real Euclidean space may be considered as the geometry of the plane sections of an egglike surface, like a sphere, or an ellipsoid, or half a sphere glued to a suitable half of an ellipsoid, or the surface with equation , etc. If the egglike surface is a sphere one gets the space model of the classical real Möbius plane, which is the "circle geometry" on the sphere. The essential property of an ovoidal Möbius plane is the existence of a space model via an ovoid. An ovoid in a 3-dimensional projective space is a set of points, which a) is intersected by lines in 0, 1, or 2 points and b) its tangents at an arbitrary point covers a plane (tangent plane). The geometry of an ovoid in projective 3-space is a Möbius plane, called an ovoidal Möbius plane. The point set of the geometry consists of the points of the ovoid and the curves ("cycles") are the plane sections of the ovoid. A suitable stereographical projection shows that for any ovoidal Möbius plane there exists a plane model. In the classical case the plane model is the geometry of the circles and lines (where each line is completed by a point at infinity). The bundle theorem has a planar and a spatial interpretation. In the planar model there may be lines involved. The proof of the bundle theorem is performed within the spatial model. Theorem. The bundle theorem holds in every ovoidal Möbius plane. The proof is a consequence of the following considerations, which use essentially the fact that three planes in a 3-dimensional projective space intersect in a single point: 1.
* The planes containing the cycles intersect in a point . Hence is the intersection point of the lines (in space !) . 2.
* The planes containing the cycles intersect in a point . Hence is the intersection point of the lines , too. This yields: a) and b) intersect at point , too. The last statement means: are concyclic. The planes involved have point in common, they are elements of a bundle of planes. The importance of the bundle theorem was shown by Jeff Kahn. Theorem of Kahn. A Möbius plane is ovoidal if and only if it fulfills the bundle theorem. The bundle theorem is analogous for Möbius planes to the Theorem of Desargues for projective planes. From the bundle theorem follows the existence of a) a skewfield (division ring) and b) an ovoid. If the more strict theorem of Miquel holds, the skewfield is even commutative (field) and the ovoid is a quadric. There are Möbius planes, which are not ovoidal. For ovoidal Laguerre planes there exists a bundle theorem with an analogous meaning. (en)
- Der Büschelsatz (engl.: bundle theorem) ist im einfachsten Fall eine Aussage über 6 Kreise und 8 Punkte in der euklidischen Ebene. In der allgemeinen Form beschreibt er eine die ovoidalen Möbius-Ebenen kennzeichnende Eigenschaft, d. h., nur die ovoidalen unter den Möbius-Ebenen erfüllen diesen Satz. Man sollte den Büschelsatz nicht mit dem Satz von Miquel verwechseln. Als Beispiel einer ovoidalen Möbius-Ebene kann man sich im reellen Anschauungsraum die Geometrie der ebenen Schnitte einer eiförmigen Fläche (z. B.: Kugel, Ellipsoid, eine aus einer Halbkugel und einem passenden Halb-Ellipsoid zusammengesetzte Fläche, die Fläche mit der Gleichung , …) vorstellen. Falls die Eifläche eine Kugel ist, ergibt sich das räumliche Modell der klassischen Möbius-Ebene, die Geometrie der Kreise auf der Kugel. Das wesentliche einer ovoidalen Möbius-Ebene ist die Existenz eines räumlichen Modells mittels eines Ovoids. Ein Ovoid in einem 3-dimensionalen projektiven Raum ist eine Punktmenge, die a) von einer Gerade in 0, 1 oder 2 Punkten geschnitten wird und b) deren Tangenten in einem beliebigen Punkt eine Ebene (Tangentialebene) überdecken. Die Geometrie der ebenen Schnitte eines Ovoids in einem 3-dimensionalen projektiven Raum heißt ovoidale Möbius-Ebene. Die Punkte der Geometrie sind die Punkte des Ovoids und die Verbindungskurven (Blöcke) die ebenen Schnitte des Ovoids. Mit einer geeigneten stereografischen Projektion zeigt man: Jede ovoidale Möbius-Ebene besitzt ein ebenes Modell. Im klassischen Fall ist das die Geometrie der Kreise und der um den Punkt erweiterten Geraden. Der Büschelsatz kann also sowohl räumlich als auch eben interpretiert werden. Der einfache Beweis wird im räumlichen Modell geführt. In jeder ovoidalen Möbius-Ebene gilt der Büschelsatz:
* Sind verschiedene Punkte und sind 5 der 6 Quadrupel konzyklisch (liegen auf einem Zykel) auf wenigstens 4 Zykel , dann ist auch das 6. Quadrupel konzyklisch. Der Beweis ergibt sich aus den folgenden Überlegungen, die wesentlich verwenden, dass sich 3 Ebenen in einem 3-dimensionalen projektiven Raum immer in einem Punkt schneiden: 1.
* Die Ebenen durch die Zykel schneiden sich in einem Punkt . Also ist Schnittpunkt der Geraden (im Raum !) . 2.
* Die Ebenen durch die Zykel schneiden sich in einem Punkt . ist also auch Schnittpunkt der Geraden . Hieraus ergibt sich a) und b) schneiden sich auch in . Letzteres bedeutet: liegen konzyklisch. Die beteiligten Ebenen enthalten alle den Punkt , d. h., sie liegen im Büschel. Die große Bedeutung erhält der Büschelsatz durch die folgende lange vermutete und 1980 von Jeff Kahn bewiesenen Aussage: Satz von Kahn: Eine Möbius-Ebene ist genau dann ovoidal, wenn sie dem Büschelsatz genügt. Der Büschelsatz hat für Möbius-Ebenen die analoge Bedeutung wie der Satz von Desargues für projektive Ebenen. Mit Hilfe des Büschelsatzes lassen sich a) ein Schiefkörper und b) ein Ovoid konstruieren. Gilt der strengere Satz von Miquel, so ist der Schiefkörper sogar kommutativ (Körper) und das Ovoid eine Quadrik. Also: der Büschelsatz folgt aus dem Satz von Miquel aber nicht umgekehrt. Bemerkung: Es gibt Möbius-Ebenen, die nicht ovoidal sind. Bemerkung: Auch für ovoidale Laguerre-Ebenen gibt es einen Büschelsatz mit der analogen Bedeutung. (de)
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