Abstract index notation (also referred to as slot-naming index notation) is a mathematical notation for tensors and spinors that uses indices to indicate their types, rather than their components in a particular basis. The indices are mere placeholders, not related to any basis and, in particular, are non-numerical. Thus it should not be confused with the Ricci calculus. The notation was introduced by Roger Penrose as a way to use the formal aspects of the Einstein summation convention to compensate for the difficulty in describing contractions and covariant differentiation in modern abstract tensor notation, while preserving the explicit covariance of the expressions involved.
| Attributes | Values |
|---|
| rdf:type
| |
| rdfs:label
| - Indexnotation von Tensoren (de)
- Abstract index notation (en)
- Notation en indice abstrait (fr)
- 抽象添字記法 (ja)
- Notação de índices abstratos (pt)
- 抽象指标记号 (zh)
|
| rdfs:comment
| - La notation en indice abstrait est un système de notation présentant des similarités avec la convention de sommation d'Einstein et destinée comme cette dernière à l'écriture du calcul tensoriel. (fr)
- A notação de índices abstratos é uma notação matemática para tensores e espinores que utiliza índices para indicar seus tipos, ao invés de seus componentes em uma base particular. Os índices são meros marcadores de posição, não relacionados com qualquer base fixa e, em particular, são não numéricos. Assim, não deve ser confundida com o cálculo de Ricci. A notação foi introduzido por Roger Penrose como uma maneira de usar os aspectos formais da convenção de somatório de Einstein, a fim de compensar a dificuldade em descrever e diferenciação covariante na notação de tensores abstrata moderna, preservando a covariância explícita das expressões envolvidas. (pt)
- 抽象指标记号（英語：abstract index notation）是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母（如T）表示张量相比，这种表示法能够显示张量的类型，同时可清楚地表明等运算。而与用分量（张量在某一特定基底下的分量）表示张量不同，该表示法与特定的基底无关，可以表示出张量等式。 假定V为向量空间，V*是其对偶空间。定义二阶协变张量，则h是V上的双线性映射，即可表示为（以两个“槽”表示V中的两个变量）： 抽象指标记号便是通过拉丁字母代替“槽”来表示上式： 当协变指标（下标，表示V*中张量）与逆变指标（上标，表示V中张量）重复时表示进行缩并运算，如： 即表示对后两个“槽”进行缩并的迹。这种表示缩并的方式与爱因斯坦求和约定类似，但此表示法只是抽象的记号而已，并不表示求和运算。 (zh)
- Abstract index notation (also referred to as slot-naming index notation) is a mathematical notation for tensors and spinors that uses indices to indicate their types, rather than their components in a particular basis. The indices are mere placeholders, not related to any basis and, in particular, are non-numerical. Thus it should not be confused with the Ricci calculus. The notation was introduced by Roger Penrose as a way to use the formal aspects of the Einstein summation convention to compensate for the difficulty in describing contractions and covariant differentiation in modern abstract tensor notation, while preserving the explicit covariance of the expressions involved. (en)
- Die Indexnotation ist eine Form, Tensoren schriftlich darzustellen, die vor allem in der Physik und gelegentlich auch im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie Anwendung findet. In ihrer verbreiteteren Form gibt die Notation Tensorkomponenten in bestimmten Koordinaten an. Mit der abstrakten Indexnotation werden dagegen Tensoren koordinatenunabhängig bezeichnet, wobei die Notation den Typ des Tensors angibt und Kontraktionen und kovariante Differentiationen koordinatenfrei darstellen kann. Die abstrakte Indexnotation wurde von Roger Penrose eingeführt. (de)
- 抽象添字記法(ちゅうしょうそえじきほう、abstract index notation)は、固有の基底の成分というよりも、タイプを表す添字を使ったテンソルやスピノルの数学的な記法である。添字は、数値を固定した基底に対して表すものではなく、占める位置を明確に示す記法となっている。この記法は、(Ricci calculus)と混乱することはない。この記法はロジャー・ペンローズ(Roger Penrose)により導入され、アインシュタインの縮約記法の形式的側面を扱う方法である。現代的な抽象的なテンソル記法では、この方法により、テンソル縮約(tensor contraction)や共変微分の難しさを補い、表現の意味している共変性を明確に保つことができる。 V をベクトル空間、V∗ をその双対とする。ランク 2 の共変テンソル を考えると、h は V 上の双線型形式と同一視することができる。言い換えると、これは V を 2つ引数とする函数で、「スロット」のペアとして表現することができる。 抽象記法は、単にラテン文字でのスロットのラベリングであり、スロットのラベルとしての意味以外の意味を持たない（つまり、数値的ではない）。 (ja)
|
| differentFrom
| |
| rdfs:seeAlso
| |
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| has abstract
| - Abstract index notation (also referred to as slot-naming index notation) is a mathematical notation for tensors and spinors that uses indices to indicate their types, rather than their components in a particular basis. The indices are mere placeholders, not related to any basis and, in particular, are non-numerical. Thus it should not be confused with the Ricci calculus. The notation was introduced by Roger Penrose as a way to use the formal aspects of the Einstein summation convention to compensate for the difficulty in describing contractions and covariant differentiation in modern abstract tensor notation, while preserving the explicit covariance of the expressions involved. Let be a vector space, and its dual space. Consider, for example, an order-2 covariant tensor . Then can be identified with a bilinear form on . In other words, it is a function of two arguments in which can be represented as a pair of slots: Abstract index notation is merely a labelling of the slots with Latin letters, which have no significance apart from their designation as labels of the slots (i.e., they are non-numerical): A tensor contraction (or trace) between two tensors is represented by the repetition of an index label, where one label is contravariant (an upper index corresponding to the factor ) and one label is covariant (a lower index corresponding to the factor ). Thus, for instance, is the trace of a tensor over its last two slots. This manner of representing tensor contractions by repeated indices is formally similar to the Einstein summation convention. However, as the indices are non-numerical, it does not imply summation: rather it corresponds to the abstract basis-independent trace operation (or natural pairing) between tensor factors of type and those of type . (en)
- Die Indexnotation ist eine Form, Tensoren schriftlich darzustellen, die vor allem in der Physik und gelegentlich auch im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie Anwendung findet. In ihrer verbreiteteren Form gibt die Notation Tensorkomponenten in bestimmten Koordinaten an. Mit der abstrakten Indexnotation werden dagegen Tensoren koordinatenunabhängig bezeichnet, wobei die Notation den Typ des Tensors angibt und Kontraktionen und kovariante Differentiationen koordinatenfrei darstellen kann. Die abstrakte Indexnotation wurde von Roger Penrose eingeführt. Am üblichsten ist diese Notation im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie, deren Formulierung in Form von Tensoren erfolgt. Auch einige moderne Texte über spezielle Relativitätstheorie verwenden diese Notation, und im Kontext von Eichtheorien ist sie auch in der Quantenfeldtheorie anzutreffen. Diese Notation eignet sich besonders für Rechnungen in lokalen Koordinaten, weshalb sie in der Physik deutlich verbreiteter ist als in der Mathematik. Es gibt zwei Grundformen dieser Notation. In der einen stellen die Tensoren mit Indizes Elemente der Tensoren in lokalen Koordinaten dar. Bei dieser Variante wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, um Kontraktionen oder Spurbildungen auszuführen. Die zweite Möglichkeit ist die abstrakte Tensornotation. Bei dieser zeigen die Indizes nicht mehr die Komponenten in Koordinaten an, sondern sind nur noch Symbole, die die Stufe des Tensors angeben. (de)
- La notation en indice abstrait est un système de notation présentant des similarités avec la convention de sommation d'Einstein et destinée comme cette dernière à l'écriture du calcul tensoriel. (fr)
- 抽象添字記法(ちゅうしょうそえじきほう、abstract index notation)は、固有の基底の成分というよりも、タイプを表す添字を使ったテンソルやスピノルの数学的な記法である。添字は、数値を固定した基底に対して表すものではなく、占める位置を明確に示す記法となっている。この記法は、(Ricci calculus)と混乱することはない。この記法はロジャー・ペンローズ(Roger Penrose)により導入され、アインシュタインの縮約記法の形式的側面を扱う方法である。現代的な抽象的なテンソル記法では、この方法により、テンソル縮約(tensor contraction)や共変微分の難しさを補い、表現の意味している共変性を明確に保つことができる。 V をベクトル空間、V∗ をその双対とする。ランク 2 の共変テンソル を考えると、h は V 上の双線型形式と同一視することができる。言い換えると、これは V を 2つ引数とする函数で、「スロット」のペアとして表現することができる。 抽象記法は、単にラテン文字でのスロットのラベリングであり、スロットのラベルとしての意味以外の意味を持たない（つまり、数値的ではない）。 2つのテンソルの縮約は、添字ラベルの繰り返しにより表される。ひとつのラベルは反変（上にある添字は、V のテンソルに対応）であり、もうひとつのラベルは共変（下にある添字は、V* に対応する）である。たとえば、 は、最後の 2つのスロットの上のテンソル t = tabc のトレースである。この添字を繰り返すのテンソル縮約の表現方法は、アインシュタインの縮約記法と形式的には同じである。しかし、添字は数値ではないので、総和を意味しない。むしろ、タイプ V とタイプ V* の間の基底（と双対なペア）とは独立なトレース作用素に対応している。 (ja)
- A notação de índices abstratos é uma notação matemática para tensores e espinores que utiliza índices para indicar seus tipos, ao invés de seus componentes em uma base particular. Os índices são meros marcadores de posição, não relacionados com qualquer base fixa e, em particular, são não numéricos. Assim, não deve ser confundida com o cálculo de Ricci. A notação foi introduzido por Roger Penrose como uma maneira de usar os aspectos formais da convenção de somatório de Einstein, a fim de compensar a dificuldade em descrever e diferenciação covariante na notação de tensores abstrata moderna, preservando a covariância explícita das expressões envolvidas. (pt)
- 抽象指标记号（英語：abstract index notation）是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量与旋量的数学记号。与不带指标的字母（如T）表示张量相比，这种表示法能够显示张量的类型，同时可清楚地表明等运算。而与用分量（张量在某一特定基底下的分量）表示张量不同，该表示法与特定的基底无关，可以表示出张量等式。 假定V为向量空间，V*是其对偶空间。定义二阶协变张量，则h是V上的双线性映射，即可表示为（以两个“槽”表示V中的两个变量）： 抽象指标记号便是通过拉丁字母代替“槽”来表示上式： 当协变指标（下标，表示V*中张量）与逆变指标（上标，表示V中张量）重复时表示进行缩并运算，如： 即表示对后两个“槽”进行缩并的迹。这种表示缩并的方式与爱因斯坦求和约定类似，但此表示法只是抽象的记号而已，并不表示求和运算。 (zh)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)