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In combinatorial mathematics, an alternating permutation (or zigzag permutation) of the set {1, 2, 3, ..., n} is an arrangement of those numbers so that each entry is alternately greater or less than the preceding entry. For example, the five alternating permutations of {1, 2, 3, 4} are: * 1, 3, 2, 4 because 1 < 3 > 2 < 4, * 1, 4, 2, 3 because 1 < 4 > 2 < 3, * 2, 3, 1, 4 because 2 < 3 > 1 < 4, * 2, 4, 1, 3 because 2 < 4 > 1 < 3, and * 3, 4, 1, 2 because 3 < 4 > 1 < 2.

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  • Alternierende Permutation
  • Alternating permutation
  • Permutazione alternata
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  • In combinatorial mathematics, an alternating permutation (or zigzag permutation) of the set {1, 2, 3, ..., n} is an arrangement of those numbers so that each entry is alternately greater or less than the preceding entry. For example, the five alternating permutations of {1, 2, 3, 4} are: * 1, 3, 2, 4 because 1 < 3 > 2 < 4, * 1, 4, 2, 3 because 1 < 4 > 2 < 3, * 2, 3, 1, 4 because 2 < 3 > 1 < 4, * 2, 4, 1, 3 because 2 < 4 > 1 < 3, and * 3, 4, 1, 2 because 3 < 4 > 1 < 2.
  • Eine alternierende Permutation (auch Zickzack-Permutation genannt) ist in der Kombinatorik eine Permutation der ersten natürlichen Zahlen, bei der keine Zahl der Größe nach zwischen der vorangehenden und der nachfolgenden Zahl steht. Beginnt die Folge mit einem Anstieg, so spricht man von einer Up-Down-Permutation, beginnt sie mit einem Abstieg von einer Down-Up-Permutation. Alternierende Permutationen weisen eine Reihe von Spiegelsymmetrien auf. Jede alternierende Permutation ungerader Länge entspricht einem vollen partiell geordneten Binärbaum und jede alternierende Permutation gerader Länge einem fast vollen solchen Baum. Die Anzahlen der alternierenden Permutationen fester Länge treten als Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe der Sekans- und der Tangensfunktion auf und stehen in engem
  • In combinatoria, una permutazione alternante o permutazione alternata o permutazione a zig-zag di lunghezza n è una permutazione dell'insieme {1, 2, 3, ..., n} tale che nessun componente ci con 1<i<n ha valore compreso fra ci − 1 e ci + 1 . Si osserva anche che, sempre per n=2,3,... , ad ogni permutazione alternante che inizia con una salita () è associata biunivocamente la permutazione alternante che inizia con una discesa(ed ovviamente è diversa);quindi An fornisca anche il numero delle permutazioni alternanti che iniziano con una salita (o con una discesa).
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  • Eine alternierende Permutation (auch Zickzack-Permutation genannt) ist in der Kombinatorik eine Permutation der ersten natürlichen Zahlen, bei der keine Zahl der Größe nach zwischen der vorangehenden und der nachfolgenden Zahl steht. Beginnt die Folge mit einem Anstieg, so spricht man von einer Up-Down-Permutation, beginnt sie mit einem Abstieg von einer Down-Up-Permutation. Alternierende Permutationen weisen eine Reihe von Spiegelsymmetrien auf. Jede alternierende Permutation ungerader Länge entspricht einem vollen partiell geordneten Binärbaum und jede alternierende Permutation gerader Länge einem fast vollen solchen Baum. Die Anzahlen der alternierenden Permutationen fester Länge treten als Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe der Sekans- und der Tangensfunktion auf und stehen in engem Zusammenhang mit den Euler- und den Bernoulli-Zahlen.
  • In combinatoria, una permutazione alternante o permutazione alternata o permutazione a zig-zag di lunghezza n è una permutazione dell'insieme {1, 2, 3, ..., n} tale che nessun componente ci con 1<i<n ha valore compreso fra ci − 1 e ci + 1 . Si osserva che per n=2,3,... la riflessa di una permutazione alternante è anch'essa una permutazione alternante: ad esempio sono permutazioni alternanti di {1,2,3,4,5}sia 34152 che 25143. Dato che una permutazione e la sua riflessa non possono coincidere, si deduce che il numero delle permutazioni alternanti di una data lunghezza è un numero pari. Denotiamo con An la metà del numero delle permutazioni alternanti dell'insieme {1, ..., n}. Si osserva anche che, sempre per n=2,3,... , ad ogni permutazione alternante che inizia con una salita () è associata biunivocamente la permutazione alternante che inizia con una discesa(ed ovviamente è diversa);quindi An fornisca anche il numero delle permutazioni alternanti che iniziano con una salita (o con una discesa). Si trova che la funzione generatrice esponenziale della successione di tali numeri è la funzione trigonometrica: Si osserva che la serie formale di potenze della secante presenta solo potenze pari della variabile x, mentre la serie della tangente presenta solo potenze dispari.Quindi i numeri con indici pari A2m sono forniti dalla serie della secante e vengono chiamati numeri secanti o numeri zig, mentre quelli con indice dispari sono forniti dalla serie della tangente e sono detti numeri tangenti o numeri zag. I numeri A2m sono strettamente connessi con i numeri di Eulero:
  • In combinatorial mathematics, an alternating permutation (or zigzag permutation) of the set {1, 2, 3, ..., n} is an arrangement of those numbers so that each entry is alternately greater or less than the preceding entry. For example, the five alternating permutations of {1, 2, 3, 4} are: * 1, 3, 2, 4 because 1 < 3 > 2 < 4, * 1, 4, 2, 3 because 1 < 4 > 2 < 3, * 2, 3, 1, 4 because 2 < 3 > 1 < 4, * 2, 4, 1, 3 because 2 < 4 > 1 < 3, and * 3, 4, 1, 2 because 3 < 4 > 1 < 2. This type of permutation was first studied by Désiré André in the 19th century. Different authors use the term alternating permutation slightly differently: some require that the second entry in an alternating permutation should be larger than the first (as in the examples above), others require that the alternation should be reversed (so that the second entry is smaller than the first, then the third larger than the second, and so on), while others call both types by the name alternating permutation. The determination of the number An of alternating permutations of the set {1, ..., n} is called André's problem. The numbers An are known as Euler numbers, zigzag numbers, or up/down numbers. When n is even the number An is known as a secant number, while if n is odd it is known as a tangent number. These latter names come from the study of the generating function for the sequence.
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  • Alternating Permutation
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  • AlternatingPermutation
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