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In mathematics, specifically in real analysis, the Bolzano–Weierstrass theorem, named after Bernard Bolzano and Karl Weierstrass, is a fundamental result about convergence in a finite-dimensional Euclidean space Rn. The theorem states that each bounded sequence in Rn has a convergent subsequence. An equivalent formulation is that a subset of Rn is sequentially compact if and only if it is closed and bounded. The theorem is sometimes called the sequential compactness theorem.

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  • Bolzano–Weierstrass theorem
  • مبرهنة بولزانو-ويرستراس
  • Satz von Bolzano-Weierstraß
  • Teorema de Bolzano-Weierstrass
  • Théorème de Bolzano-Weierstrass
  • Teorema di Bolzano-Weierstrass
  • ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
  • Stelling van Bolzano-Weierstrass
  • Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
  • Teorema de Bolzano-Weierstrass
  • Теорема Больцано — Вейерштрасса
  • 波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理
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  • In mathematics, specifically in real analysis, the Bolzano–Weierstrass theorem, named after Bernard Bolzano and Karl Weierstrass, is a fundamental result about convergence in a finite-dimensional Euclidean space Rn. The theorem states that each bounded sequence in Rn has a convergent subsequence. An equivalent formulation is that a subset of Rn is sequentially compact if and only if it is closed and bounded. The theorem is sometimes called the sequential compactness theorem.
  • في الرياضيات وبالتحديد في التحليل الحقيقي، سميت مبرهنة بولزانو-ويرستراس هكذا نسبة إلى برنارد بولزانو وكارل ويرستراس.
  • Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis.
  • En el análisis real, el teorema de Bolzano–Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos compactos secuencialmente.
  • En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.
  • ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理(-ていり, Bolzano–Weierstrass theorem)とは、実数の基本的な性質の一つの表現であり、解析学の分野などでよく用いられる。
  • In de wiskundige analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Bolzano-Weierstrass een fundamenteel resultaat over convergentie in een eindig-dimensionale Euclidische ruimte Rn. De stelling beweert dat elke begrensde rij in Rn een convergente deelrij heeft. Een gelijkaardige stelling, die gebruikmaakt van de stelling van Bolzano-Weierstrass, beweert dat een deelverzameling van Rn sequentieel compact is dan en slechts dan als deze gesloten en begrensd is.
  • O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado. Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se é um conjunto seqüencialmente compacto e é uma seqüência de pontos pertencentes a , então existe uma subseqüência tal que: Um conjunto é dito fechado se toda sequência convergente contida em converge em , ou seja: e , então: Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.
  • 波爾查諾-魏爾施特拉斯定理是数学拓扑学与實分析中用以刻劃 中的緊集的基本定理,得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明,有限维实向量空间 中的一個子集 是序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)当且仅当 是有界閉集。
  • Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che in uno spazio euclideo finito dimensionale ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente. Un ulteriore enunciato del teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che: "Un insieme chiuso e limitato ammette almeno un punto di accumulazione." La dimostrazione di questo secondo enunciato si trova subito dopo la dimostrazione del primo.
  • Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.
  • Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности (
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  • In mathematics, specifically in real analysis, the Bolzano–Weierstrass theorem, named after Bernard Bolzano and Karl Weierstrass, is a fundamental result about convergence in a finite-dimensional Euclidean space Rn. The theorem states that each bounded sequence in Rn has a convergent subsequence. An equivalent formulation is that a subset of Rn is sequentially compact if and only if it is closed and bounded. The theorem is sometimes called the sequential compactness theorem.
  • في الرياضيات وبالتحديد في التحليل الحقيقي، سميت مبرهنة بولزانو-ويرستراس هكذا نسبة إلى برنارد بولزانو وكارل ويرستراس.
  • Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis.
  • En el análisis real, el teorema de Bolzano–Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos compactos secuencialmente.
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