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In mathematics, a function f defined on some set X with real or complex values is called bounded, if the set of its values is bounded. In other words, there exists a real number M such that for all x in X. A function that is not bounded is said to be unbounded. Sometimes, if f(x) ≤ A for all x in X, then the function is said to be bounded above by A. On the other hand, if f(x) ≥ B for all x in X, then the function is said to be bounded below by B. The concept should not be confused with that of a bounded operator. for all x in X.

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  • Bounded function
  • Beschränkte Abbildung
  • Funzione limitata
  • 有界函数
  • Funkcja ograniczona
  • Função limitada
  • 有界函数
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  • Als eine beschränkte Abbildung oder eine beschränkte Funktion bezeichnet man in der Analysis und der Funktionalanalysis eine Abbildung, deren Bildmenge beschränkt ist. Beschränkte Abbildungen bilden einen normierten Vektorraum und enthalten viele weitere wichtige Mengen von Abbildungen wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger oder die beschränkten stetigen Funktionen
  • Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego. Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
  • Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.
  • 定义在集合X上的函数称为有界的,如果它所有的值所组成的集合是有界的。也就是说,存在一个数M>0,使得对于X中的所有x,都有 。 有时,如果对于X中的所有x,都有 ,则函数称为上有界的,A就是它的上界。另一方面,如果对于X中的所有x,都有 ,则函数称为下有界的,B就是它的下界。 一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。所以,一个数列f = (a0, a1, a2, ... ) 是有界的,如果存在一个数M > 0,使得对于所有的自然数n,都有 |an| ≤ M。
  • In mathematics, a function f defined on some set X with real or complex values is called bounded, if the set of its values is bounded. In other words, there exists a real number M such that for all x in X. A function that is not bounded is said to be unbounded. Sometimes, if f(x) ≤ A for all x in X, then the function is said to be bounded above by A. On the other hand, if f(x) ≥ B for all x in X, then the function is said to be bounded below by B. The concept should not be confused with that of a bounded operator. for all x in X.
  • In matematica, una funzione definita su un insieme arbitrario e con valori reali o complessi si dice limitata se la sua immagine è un insieme limitato. Detto esplicitamente, questo significa che esiste un numero reale positivo tale che per ogni in . Nel caso specifico di una funzione reale, una funzione è limitata se può assumere solo valori compresi in un intervallo. Questo vale a dire che esistono valori e tali che, per ogni valore di per cui la funzione è definita, La nozione di funzione limitata viene generalizzata da quella di operatore limitato.
  • 数学の分野において、ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数(ゆうかいかんすう、英: bounded function)であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。 しばしば、X 内のすべての x に対して が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる(bounded above)と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる(bounded below)と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。 (しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども)この概念は、有界作用素のそれと混同しないように注意するべきである。 有界函数の概念の重要で特別な場合として、X を自然数全体の集合 N と取って有界数列(bounded sequence)が考えられる。すなわち、ある数列 (a0, a1, a2 , ...) が有界であるとは、ある実数 M が存在して、すべての自然数 n に対して
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  • In mathematics, a function f defined on some set X with real or complex values is called bounded, if the set of its values is bounded. In other words, there exists a real number M such that for all x in X. A function that is not bounded is said to be unbounded. Sometimes, if f(x) ≤ A for all x in X, then the function is said to be bounded above by A. On the other hand, if f(x) ≥ B for all x in X, then the function is said to be bounded below by B. The concept should not be confused with that of a bounded operator. An important special case is a bounded sequence, where X is taken to be the set N of natural numbers. Thus a sequence f = (a0, a1, a2, ...) is bounded if there exists a real number M such that for every natural number n. The set of all bounded sequences, equipped with a vector space structure, forms a sequence space. This definition can be extended to functions taking values in a metric space Y. Such a function f defined on some set X is called bounded if for some a in Y there exists a real number M such that its distance function d ("distance") is less than M, i.e. for all x in X. If this is the case, there is also such an M for each other a, by the triangle inequality.
  • In matematica, una funzione definita su un insieme arbitrario e con valori reali o complessi si dice limitata se la sua immagine è un insieme limitato. Detto esplicitamente, questo significa che esiste un numero reale positivo tale che per ogni in . Nel caso specifico di una funzione reale, una funzione è limitata se può assumere solo valori compresi in un intervallo. Questo vale a dire che esistono valori e tali che, per ogni valore di per cui la funzione è definita, . Sempre per le funzioni reali, si indica come funzione limitata superiormente una funzione il cui valore non può mai essere superiore ad un dato valore e come funzione limitata inferiormente una funzione il cui valore non può mai essere minore di un dato valore. La nozione di funzione limitata viene generalizzata da quella di operatore limitato.
  • Als eine beschränkte Abbildung oder eine beschränkte Funktion bezeichnet man in der Analysis und der Funktionalanalysis eine Abbildung, deren Bildmenge beschränkt ist. Beschränkte Abbildungen bilden einen normierten Vektorraum und enthalten viele weitere wichtige Mengen von Abbildungen wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger oder die beschränkten stetigen Funktionen
  • Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego. Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
  • 数学の分野において、ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数(ゆうかいかんすう、英: bounded function)であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。 しばしば、X 内のすべての x に対して が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる(bounded above)と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる(bounded below)と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。 (しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども)この概念は、有界作用素のそれと混同しないように注意するべきである。 有界函数の概念の重要で特別な場合として、X を自然数全体の集合 N と取って有界数列(bounded sequence)が考えられる。すなわち、ある数列 (a0, a1, a2 , ...) が有界であるとは、ある実数 M が存在して、すべての自然数 n に対して が成立することを言う。有界数列すべてからなる集合(にベクトル空間の構造を入れたもの)は数列空間を成す。 この定義は、距離空間 Y に値を取る函数へと拡張することが出来る。ある集合 X 上で定義される函数 f が有界であるとは、Y 内のある a に対して適当な実数 M を取れば、距離函数 d で測った a と f(x) との距離が M 以下にできること、すなわち が X 内のすべての x に対して成立することを言う。この場合、a を他の任意の点に取り換えても、三角不等式により、同様な性質を持つ M を取ることができる。
  • Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.
  • 定义在集合X上的函数称为有界的,如果它所有的值所组成的集合是有界的。也就是说,存在一个数M>0,使得对于X中的所有x,都有 。 有时,如果对于X中的所有x,都有 ,则函数称为上有界的,A就是它的上界。另一方面,如果对于X中的所有x,都有 ,则函数称为下有界的,B就是它的下界。 一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。所以,一个数列f = (a0, a1, a2, ... ) 是有界的,如果存在一个数M > 0,使得对于所有的自然数n,都有 |an| ≤ M。
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